Cost-optimal adaptive FEM with linearization and algebraic solver for semilinear elliptic PDEs
针对半线性椭圆型偏微分方程，提出自适应迭代线性化有限元方法AILFEM，通过阻尼Zarantonello迭代与收缩代数求解器均衡网格、线性化和代数误差，证明其以最优计算成本收敛。
2024-11-13 cs.NA math.NA
RANG: A Residual-based Adaptive Node Generation Method for Physics-Informed Neural Networks
Defense Innovation Institute, Chinese Academy of Military Science（中国人民解放军军事科学院国防科技创新研究院）；Human Resource Center（人力资源中心）
基于物理信息神经网络（PINNs）的偏微分方程（PDE）求解方法由于其灵活性和易于合并观测数据而成为传统求解器的一种有吸引力的替代方法。尽管PINN在精确求解各种偏微分方程方面取得了成功，但该方法在计算效率方面仍然需要改进。一种可能的改进思路是优化训练点集的生成。基于残差的自适应采样和准均匀采样方法分别被应用于改善PINN的训练效果。为了从这两种方法中受益，我们提出了基于残差的自适应节点生成（RANG）方法，用于有效训练PINN，该方法基于RBF-FD的变密度节点分布方法。该方法还通过记忆机制来增强，以进一步提高训练稳定性。我们进行了实验，三个线性偏微分方程和三个非线性偏微分方程的各种节点生成方法，通过该方法的准确性和效率相比，占主导地位的均匀采样方法进行了数值验证。
2022-05-12 cs.LG cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive iterative linearized FEM for semilinear elliptic PDEs
针对具有强单调但仅局部Lipschitz连续非线性项的半线性椭圆PDE，提出一种基于阻尼Zarantonello迭代的自适应线性化有限元方法，通过同步控制网格细化与非线性迭代，在每步仅求解线性Poisson型方程，并证明了该策略在整体计算复杂度下能保证收敛且达到最优速率。
2023-05-23 cs.NA math.NA
Global convergence of adaptive least-squares finite element methods for nonlinear PDEs
TU Wien（维也纳科技大学）
本文提出了一种非线性偏微分方程的自适应最小二乘有限元方法，证明了其全局收敛性，并通过数值实验验证了方法的鲁棒性。
2026-02-21 cs.NA math.NA
An adaptive reduced basis collocation method based on PCM ANOVA decomposition for anisotropic stochastic PDEs
University of Maryland（马里兰大学）
本文提出一种基于PCM ANOVA分解的自适应降阶校准方法，用于求解高维参数化随机PDEs，通过两阶段适应性策略有效识别有效维度并优化参数空间，验证了该方法在求解各向异性随机对流-扩散方程中的有效性。
2017-09-25 cs.NA math.NA
Low-rank approximation for multiscale PDEs
从历史上看，多尺度偏微分方程的分析在很大程度上是统一的，而数值方案往往是方程特定的。在本文中，我们提出了一个统一的框架计算多尺度问题，通过随机抽样。这是通过结合随机SVD求解器和流形学习技术来实现的，以数字方式重建多尺度偏微分方程的低秩特征。以多尺度辐射传输方程和粗糙介质下的椭圆型方程为例，展示了该框架的应用。
2022-03-07 cs.NA math.NA
On the convergence of adaptive Galerkin FEM for parametric PDEs with lognormal coefficients
本文研究了具有对数正态系数的稳态扩散方程的基于残差自适应Galerkin有限元方法，通过提供准误差下降结果推进了无界系数情形的理论收敛性，并将一致有界系数的收敛性作为推论。
2024-07-26 cs.NA math.NA
R-adaptive DeepONet: Learning Solution Operators for PDEs with Discontinuous Solutions Using an R-adaptive Strategy
本文提出R-自适应DeepONet，通过等分布原理将物理域变换到计算域并分别学习解映射与坐标变换，克服了DeepONet处理不连续解时的线性重构下界，实现超线性误差衰减。
2024-08-08 cs.NA math.NA
High Accuracy Techniques Based Adaptive Finite Element Methods for Elliptic PDEs
