On matrix representations for generalized braid groups
Abdoulrahim Ibrahim
在本文中，我们构造了经典辫群的两个推广的Burau表示的一个变体。对于Gassner表示，我们提出了一个迭代过程来找到和推广这种表示的扩展。
In the present paper, we construct a variant of the Burau representation of two generalizations of the classical braid group. For the Gassner representation, we propose an iterative procedure to find and generalize the extension of this representation.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Quasitoric representation of generalized braids
本文基于Fenn和Bartholomew的纽结理论语言定义广义辫子理论，计算其生成集后证明定向正规广义纽结是拟环面正规广义辫子的闭包，且后者构成正规广义辫子群的子群。
A representation of generalized braid group in classical braid group
我们问，如果任何有限型广义辫群是一些经典的Artin辫群的子群。我们定义了一个从有限型广义辫群到经典辫群的自然映射，并问这个映射是否是单同态。证明了该映射是A_n，B_n，I_2（k）型辫群的同态.这个同态的内射性问题（在这些特殊情况下）尚未解决。如果这个映射是一个单同态，那么几个结果将遵循。例如，它将遵循Whitehead群，投射类群和任何有限型广义辫群的任何子群的下K-群消失。(For在经典的辫群情形下，作者和F. T. Farrell在论文“The Whitehead groups of辫群vanish”中写道。此外，它将遵循有限型广义辫群满足Tits替代（最近这是由M。Besthood）。
The Generalized Word Problem for Braid Groups
辫群最近备受关注。这主要是基于它在各种密码系统中的使用[AAG]，[KLCHKP]的发现。当前研究的一个主要焦点是解决辫群中的判定问题并分析其复杂性。其中已研究的判定问题有：字问题，共轭问题和共轭搜索问题。一个尚未彻底探讨的判定问题是广义字问题。可以表明，这个问题是，在一般情况下，无法解决的指数大于或等于5的辫群。然而，我们将证明，对于循环子群的特殊情况，这个问题在几乎所有情况下都是可解的。我们将设计一个算法，在多带图灵机上实现它，并分析它的复杂性。
A divisibility result on combinatorics of generalized braids
对有限Coxeter群$Γ$，每个正辫子群都有一个唯一的分解为$Γ$的一个有限元素序列，即Garside-正规形.通过研究相应的邻接矩阵$Adj(Γ)$，可以计算出给定长度的Garside-正规形的个数.本文证明了$Adj(B_n)$的特征多项式整除$Adj(B_{n+1})$的特征多项式.关键点是使用基于符号置换的Hopf代数。对于$A$类型，已经知道类似的结果。我们观察到这不适用于$D$类型。还研究了其他Coxeter类型（$I$、$E$、$F$和$H$）。
Minimal generating sets and the abelianization for the quasitoric braid group
复曲面编织物是闭合为$\mathbb{R}^3$中的圆环链的编织物。Manturov推广了复曲面辫，称之为拟心辫，并证明了经典辫群中的拟心辫的子集是辫群的一个子群.我们称这个子群为拟素辫群。本文给出了拟序辫群的两个极小生成集，并确定了它的阿贝尔化。这两个生成集的极小值是从一个下界由阿贝尔化的生成元的数量。
Parabolic subgroups of complex braid groups: the remaining case
本文利用复辫子群 B(G31) 的 Garside 广群结构，证明 Marin 和 González-Meneses 关于抛物子群的主要定理，补全了此前唯一遗留情形。
Ordering pure braid groups on closed surfaces
证明了闭可定向曲面上的纯辫群是双序的，而闭非可定向曲面上的纯辫群具有广义挠，因而它们不是双序的.
