Wide enough Latin rectangles are perfects
给定两个整数$m$和$n$，其中$m\leq n$，大小为$m\times n$的拉丁矩形是一个二维数组，其中$m$行和$n$列填充有来自具有$n$符号的字母表的符号，使得每行包含字母表的排列，并且每列不包含重复的符号。拉丁矩形$R$的两行$a$和$b$定义了一个置换$R_{a,b}$，如果它们在同一列中，则将符号$y$分配给符号$x$，$x$在行$a$中，而$y$在行$b$中。拉丁矩形$R$是完美的，因为对于每对行$a$和$b$，置换$R_{a,b}$是循环的。证明了对任意整数$m$和任意大的奇整数$n$，存在一个大小为$m\times n$的完全拉丁矩形$R$.这是对一个著名猜想的部分（渐近）回答，该猜想认为对每个奇数$m\leq n$都有相同的性质。
2015-09-02 math.CO
Colouring games based on autotopisms of Latin hyper-rectangles
Hamming图的每一个部分着色都与一个部分拉丁超矩形唯一相关。在本文中，我们介绍了$Θ$ -稳定的$(a,b)$ -着色游戏的汉明图，一个变种的$(a,b)$ -着色游戏，使每一步必须尊重一个给定的自同构$Θ$的部分拉丁超矩形。我们通过它的色数来研究这个变体的复杂性。我们特别关注的二维情况下，游戏是在两个完全图的笛卡儿积，也对超立方体的情况下。
2017-07-02 math.CO
Subsquares in random Latin squares and rectangles
该研究分析随机拉丁矩与拉丁方的子结构问题，先证明随机k×n拉丁矩含特定稀疏部分拉丁矩的概率公式，再据此得出n阶随机拉丁方渐近几乎必然无大于$c\sqrt{n\log n}$阶拉丁子方的结论，推进了随机拉丁方的子方存在性研究。
2023-11-08 math.CO
Lattice path enumeration for semi-magic squares by Latin rectangles
类似于标准的Young表格如何表示Young格中的路径，拉丁矩形可以用于枚举具有条目0或1的半幻方的偏序集中的路径。与行列式相关的对称性保持了这个偏序集，我们完整地描述了大小为4，5和6的正方形的轨道，覆盖数据和最大链。最后一项给出了这些情况下拉丁方的数量。为了有效地计算大小为6，我们反过来确定轨道与某些等价类的超图。
2022-02-13 math.CO
A computational algebraic geometry approach to classify partial Latin rectangles
本文提供了一个深入的分析如何计算代数几何可以用来处理的问题计数和分类的$r\times s$部分拉丁矩形的基础上$n$符号的给定大小，形状，类型或结构。希尔伯特函数和三角形系统的根理想的计算使我们能够解决这个问题的所有$r,s,n\leq 6$。作为一个副产品，明确的公式确定的部分拉丁矩形的大小高达6。然后，我们专注于研究不可压缩的定期部分拉丁方和他们的等价的发病率结构称为seminet，其分布到主要的类是明确确定的点秩高达8。我们特别证明了点秩八的两个新构形的存在性。
2017-03-31 math.CO
A simple proof on the number of $(3 \times n)$-Latin rectangles based on a set of $λ$ elements
针对已有(3×n)阶拉丁矩形色多项式证明方法复杂的问题，研究者采用数学归纳思想与恰当着色方法，给出了该结论的更简单证明。
2024-07-10 math.CO
Computing autotopism groups of partial Latin rectangles: a pilot study
计算部分拉丁矩形的自拓扑群可以以多种方式执行。这项试验性研究有两个目的：（a）通过实验比较这些方法，（b）确定开发实用软件时应该考虑的设计目标。为此，我们比较了六个家庭的算法（两个回溯方法和四个图自同构方法），有和没有使用的条目不变量，在两个测试套件。我们考虑两个条目不变量：一个由行、列和符号代表的频率确定，一个由$2 \times 2$子矩阵确定。我们发现：（a）在条目很少的情况下，经常存在许多对称性，并且这些对称性应该在数学上而不是在计算上被识别，（b）在条目的中间数量的情况下，快速计算条目不变量在减少计算的需要方面是有效的，（c）在几乎完全的部分拉丁矩形的情况下，需要更复杂的条目不变量，和（d）（全）拉丁方的性能明显差于其他部分拉丁矩形的可比大小，阻碍了拉丁方的存在与大（可能传递）自同构组。
2019-10-22 math.CO
Rowmotion Orbits of Trapezoid Posets
行运动是偏序集的阶理想上的一个可逆算子，它在矩形偏序集上得到了广泛的研究和理解。本文证明了矩形偏序集和梯形偏序集的阶理想之间的行运动关于Hamaker，Patrias，Pechenik和Williams的双射是等变的，从而证实了Hopkins关于矩形偏序集和梯形偏序集具有相同的行运动轨道结构的猜想.我们证明这一点的主要工具是$K$ -jeu-de-taquin和（弱）$K$ -Knuth递增tableaux等价。我们定义$almost$ $minimal$ $tableaux$作为一个家庭的tableaux自然产生的阶理想和显示任何$λ$，几乎最小的tableaux形状$λ$是在不同的（弱）$K$ -Knuth等价类。对Hopkins关于降度同调的相关理论进行了讨论和改进。