针对传统自适应有限元方法效率低的问题，本文结合超收敛恢复、质心Voronoi Delaunay三角剖分网格优化等高精度技术，提出可7步内终止的高效自适应方法，数值验证了其有效性与鲁棒性。
2025-03-21 cs.NA math.NA
Learning solution operators of PDEs with sparse approximation methods
本文提出一种结合乘积基展开与正交匹配追踪的稀疏高维方法，用于逼近偏微分方程的解算子，显著减少所需样本量，并在数值实验中与立方体稀疏逼近和傅里叶神经算子对比，展示了在稀疏表示下的准确性和可解释性。
2026-06-04 cs.LG cs.NA math.NA
Rank-adaptive tensor methods for high-dimensional nonlinear PDEs
提出了一种新的秩自适应张量方法来计算高维非线性偏微分方程的数值解。该方法结合了功能张量训练（FTT）系列扩展，运营商分裂时间积分，和一个新的秩自适应算法的阈值标准的基础上，限制的PDE速度矢量的分量正常的FTT张量流形。这就产生了一个方案，可以添加或删除张量模式自适应的PDE解决方案的时间积分进行。新方法的目的是提高高维问题数值积分的计算效率、精度和鲁棒性。特别是，它克服了与动态张量积分相关的众所周知的计算挑战，包括低秩建模误差和需要在每个时间步长反转张量核的协方差阵。介绍并讨论了二维线性和非线性平流问题以及四维福克-普朗克方程的数值应用。
2021-04-24 cs.NA math.NA physics.comp-ph
MARS : a Method for the Adaptive Removal of Stiffness in PDEs
E（显式）I（隐式）N（null）方法是近年来发展起来的一种消除偏微分方程数值不稳定性的方法，它通过增减一个具有任意结构的算子$\mathcal{D}$，在一种情况下隐式处理该算子，在另一种情况下显式处理该算子.在这里，我们通过设计一个自适应的过程来扩展这个想法，找到一个最优逼近$\mathcal{D}$。我们提出了一个测量的数值误差，检测所有波长的数值不稳定性，并调整每个傅立叶分量的$\mathcal{D}$的最小值，使数值不稳定性被抑制。我们发现，对于一些非线性和非局部偏微分方程，在一个和两个维度，频谱的$\mathcal{D}$自动和动态地适应边际稳定的理论结果。因此，我们的方法具有相同的稳定性作为一个完全隐式的方法，而只需要一个显式求解器的计算成本。自适应隐式部分在傅立叶空间中是对角的，因此与显式方法相比导致最小的开销。
2022-06-29 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements
提出一种基于自适应有限元的多层CNN架构，高效逼近参数化PDE的参数到解映射，兼具精度与复杂度优势，并通过后验误差估计实现误差控制。
2024-08-20 cs.LG cs.NA math.NA
Ultraweak formulation of linear PDEs in nondivergence form and DPG approximation
我们开发和分析了一个超弱制定的非发散形式的线性偏微分方程的系数满足Cordes条件。基于超弱形式，我们提出了间断Petrov-Galerkin（DPG）方法。我们研究了Fortin算子的全离散方案，并提供了一个后验估计的方法正在考虑。数值实验的情况下，均匀和自适应网格加密。
2019-08-23 cs.NA math.NA
Adaptive-Distribution Randomized Neural Networks for PDEs: A Low-Dimensional Distribution-Learning Framework
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, Shaanxi 710049, China（西安交通大学数学与统计学院，西安，陕西710049，中国）
本文提出AD-RaNN框架，通过低维优化解决随机神经网络在求解PDEs时的分布敏感问题，减少人工调参，提升求解精度。
2026-04-27 cs.LG cs.NA math.NA
Numerical simulations for full history recursive multilevel Picard approximations for systems of high-dimensional partial differential equations