Cohomology of quasi-abelianized braid groups
本研究针对广义辫群模纯辫群换位子群的商群有理上同调问题，通过图族同构类给出组合描述，建立了庞加莱对偶性并证明了无穷反射群序列的稳定性质。
Torsion subgroups of quasi-abelianized braid groups
本文推广了Gonçalves，Guaschi，Ocampo [GGO]和Marin [MAR 2]关于广义辫群的子群的有限子群的工作，给出了它们的纯辫群的导子群.我们得到明确的标准（复）反射群的子群提升到这个商的子群。在经典辫群的特殊情况下，这使我们能够描述它的所有有限子群：我们证明了当辫的数量达到无穷大时，每个奇数阶有限群都可以嵌入其中。我们还确定了一个完整的列表的不可约反射群，这个商是一个比伯巴赫群。
On the Linearized Artin Braid Representation
我们线性化的编织群的阿丁表示的（右）自同构的自由群提供一个线性的忠实表示的编织群。这个结果被推广到有色辫群和纯辫群的线性表示。应用到一些领域的二维物理进行了讨论。
Generalized J-groups, J-braid groups and Seifert link groups
本文研究了广义J群的性质，确定其有限生成条件，并展示了其与复反射群及J辫群torsion商的关系。
A strong characterization of the entries of the Burau matrices of $4$-braids: The Burau representation of the braid group $B_4$ is faithful almost everywhere
我们建立强约束的内核（约化）Burau表示$β_4:B_4\to \text{GL}_3\left(\mathbb{Z}\left[q^{\pm 1}\right]\right)$的辫群$B_4$。我们开发了一个理论，明确地确定条目的布劳矩阵的辫子在$B_4$，这是一个重要的一步，证明$β_4$是忠实的（一个长期存在的问题，在20世纪30年代）。该理论是基于一种新的组合解释的$β_4\left(g\right)$，在Garside规范形式的$g\in B_4$和一个新的产品分解的积极辫子。我们开发的矩阵组中的字的取消结果表明，如果$σ$是一个通用的正辫子在$B_4$，如果$t\neq 2$是一个素数，那么在至少一行的矩阵$β_4\left(σ\right)$的领导系数是非零模$t$。我们利用这些取消的结果推断，$B_4$的Burau表示是忠实的几乎处处。
Reading the dual Garside length of braids from homological and quantum representations
我们表明，劳伦斯的表示和线性表示从量子SL_2称为通用最高权向量检测的双重Garside长度的辫子在一个简单而自然的方式。也就是说，通过使用特定的自然基将表示为洛朗多项式环上的矩阵，变量的跨度等于对偶Garside长度的常数倍数。
Krammer representations for complex braid groups
设B是与某个有限复反射群相联系的广义辫群。我们定义了B的一个表示，它的维数是相应反射群的反射数，它推广了经典辫群的Krammer表示，因而是证明这些群的线性性的一个很好的候选.我们将这个表示分解为不可约分量，并计算它的Zapriki闭包，以及它对抛物子群的限制。我们证明了当W是ADE型和奇二面体型的Coxeter群时，它是忠实的，并猜想当W具有单类反射时，它是忠实的。如果是真的，这个猜想将意味着这些群的各种群论性质，我们分别证明对其他群也是真的。
Homology computations for complex braid groups II
我们完成了广义辫群$B$与任意例外型不可约复反射群$W$的积分同调的计算。为了做到这一点，我们显式计算的递归定义的差分$\mathbf{Z}$的分辨率作为一个$\mathbf{Z} B$ -模块，使用并行计算。我们还推导出从这个一般的计算理性的同源性的Milnor纤维的奇异性连接到大多数这些反射群。
Quantum entanglement, unitary braid representation and Temperley-Lieb algebra
利用任意子的辫状结构进行容错量子计算的重要进展，使辫状群理论成为拓扑量子计算的基础。此外，考夫曼和洛莫纳科认识到，来自杨-巴克斯特方程的解的特定编织算子，即贝尔矩阵，是普适的，这意味着原则上所有的量子门都可以由编织算子和单个量子比特门一起构造。在本文中，我们提出了一个新的辫子运营商从Temperley-Lieb代数推广的贝尔矩阵的多量子比特系统，从而统一在同一框架内的Hadamard和贝尔矩阵。与以前的编织算子不同，这些新的算子从可分离的基态{ \it directly}生成重要的纠缠态，如广义Greenberger-Horne-Zeilinger态，团簇状态和其他具有不同纠缠度的态。
Lawrence-Krammer-Bigelow representations and dual Garside length of braids
我们发现，变量$q$在劳伦斯-Krammer-Bigelow表示矩阵的辫子的跨度是等于两倍的双Garside长度的辫子，是由Krammer证明。我们的证明在精神上接近毕格罗的几何方法。关键的观察是，辫子的对偶Garside长度可以从其曲线图的特定标记中读取。
Infinite Reduced Words, Lattice Property And Braid Graph of Affine Weyl Groups
本文建立了仿射外尔群的无限约化字与其正系的某些双闭集之间的一个双射，并确定了仿射外尔群的正系中的所有双生成双闭集.利用这些结果，我们首先证明了秩为3的仿射外尔群的标准正系统中的双闭集在按包含序排列时形成一个完全的代数正交格，其次证明了这些Coxeter群的（广义）辫图是连通的，这可以被认为是Tit对字问题的解决方案的一个无限版本.