2020-02-12 math.CO
Subsquares in random Latin rectangles
本文证明了均匀随机 $k\times n$ 拉丁矩形以高概率不含阶数4及以上的真拉丁子方阵，验证了相关猜想，并确定了阶数2和3子方阵的期望数量。
2025-04-30 math.CO
Enumeration and classification of self-orthogonal partial Latin rectangles by using the polynomial method
本文讨论了基于$n$符号的自正交$r\times r$部分拉丁矩形集$\mathcal{SOR}_{r,n}$的计数和分类问题。这些组合对象与汉明图的独立集和多项式的根零维理想的零点相标识，其约化Gröbner基和Hilbert级数可以被计算以明确地确定集合$\mathcal{SOR}_{r,n}$。特别是，这个集合的基数显示为$r\leq 4$和$n\leq 9$和几个公式的基数$\mathcal{SOR}_{r,n}$暴露，为$r\leq 3$。对于所有的$r,s,n\leq 4$，还得到了基于$n$符号的$r\times s$部分拉丁矩形按其大小的分布。
2014-10-04 math.CO
Ryser's Theorem for Simple Multi-Latin Rectangle
本文推广了拉丁矩的补全理论，证明了在预先指定符号出现次数且单元格无重复符号的设定下，简单多重拉丁矩可扩展为拉丁方，并证实了Cavenagh等人关于部分拉丁方嵌入的猜想。
2025-09-14 math.CO
Rainbow trapezoids with given area
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute（罗摩克里希纳使命维韦卡南达教育与研究机构）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
研究了平面整数格点的3色染色中，必存在面积为1/2的彩虹三角形或任意面积的单色矩形，同时探讨了单色矩形和彩虹梯形的存在性条件。
2026-03-14 math.CO
Enumerating partial Latin rectangles
本文讨论了在具有$m$非空单元的$n$符号上枚举$r \times s$部分拉丁矩形的集合$\mathrm{PLR}(r,s,n;m)$的不同计算方法。对于固定的$r$，$s$和$n$，我们证明了这个集合的大小是一个对称的多项式的次数$3m$，我们确定的领先的条款（通过$3m-9$程度$3m$单项式）使用包含-排除。对于$m \leq 13$，使用色多项式方法确定这些对称多项式的精确公式。适应萨德的方法枚举拉丁广场，我们计算$\mathrm{PLR}(r,s,n;m)$的确切大小，为所有$r \leq s \leq n \leq 7$，和所有$r \leq s \leq 6$时，$n=8$。利用代数几何方法和Burnside引理，我们列举了当$r \leq s \leq n \leq 6$ .在可能的情况下，对数值结果进行了交叉检查。
2019-08-28 math.CO
Outline Rectangles, Allocations, and Latin Young Diagrams
本文引入杨图的分配概念，借助Hilton定理证明杨图存在分配等价于其为拉丁杨图，据此证明了Chow等人提出的宽杨图猜想对含三种不同行长度的杨图成立。
2025-11-13 math.CO
An analogue of Ryser's Theorem for partial Sudoku squares
1956年Ryser给出了一个部分拉丁矩形可完全化为拉丁方的充要条件。在1990年希尔顿和约翰逊表明，Ryser的条件可以重新制定的霍尔条件的部分拉丁方。因此，Ryser定理可以解释为说，任何部分拉丁矩形$R$可以完成，当且仅当$R$满足部分拉丁方的霍尔条件。我们定义霍尔的条件部分数独广场，并表明霍尔的条件部分数独广场给出了一个标准，部分数独矩形的完成是必要的和充分的。在$n=pq$，$p|r$，$q|s$的特殊情况下，结果特别简单，因为我们证明了任何$r \times s$部分$(p,q)$ -数独矩形都可以完成（不需要进一步的条件）。
2011-07-14 math.CO
Ryser's Theorem for $ρ$-latin Rectangles
令$L$为$n\times n$阵列，其左上方$r\times s$子阵列填充有$k$不同符号，每一符号在每一行中最多出现一次且在每一列中最多出现一次。我们发现的充要条件，确保剩余的细胞$L$可以填充，使每个符号出现在每一行最多一次，在每一列最多一次，每个符号出现在$L$规定的次数。Ryser（Proc.Amer.Math.Soc.2（1951），550- 552）解决了每个符号出现的规定次数为$n$的情况，Goldwasser等人（J.Combin.1999）解决了$s=n$的情况。Theory Ser. A 130（2015），26- 41）。我们的技术导致后者的一个非常短的证明。
2022-01-13 math.CO