高维非线性偏微分方程（PDE）的求解是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，很难开发出不受维数灾难影响的近似算法，因为算法计算精度近似$ε> 0$所需的计算操作的数量在所需精度的倒数$1/ε$和PDE的维数$d \in \mathbb{N}$中最多多项式增长。最近，一种新的近似方法，所谓的全历史递归多层次Picard（MLP）近似方法，已被引入，直到今天，这种近似方案是唯一的近似方法在科学文献中已被证明克服灾难的维数在一般时间范围的半线性偏微分方程的数值逼近。本文的一个重要贡献是将MLP近似方法推广到半线性偏微分方程系统，并在几个例子上进行了数值测试。更具体地说，我们建议的MLP近似方法的情况下，艾伦-卡恩偏微分方程，正弦戈登型偏微分方程，耦合半线性热偏微分方程系统，半线性布莱克-斯科尔斯偏微分方程在多达1000个维度。所呈现的数值模拟结果表明，在这些示例PDE中的每一个的情况下，所提出的MLP近似方法在短运行时间内产生非常准确的结果，并且特别地，所呈现的数值模拟结果表明，所提出的MLP近似方案显著优于用于高维半线性PDE的某些基于深度学习的近似方法。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Coordinate-adaptive integration of PDEs on tensor manifolds
本文提出一种基于含时微分同胚坐标变换和凸泛函的张量积分方法，用于控制含时偏微分方程解的张量秩，并在 Liouville 和 Fokker-Planck 方程上验证了其有效性。
2023-08-04 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A new certified hierarchical and adaptive RB-ML-ROM surrogate model for parametrized PDEs
我们提出了一种新的替代建模技术的有效近似的输入输出映射参数化偏微分方程。该模型是分层的，因为它是建立在全阶模型（FOM），降阶模型（ROM）和机器学习（ML）模型链。该模型是自适应的，在这个意义上，ROM和ML模型在一系列的参数请求模型的过程中进行调整。为了允许认证的模型层次结构，以及控制的适应过程中，我们采用严格的后验误差估计的ROM和ML模型。特别是，我们提供了一个基于ML的模型，允许严格的分析质量声明的例子。我们证明了效率的建模链上的蒙特卡罗和参数优化的例子。在这里，ROM是通过减少基方法实例化和ML模型是由神经网络或VKOGA内核模型。
2022-12-02 cs.NA math.NA
Analysis of adaptive two-grid finite element algorithms for linear and nonlinear problems
提出了求解线性和非线性偏微分方程的自适应二重网格有限元算法。这些算法的主要思想是利用$k$级自适应网格上的解来求解$(k+1)$级自适应网格上的解，而$(k+1)$级自适应网格是通过对$k$级自适应网格进行自适应单元剖分而构造的。这些算法将非对称正定（非SPD）PDE（分别为，非线性偏微分方程）转化为对称正定（SPD）偏微分方程（分别，线性PDE）。所提出的算法具有以下优点：不需要求解非对称或非线性系统;很小;很容易实现;插值误差很小。其次，本文构造了残差型{ \em a posteriori}误差估计量，并证明了其可靠性和有效性。证明有效性的关键因素是建立振荡项的上界，其可能不是高阶项（h. o.t.）由于数值解的低规则性。此外，还证明了当网格剖分时算法的收敛性。最后，提供数值实验来验证ATG有限元算法的精度和效率，与常规自适应有限元算法和两网格有限元算法[27]进行比较。
2020-09-18 cs.NA math.NA
$h$ and $hp$-adaptive Interpolation by Transformed Snapshots for Parametric and Stochastic Hyperbolic PDEs
University of Southern California（南加州大学）
本文提出 $h$ 和 $hp$ 自适应方法，用于解决参数和随机超几何偏微分方程中的快照跳跃集问题，通过张量化的自适应方法提高高维问题的精度。
2017-10-31 cs.NA math.NA
Adaptive FEM with quasi-optimal overall cost for nonsymmetric linear elliptic PDEs
针对非对称二阶线性椭圆型PDE，提出非精确自适应迭代对称化有限元方法（AISFEM），结合Zarantonello外循环与一致收缩代数内循环求解器，证明了其完全线性收敛性及关于整体计算成本的拟最优收敛率。
2023-11-21 cs.NA math.NA
Adaptive-Growth Randomized Neural Networks for PDEs: Algorithms and Numerical Analysis
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics & State Key Laboratory of Multiphase Flow in Power Engineering, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院及动力工程多相流国家重点实验室）；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）
