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序列$Ω(n)$渐近行为的动力学方法

A Dynamical Approach to the Asymptotic Behavior of the Sequence $Ω(n)$

Kaitlyn Loyd

备注：
19 pages
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摘要：

本文从动力学的角度研究了序列$\{Ω(n) \}_{ n \in \mathbb{N} }$的渐近行为，其中$Ω(n)$表示$n$的素因子的个数，重数为.首先，我们证明了对于任何非原子遍历系统$(X, \mathcal{B}, μ, T)$，算子$T^{Ω(n)}: \mathcal{B} \to L^1(μ)$都具有强清扫性质。特别地，这意味着逐点遍历定理不沿着$Ω(n)$成立。其次，我们证明了素数定理和Erdens-Kac定理所描述的$Ω(n)$的行为是不相交的，在这个意义上，它们的动力学相关性趋于零。

英文摘要：

We study the asymptotic behavior of the sequence $\{Ω(n) \}_{ n \in \mathbb{N} }$ from a dynamical point of view, where $Ω(n)$ denotes the number of prime factors of $n$ counted with multiplicity. First, we show that for any non-atomic ergodic system $(X, \mathcal{B}, μ, T)$, the operators $T^{Ω(n)}: \mathcal{B} \to L^1(μ)$ have the strong sweeping-out property. In particular, this implies that the Pointwise Ergodic Theorem does not hold along $Ω(n)$. Second, we show that the behaviors of $Ω(n)$ captured by the Prime Number Theorem and Erdős-Kac Theorem are disjoint, in the sense that their dynamical correlations tend to zero.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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