A Matroid Generalization of a Result on Row-Latin Rectangles
设A是一个m \times n矩阵，其中每行的元素都是不同的。Drisko表明，如果m \ge 2 n-1，那么A有一个横截：一组n个不同的条目，没有两个在同一行或列。我们将其推广到具有拟阵元素的矩阵。对于这样一个矩阵A，我们证明了如果A的每一行形成一个独立集，那么我们可以要求断面也是独立的。我们确定的算法的复杂性的基础上证明这个结果。最后，我们观察到，m \ge 2 n-1似乎迫使不仅存在一个，但许多横截。我们讨论了一些与此有关的观察（其中一些涉及拟阵，其中一些不）。
1998-07-08 math.CO
Triples of Orthogonal Latin and Youden Rectangles For Small Orders
我们已经进行了一个完整的枚举的非同位素三元组的相互正交的$k\times n$拉丁矩形$k\leq n \leq 7$。在这里，我们将提出一个这样的三元组的普查，按各种属性分类，包括三元组的自同构群的顺序。作为其中的一部分，我们还实现了第一次枚举的成对正交三元组的约登矩形。我们还研究了$k \times 8$矩形的正交三元组，它们是通过一次一行地扩展具有非平凡自拓扑的相互正交三元组而形成的，并且要求在每一步中自拓扑群是非平凡的。这类包括一个来自8阶射影平面的三元组。在这里，我们发现一个显着对称的一对三元组的$4 \times 8$矩形，形成并列两个选定的副本的完整的MOLS的顺序4。
2018-10-30 cs.DM math.CO
Enumeration of Sets of Mutually Orthogonal Latin Rectangles
本文枚举 k≤n≤7 时非同痕的 t 个相互正交 k×n 拉丁矩形集合，定义并追踪齐次、传递及逐步传递结构，并据此说明除 Hughes 平面外阶数至多 9 的射影平面均可由逐步传递 MOLR 构造。
2024-01-19 cs.DM math.CO
Sudoku Rectangle Completion
在过去的十年里，数独，一个组合数字位置的难题，已经成为世界各地许多人最喜欢的消遣。在这个谜题中，任务是完成一个部分填充的$9 \times 9$正方形，其中包含数字1到9，但每个数字必须在每行、每列和九个$3 \times 3$方块中出现一次。数独方可以被认为是拉丁方的一个子类。本文研究了关于拉丁方补的一个经典结果到数独方的自然扩张。此外，我们使用的证明中开发的程序，以获得的顺序$n$数独广场的数量的渐近界。
2017-04-26 math.CO
Embedding Equitable Rectangles
Illinois State University（伊利诺伊州立大学）；Georgia State University（佐治亚州立大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
研究部分拉丁方阵的补全问题，推广Ryser定理到更一般情形，给出填充剩余单元格使各符号出现次数均衡的充要条件，统一并推广了多个经典结果。
2026-06-26 math.CO
On the number of Latin squares
我们（1）确定了11列拉丁矩形的数目和每一个可能的行数，包括~11阶的拉丁方，（2）回答了Alter的一些问题，证明了约化的$n$阶的拉丁方的数目可被$f!$整除，其中$f$是一个接近于$\frac12n$的特定整数，（3）给出了用$(+1,-1)$ -矩阵的积和表示的拉丁方个数的计算公式;（4）求出了当$2n$，（5）证明了具有非平凡对称群的拉丁方的比例随着阶数的增加而迅速趋于零。
2009-09-11 math.CO
The Godsil--McKay Asymptotic for Latin Rectangles in the Sublinear Range of Erdős Problem 725
Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
本研究部分解决了Erdős问题725，将k×n拉丁矩形数量的Godsil–McKay渐近公式的适用范围从k=o(n^{6/7})拓展至所有k=o(n)，给出了带绝对常数的对数误差界，且结果已在Lean中形式化验证。
2026-08-04 math.CO math.PR
Pairwise Reflection Symmetry in Frequency Rectangles
TU Wien, Austria（维也纳工业大学）
研究广义拉丁矩形中成对反射对称性的存在性，通过构造和整数规划发现，列重复度λ=1当且仅当n为2的幂，且奇数λ时存在性更微妙。
2026-11-05 cs.DM math.CO
The Andersen-Hoffman Theorem for Equitable Rectangles
Illinois State University（伊利诺伊州立大学）；Georgia State University（佐治亚州立大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
推广Andersen-Hoffman定理至对称拉丁矩形，给出填充指定子阵后完成对称拉丁方并满足符号出现次数均衡的充要条件。
2026-06-26 math.CO