本文提出AG-RaNN算法，通过自适应增长网络结构和域分割策略，解决PDEs求解中的初始化和不连续性问题，提升数值解的精度与效率。
2025-11-23 cs.NA math.NA
Trotter Kato Theorem for Bi Continuous Semigroups and Approximation of PDEs
在本文中，我们介绍了双连续半群的逼近的Trotter Kato定理的公式，提供了一个有用的框架时，收敛的数值逼近的解的偏微分方程的研究关于一个额外的局部凸拓扑粗糙比规范拓扑治疗缺乏强连续性。我们的结果的适用性证明使用无限边界的热方程。
2019-11-21 cs.NA math.FA math.NA
MooAFEM: An object oriented Matlab code for higher-order adaptive FEM for (nonlinear) elliptic PDEs
本文提出完全用 Matlab 编写的面向对象 2D 自适应有限元仿真代码 MooAFEM，支持任意阶多项式与三角网格细化，可处理非线性 PDE 迭代线性化问题，数值实验验证了其灵活性与高效性。
2022-11-04 cs.MS cs.NA math.NA
Exponential Convergence for Multiscale Linear Elliptic PDEs via Adaptive Edge Basis Functions
本文提出了一种基于自适应边缘基函数的多尺度框架来求解具有粗糙系数的二阶线性椭圆偏微分方程。主要结果之一是，我们证明了所提出的多尺度方法实现了近似误差的计算自由度的指数收敛。我们的策略是执行一个能量正交分解的解决方案空间成一个粗尺度组件，包括$a$ -调和函数在每个元素的网格，和一个细尺度组件命名的气泡部分，可以本地和有效地计算。粗略比例分量完全取决于边缘上的函数值。我们在每个边缘上的近似是在狮子-Magenes空间$H_{00}^{1/2}(e)$中进行的，我们将证明这是一个自然而强大的选择。我们使用局部过采样和奇异值分解构造边缘基函数。当局部信息的右手边自适应纳入边缘基函数，我们证明了一个近似误差的指数收敛速度。数值实验验证和扩展我们的理论分析，特别是，我们没有观察到明显的退化，高对比度介质的问题的精度。
2021-04-24 cs.NA math.NA
Unconditional full linear convergence and optimal complexity of adaptive iteratively linearized FEM for nonlinear PDEs
针对强单调非线性 PDE，提出结合自适应细化、能量收缩线性化与范数收缩代数求解的 AILFEM，并以无参数停止准则实现任意参数下完整 R-线性收敛及小参数时最优复杂度。
2025-03-17 cs.NA math.NA
Adaptive SIPG method for approximations of boundary control problems governed by parabolic PDEs
本文针对带双边盒约束的抛物型Neumann边值控制问题，提出基于SIPG离散的自适应有限元方法，推导可靠且高效的残差型误差估计子，并通过数值实验证明自适应细化优于均匀细化。
2025-07-20 cs.NA math.NA
High order implicit time integration schemes on multiresolution adaptive grids for stiff PDEs
Yale University（耶鲁大学）；CD-adapco
本文提出高阶隐式Runge-Kutta方案用于求解刚性时变PDE，采用多分辨率分析生成自适应网格，以提高计算效率。
2016-04-01 cs.NA math.AP math.NA
Numerical study on the effect of geometric approximation error in the numerical solution of PDEs using a high-order curvilinear mesh
在曲线边界区域或曲面上数值求解时变偏微分方程时，由于顶点位置和其他内部网格点位置的不精确而引起的网格误差和几何逼近误差是导致偏微分方程数值解不精确和不稳定的主要原因.这些几何误差的作用，恶化的稳定性，特别是保守性在很大程度上是未知的，这似乎需要非常精细的网格，特别是消除几何近似误差。本文的目的是调查几何逼近误差的影响，使用一个高阶网格与几何逼近误差可以忽略不计，即使是高阶多项式的顺序p.为了实现这一目标，高阶网格生成器从CAD几何称为NekMesh是适应于表面网格生成相比，传统的网格与不可忽略的几何逼近误差。两种类型的数值试验被认为是。首先，比较了球面曲元上不同p值时微分算子的精度。其次，应用活动标架方法，数值求解了四种不同的球上含时偏微分方程，研究了几何逼近误差对球上偏微分方程高阶数值格式精度和守恒性的影响。
2020-11-26 cs.NA math.NA
Are implicit schemes needed in adaptive time stepping for PDEs?
Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院凯尔迪什应用数学研究所）
本文针对自适应时间步长求解偏微分方程的场景，通过数值测试探究是否需用隐式格式，以及切换至稳定显式格式的时间步长损失，为大规模并行计算的格式选择提供依据。
2026-10-14 cs.CE cs.NA math.NA
Kolmogorov widths and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs
研究了参数椭圆扩散PDEs的Kolmogorov n-宽度和低秩近似，证明在扩散系数为分段常数时，n-宽度衰减更快，从而为减少基底或POD方法的快速收敛提供理论依据。
2015-02-10 cs.NA math.NA
$H^1$-norm error estimate for a nonstandard finite element approximation of second-order linear elliptic PDEs in non-divergence form
本文建立了逼近连续系数非散度型二阶线性椭圆型偏微分方程$H^2$强解的非标准有限元法的最优$H^1$模误差估计。为了规避这类偏微分方程缺乏一个有效的对偶参数的困难，引入了一种新的分析技术，它的关键是建立一个$H^1$ -范数的稳定性估计的有限元逼近算子模仿一个类似的估计为基础的偏微分方程运营商最近建立的作者和它的证明是基于冻结系数技术和拓扑参数。此外，线性有限元法的$H^1$范数稳定性和误差估计也成立.
2019-09-30 cs.NA math.NA
Approximation of Solution Operators for High-dimensional PDEs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文提出基于有限维控制与神经常微分方程的方法，通过学习参数空间控制来逼近高维演化 PDE 的解算子，并给出理论保证与 HJB 方程等数值验证。
2024-01-18 cs.LG cs.NA math.NA
Neural Network Approximations of PDEs Beyond Linearity: A Representational Perspective
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Duke University（杜克大学）
一个新兴的研究领域利用深度神经网络来近似高维偏微分方程的解，开启了理论探索的大门，重点是解释这些模型似乎如何逃避维度灾难。然而，大多数先前的理论分析已被限制到线性偏微分方程。在这项工作中，我们采取了一个步骤，研究神经网络的代表性的权力，近似解决非线性偏微分方程。我们专注于一类偏微分方程称为\emph{nonlinear elliptic variational PDEs}，其解决方案最小化的\emph{Euler-Lagrange}能量泛函$\mathcal{E}(u) = \int_ΩL(x, u(x), \nabla u(x)) - f(x) u(x)dx$。我们表明，如果组成一个功能与巴伦规范$b$与$L$的偏导数产生一个功能的巴伦规范在最$B_L b^p$，PDE的解决方案可以$ε$ -近似的$L^2$意义上的一个功能与巴伦规范$O\left(\left(dB_L\right)^{\max\{p \log(1/ ε), p^{\log(1/ε)}\}}\right)$。根据Barron [1993]的经典结果，这相应地限制了近似解所需的2层神经网络的大小。将$p, ε, B_L$视为常数，这个量在维数上是多项式的，因此表明神经网络可以避免维数灾难。我们的证明技术涉及在适当的希尔伯特空间中神经模拟（预处理）梯度，它以指数方式快速收敛到PDE的解，并且我们可以在每个时间点限制B…
2023-03-27 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive non-intrusive reconstruction of solutions to high-dimensional parametric PDEs
本研究提出一种高维参数PDE解的自适应非侵入式重构方法，结合随机最小二乘的非侵入性与Galerkin后验误差分析，用变分蒙特卡洛获拟最优低秩近似，实现离散参数全自动调整，基准测试达同类最优性能。
2022-10-26 cs.NA math.FA math.NA
Numerical approximation of singular-degenerate parabolic stochastic PDEs
研究了一类广义奇异退化抛物型随机偏微分方程（SPDE），特别是随机多孔介质方程和随机快速扩散方程.我们提出了一个完全离散的数值逼近所考虑的SPDE的基础上非常弱的制定。通过利用单调性的建议制定我们证明的数值逼近的唯一解决方案。此外，我们构造了一个可实现的有限元方案的空间离散的非常弱的提法，并提供数值模拟，以证明所提出的离散的实用性。