Higher braid groups and regular semigroups from polyadic-binary correspondence
本文首先考虑一个与von Neumann正则半群和Artin辫群有关的三元矩阵群（用代数方法）。一类特殊的三元矩阵（幂等的和有穷级的）的乘积通过它们的二元分支乘法再生正则半群和辫群。然后，我们推广的建设，以更高的arity的情况下，这使我们能够获得一些更高的程度版本（在我们的意义上）的正则半群和辫群。后者与作者所提出的广义多矢辫子方程和$R$ -矩阵有关，它们不同于任何形式的著名四面体方程和杨-巴克斯特方程的高维类似物，即$n$ -单纯形方程。然后定义了高次（在我们的意义上）Coxeter群和对称群，并证明了它们仅在非高次情况下是连通的。
Length-based conjugacy search in the Braid group
几种密钥协商协议基于以下“广义共轭搜索问题”：找到给定元素b_1，...，b_n和xb_1x^{-1}，...，xb_nx^{-1}在非交换群G中，共轭子x.在辫群B_N的子群的情况下，Hughes和Tannenbaum提出了一种基于长度的方法来寻找x。自采用这一方法以来，对其有效性和成功性进行了辩论。我们介绍了这种方法的几个有效的实现。特别地，在B_N上定义了一个新的长度函数，它比Garside正规形的自然长度具有更好的性质.我们给出了实验结果的成功概率的这种方法，这表明，非常大的计算能力，这种方法需要成功地解决广义共轭搜索问题时，其参数是在现有的协议。
Cohomology of Pure Braid Groups of exceptional cases
考虑变量为τ的Laurent多项式的环R：= \Q [τ，τ^{-1}]。Artin纯辫群（或广义纯辫群）作用于R，其中每个标准生成元的作用是乘以τ。在本文中，我们考虑这些群的上同调系数在模R（众所周知，这样的上同调是严格相关的Milnor纤维化的无扭曲的积分上同调的反射安排）。我们计算了I_2（m），H_3，H_4，F_4和A_n（1<n<7）情形的上同调。
Representations of the necklace braid group {NB}}_n of dimension (n=2,3,4)
我们考虑项链辫群$\mathcal{NB}_n$（$n=2,3,4$）的二维不可约表示.然后我们考虑$\mathcal{NB}_n$（$n=2,3,4$）的表示的张量积，并确定构造的表示不可约的充要条件.最后，我们确定了2次$\mathcal{NB}_n$（$n=2,3,4$）的不可约表示相对于埃尔米特正定矩阵是酉的条件
Commutator Subgroups of Singular Braid Groups
具有$n$股线的单股编织物$n \geq 3$由Baez和Birman独立地引入。已知由奇异辫形成的么半群嵌入到称为奇异辫群的群中，记为$SG_n$。辫群还有另一种推广，记为$GVB_n$，$n \geq 3$，它是由Fang引入的，作为量子准洗牌结构背后的一组对称性。群$GVB_n$同时推广了经典辫群以及$n$股上的虚拟辫群。我们研究了这些广义辫群的换位子群$SG_n'$和$GVB_n'$.我们证明了$SG_n'$是逆生成的当且仅当$n \ge 5$，$GVB_n'$是逆生成的当且仅当$n \ge 4$ .进一步证明了$SG_n'$和$GVB_n'$都是完美的当且仅当$n \ge 5$ .
On unifying Jones representations of braid groups and Thompson's group
本文引入有向二元辫群，统一了辫群与定向Thompson群的Jones表示，并构造了扩展的酉表示及嵌入，使辫闭包恢复定向链环构造。
Crystallographic groups and flat manifolds from complex reflection groups
根据Gonçalvez，Guaschi和Ocampo关于通常的辫群的思想，我们构造了晶体学群和Bieberbach群作为与任意复反射群相关联的广义辫群的子群.
Algorithmic Problems in the Braid Group
我们首先回顾了辫群的概念。然后，我们讨论了辫群中判定问题的一些已知的解决方案。然后我们继续证明辫群算法的新结果。在循环子群的特殊情况下，我们给出了辫群中广义字问题的一个快速解法。我们用多带图灵机来说明这个解决方案及其复杂性。然后，我们转向讨论的判定问题在循环合并的群体。再次使用多带图灵机，我们解决了两个辫群的循环合并的字问题。我们也分析了它的复杂性。然后，我们转向一个更一般的研究共轭问题的循环合并。本文修正并证明了Lipschutz[L 1]的一些定理，并给出了它们在辫群的循环合并中的应用.我们推广了这个应用，证明了一个新的定理关于共轭问题的循环合并。然后我们讨论了辫群的一些应用，最后一节专门讨论了辫群密码学。最后，我们讨论了一些开放的问题，我们想在未来的研究中追求。
$A_2$ Skein Representations of Pure Braid Groups
定义了纯辫群$P_{2k}$的表示族$\{ρ_n\}_{n\geq 0}$.这些表示是从$P_{2k}$在具有颜色$n$的特定类型的$A_2$ web空间上的动作获得的。$A_2$网空间是在其边界上具有标记点的圆盘的Kauffman括号skein模的推广。我们还介绍了这样的$A_2$网络空间的三角形自由基和计算$ρ_n$的$P_{2k}$的标准生成元的矩阵表示。
Complete simultaneous conjugacy invariants in Artin's braid groups
我们解决了同时共轭问题，在阿廷的辫群，更一般地说，在Garside组，通过一个完整的，有效的可计算的，有限的不变。这个不变量将一维的超顶点集的概念推广到任意维。在我们的解决方案中的一个关键因素是引入一个可证明的高维版本的伯曼-柯-李循环定理。这个解决方案的复杂性是一个小的次数多项式在我们的广义超顶点集的基数和输入参数。计算机实验表明，这个不变量的基数，为一个列表的顺序$N$独立的元素阿丁的辫群$B_N$，一般接近~1。
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