arXiv 2109.080832021-09-16math.CO

$n$ -皇后问题

The $n$-queens problem

Candida Bowtell, Peter Keevash

摘要：

著名的$n$ -queens问题是问在$n \times n$棋盘上有多少种方法可以放置$n$皇后，使得两个皇后不能互相攻击。环形$n$ -皇后问题问同样的问题，董事会被认为是在表面上的环面，并要求波利亚在1918年。令$Q(n)$表示经典板上$n$ -皇后配置的数目，$T(n)$表示环形$n$ -皇后配置的数目。Pólya证明了$T(n)>0$当且仅当$n \equiv 1,5 \mod 6$，最近，在2017年，Luria证明了$T(n)\leq ((1+o(1))ne^{-3})^n$和当$n \equiv 1,5 \mod 6$时的平等。我们的主要结果是证明这一猜想，从而回答波利亚的问题渐近。此外，我们还表明，$Q(n)\geq((1+o(1))ne^{-3})^n$的所有$n$足够大，这是独立的Luria和Simkin证明。结合我们的主要结果和Luria的一个上界，完全解决了Rivin，Vardi和Zimmmerman在1994年提出的关于$Q(n)$和$T(n)$的一个猜想.我们的证明结合了一个随机的贪婪算法来计算“几乎”的配置与一个复杂的吸收策略，使用的想法，从最近开发的随机代数建设和迭代吸收的方法。

英文摘要：

The famous $n$-queens problem asks how many ways there are to place $n$ queens on an $n \times n$ chessboard so that no two queens can attack one another. The toroidal $n$-queens problem asks the same question where the board is considered on the surface of the torus and was asked by Pólya in 1918. Let $Q(n)$ denote the number of $n$-queens configurations on the classical board and $T(n)$ the number of toroidal $n$-queens configurations. Pólya showed that $T(n)>0$ if and only if $n \equiv 1,5 \mod 6$ and much more recently, in 2017, Luria showed that $T(n)\leq ((1+o(1))ne^{-3})^n$ and conjectured equality when $n \equiv 1,5 \mod 6$. Our main result is a proof of this conjecture, thus answering Pólya's question asymptotically. Furthermore, we also show that $Q(n)\geq((1+o(1))ne^{-3})^n$ for all $n$ sufficiently large, which was independently proved by Luria and Simkin. Combined with our main result and an upper bound of Luria, this completely settles a conjecture of Rivin, Vardi and Zimmmerman from 1994 regarding both $Q(n)$ and $T(n)$. Our proof combines a random greedy algorithm to count 'almost' configurations with a complex absorbing strategy that uses ideas from the recently developed methods of randomised algebraic construction and iterative absorption.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

摘要：

英文摘要：

相关论文