2020-12-22 cs.NA math.NA
Adaptive-Growth Randomized Neural Networks for Level-Set Computation of Multivalued Nonlinear First-Order PDEs with Hyperbolic Characteristics
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, Shaanxi 710049, China（数学与统计学学院，西安交通大学，西安，陕西 710049，中国）；School of Mathematical Sciences & Institute of Natural Sciences, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China（数学科学学院及自然科学研究所，上海交通大学，上海 200240，中国）；School of Mathematics and Statistics & State Key Laboratory of Multiphase Flow in Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an, Shaanxi 710049, China（数学与统计学学院及电力工程多相流国家重点实验室，西安交通大学，西安，陕西 710049，中国）
本文提出自适应增长随机神经网络方法，用于高效计算具有双曲特征的非线性一阶偏微分方程的多值解。
2026-03-01 cs.LG cs.NA math.NA
Approximation Theory and Applications of Randomized Neural Networks for Solving High-Dimensional PDEs
本文证明随机神经网络在物理信息极限学习机中能以维度无关的收敛速率逼近Sobolev函数类，缓解维数灾难，并通过高维热方程、Black-Scholes和Heston模型实验验证其高精度与低计算成本。
2025-01-21 cs.NA math.NA
Collocation approximation by deep neural ReLU networks for parametric elliptic PDEs with lognormal inputs
我们得到了深度ReLU神经网络对对数正态输入椭圆偏微分方程解的配置逼近的收敛速度，由非紧集$\mathbb{R}^\infty$的$\boldsymbol{y}$参数化。近似误差在Bochner空间$L_2(\mathbb{R}^\infty, V, γ)$的范数中测量，其中$γ$是$\mathbb{R}^\infty$上的无限张量积标准高斯概率测度，而$V$是能量空间。我们也得到了类似的结果的情况下，当对数正态输入参数化$\mathbb{R}^M$非常大的尺寸$M$，和近似误差测量的$\sqrt{g_M}$加权均匀范数的Bochner空间$L_\infty^{\sqrt{g}}(\mathbb{R}^M, V)$，其中$g_M$是密度函数的标准高斯概率测量$\mathbb{R}^M$。
2022-12-06 cs.NA math.NA
Multiscale methods with compactly supported radial basis functions for Galerkin approximation of elliptic PDEs
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
研究使用紧支撑径向基函数的多尺度伽辽金方法求解有界域上的椭圆PDE，分析了收敛性和条件数，并处理了Dirichlet边界条件及边界重叠支持问题。
2012-11-07 cs.NA math.NA
A new efficient approximation scheme for solving high-dimensional semilinear PDEs: control variate method for Deep BSDE solver
提出了一种求解高维半线性偏微分方程（PDE）和倒向随机微分方程（BSDEs）的新的逼近格式。首先，我们将一个目标半线性偏微分方程分解为两部分，即“主导”线性偏微分方程和“小”非线性偏微分方程。然后，我们采用了一种新的控制变量的方法来解决这些偏微分方程，其中基于渐近展开技术的近似有效地应用于线性部分，也用作控制变量的非线性部分。此外，我们的理论结果表明，所提出的方法的误差变得小于那些原来的Deep Boundary求解器。最后通过数值实验验证了该方法的有效性，实验结果与本文的理论结果一致。
2021-01-31 cs.NA math.NA q-fin.CP
