Erdős问题725的次线性范围内拉丁方的Godsil–McKay渐近公式
The Godsil--McKay Asymptotic for Latin Rectangles in the Sublinear Range of Erdős Problem 725
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中文总结 AI 辅助
本研究部分解决了Erdős问题725，将k×n拉丁矩形数量的Godsil–McKay渐近公式的适用范围从k=o(n^{6/7})拓展至所有k=o(n)，给出了带绝对常数的对数误差界，且结果已在Lean中形式化验证。
中文摘要 AI 辅助
Erdős问题725要求给出有序带标记k×n拉丁矩形的数量L_{k,n}的渐近公式。Godsil和McKay证明了当k=o(n^{6/7})时，L_{k,n}~(n!)^k((n)_k/n^k)^n(1-k/n)^{-n/2}e^{-k/2}。我们通过证明对所有k=o(n)该渐近式均成立，部分解决了Erdős问题725。更精确地，设\widetilde A_{k,n}=(n!)^k((n)_k/n^k)^n\exp\{[n(H_n-H_{n-k})-k]/2\}。对每个K(n)=o(n)，一致地对0≤k≤K(n)，我们证明了log(L_{k,n}/\widetilde A_{k,n})=O(k^2/n^2)，其中隐含常数为绝对常数。本文结果已在Lean中得到形式化验证。
英文摘要
Erdős Problem 725 asks for an asymptotic formula for the number $L_{k,n}$ of ordered, labelled $k\times n$ Latin rectangles. Godsil and McKay proved that $L_{k,n}\sim (n!)^k((n)_k/n^k)^n(1-k/n)^{-n/2}e^{-k/2}$ for $k=o(n^{6/7})$. We provide a partial solution to Erdős Problem 725 by proving this asymptotic for every $k=o(n)$. More precisely, set $\widetilde A_{k,n}=(n!)^k((n)_k/n^k)^n\exp\{[n(H_n-H_{n-k})-k]/2\}$. For every $K(n)=o(n)$, uniformly for $0\leq k\leq K(n)$, we prove $\log(L_{k,n}/\widetilde A_{k,n})=O(k^2/n^2)$, with an absolute implied constant. The results of this paper have been formally verified in Lean.