Adaptive Two-Layer ReLU Neural Network: II. Ritz Approximation to Elliptic PDEs
本文研究了求解自伴二阶椭圆型偏微分方程的自适应神经元增强（ANE）方法。ANE方法是一种自适应的方法，它生成一个两层样条神经网络和一个数值积分网格，使得逼近精度在规定的公差范围内。此外，ANE方法提供了一个自然的过程来获得一个良好的初始化，这是至关重要的训练非线性最优化问题。底层PDE离散化的里兹方法使用两层样条神经网络的基础上的原始或对偶配方，最大限度地减少各自的能量或互补泛函。本质边界条件通过具有适当范数的泛函弱地施加。证明了Ritz近似是能量范数意义下的最佳逼近，并分析了数值积分对Ritz近似的影响。介绍了自适应神经元增强方法的两种估计器，一种是所谓的恢复估计器，另一种是最小二乘估计器。最后给出了具有角点奇异性和相交界面奇异性的扩散问题的数值结果。
2021-07-14 cs.NA math-ph math.MP
Efficient Sobolev approximation of linear parabolic PDEs in high dimensions
本文研究线性抛物型 PDE 解的一阶 Sobolev 范数近似误差，提出基于 Feynman--Kac 表示与 Euler 离散化的 Monte Carlo Euler 格式，证明其打破维度灾难，并推论神经网络在系数可高效近似时同样能无维度灾难地近似解。
2023-06-29 cs.NA math.NA
Quasi-optimal nonconforming approximation of elliptic PDEs with contrasted coefficients and minimal regularity
本文研究具有对比扩散率和极低正则性的扩散模型问题的非协调近似方法，通过弱化法向导数处理平滑性不足，实现了对扩散率对比鲁棒的误差估计，并推广至Maxwell方程。
2019-01-29 cs.NA math.NA
Deep ReLU neural network approximation in Bochner spaces and applications to parametric PDEs
我们研究了在可分离希尔伯特空间$X$中取值的${\mathbb U}^\infty$上的函数的Bochner空间$L_2({\mathbb U}^\infty, X, μ)$中的深度ReLU神经网络逼近的非自适应方法，其中${\mathbb U}^\infty$是配备标准高斯概率测度的${\mathbb R}^\infty$，或配备Jacobi概率测度的${\mathbb I}^\infty:= [-1,1]^\infty$。假设待逼近的函数满足广义混沌多项式展开系数关于测度$μ$的加权$\ell_2$ -可和性。我们根据近似深度ReLU神经网络的大小证明了这种近似的收敛速度。然后，这些结果被应用到近似的解决方案，参数椭圆型偏微分方程的对数正态和仿射的情况下，随机输入。
2022-12-14 cs.NA math.NA
Convergence of hyperbolic approximations to higher-order PDEs for smooth solutions
Technical University of Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Johannes Gutenberg University Mainz（约翰内斯·古腾堡美因茨大学）
本文证明了高阶偏微分方程的双曲近似在存在光滑解时的收敛性，并提供了数值验证。
2026-03-05 cs.NA math.AP math.NA
Adversarial Adaptive Sampling: Unify PINN and Optimal Transport for the Approximation of PDEs
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；Peking University（北京大学）；PKU-Changsha Institute for Computing and Digital Economy（北京大学-长沙计算与数字经济研究院）；ShanghaiTech University（上海科技大学）
提出对抗自适应采样（AAS），通过极小极大公式统一残差最小化与训练集优化，利用深度生成模型调整样本并嵌入Wasserstein距离，以降低蒙特卡洛误差，提升神经网络求解PDE的精度。
2024-03-15 cs.LG cs.NA math.NA
A narrow-stencil framework for convergent numerical approximations of fully nonlinear second order PDEs
本文发展了一个统一的一般框架，用于设计收敛的有限差分和间断Galerkin方法来逼近完全非线性二阶偏微分方程的粘性和正则解。与著名的单调（有限差分）框架，建议的新框架允许使用狭窄的stenestion和非结构化网格，这使得有可能构建高阶方法。一般框架是基于一致性和g-单调性的概念，这两个定义在各种数值导数算子。使用数值矩构造满足框架的具体方法。证明了算法的可容许性、稳定性和收敛性，并给出了数值实验和一些计算机实现细节。
2022-02-25 cs.NA math.NA
Simultaneous spatial-parametric collocation approximation for parametric PDEs with log-normal random inputs
Information Technology Institute, Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内分校信息技术学院）
本文提出一种多级线性置信方法，用于求解具有对数正态输入的参数椭圆型PDEs，通过在时空参数域中使用有限函数评估，实现了比最佳离散置信率更高的收敛率。
2026-08-12 cs.NA math.NA
Sparse and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs: the best of both worlds
本文提出一种结合低秩张量逼近与稀疏多项式展开的新格式，用于高效求解参数化椭圆型PDE，并设计了保持准最优秩与最优收敛速度的自适应求解器。
2025-06-24 cs.NA math.NA
A proof that rectified deep neural networks overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear heat equations
深度神经网络和其他深度学习方法已经非常成功地应用于高维非线性抛物型偏微分方程（PDE）的数值逼近，这些方程广泛应用于金融、工程和自然科学。特别是，模拟表明，基于深度学习的算法克服了半线性偏微分方程解的数值逼近中的维数灾难。对于某些线性偏微分方程，这也已经在数学上得到了证明。这篇文章的主要贡献是严格证明这是第一次为一类非线性偏微分方程。更确切地说，我们证明了在具有梯度无关非线性的半线性热方程的情况下，所采用的深度神经网络的参数数量在PDE维度和规定的近似精度的倒数上最多以多项式方式增长。我们的证明依赖于最近推出的多级皮卡近似半线性偏微分方程。
2019-07-14 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities
最近提出的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方法在高维非线性偏微分方程解的数值逼近方面取得了很大的成功。特别是，在文献中有数学收敛的结果证明，MLP近似方法确实克服了非线性二阶偏微分方程的数值逼近中的维数灾难，在这个意义上，所提出的MLP近似方法的计算操作的数量在规定的近似精度$ε>0$的倒数$1/ε$和偏微分方程维数$d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$中最多多项式地增长。然而，在文献中的MLP逼近方法的收敛性结果中，假定二阶微分算子前面的系数函数是仿射线性的。特别地，直到今天，在科学文献中还没有结果证明任何具有一般时域和二阶微分算子前面的非仿射线性系数函数的半线性二阶偏微分方程可以被近似而没有维数灾难。本文的主要贡献是克服这一障碍，提出并分析了一类二阶微分算子前系数函数可能为非线性的半线性二阶偏微分方程的MLP逼近方法.特别地，本文的主要结果证明了这种新的MLP逼近方法确实克服了半线性二阶偏微分方程数值逼近中的维数灾难。
2020-10-09 cs.NA math.NA math.PR
Oblique projection for scalable rank-adaptive reduced-order modeling of nonlinear stochastic PDEs with time-dependent bases
针对时变基降阶模型求解大规模非线性随机PDE矩阵微分方程时的效率、侵入性、病态和固定秩误差问题，提出基于斜投影与DEIM的可扩展秩自适应TDB-CUR方法。
2023-08-16 cs.NA math.NA
Adaptive Randomized Neural Networks with Locally Activation Function: Theory and Algorithm for Solving PDEs
Nanjing University（南京大学）
本文提出了一种自适应物理信息随机神经网络方法，通过局部激活函数和分区单位技术，提升求解偏微分方程的精度与效率。
2026-08-18 cs.NA math.NA
