高维量子 cat 映射的半经典测度
Semiclassical measures for higher dimensional quantum cat maps
AI总结：
本文研究高维量子 cat 映射特征函数的质量下界，在特征值唯一最大且特征多项式有理不可约等条件下，证明其适用于任意维数的一致半经典下界，并推广到半经典测度与阻尼情形。
摘要：
考虑与矩阵 $A\in\mathop{\mathrm{Sp}}(2n,\mathbb Z)$ 相关联的量子 cat 映射 $M$，它是量子混沌中常用的玩具模型。我们证明，在两个假设下：(1) $A$ 具有唯一的绝对值最大的单重特征值；(2) $A$ 的特征多项式在有理数域上不可约，$M$ 的特征函数在位置-频率空间中任意非空开集上的质量满足一个在半经典极限下一致的下界。这与此前关于负曲率曲面的工作 [arXiv:1705.05019]、[arXiv:1906.08923]，以及关于 $n=1$ 时量子 cat 映射的工作 [arXiv:2103.06633] 相似，但本文首次给出了适用于任意维数的此类结果。当条件 (2) 不成立时，我们给出该结果的一个较弱版本，并讨论其与已有反例的关系。我们还得到了关于半经典测度和阻尼量子 cat 映射的相应结论。
英文摘要：
Consider a quantum cat map $M$ associated to a matrix $A\in\mathop{\mathrm{Sp}}(2n,\mathbb Z)$, which is a common toy model in quantum chaos. We show that the mass of eigenfunctions of $M$ on any nonempty open set in the position-frequency space satisfies a lower bound which is uniform in the semiclassical limit, under two assumptions: (1) there is a unique simple eigenvalue of $A$ of largest absolute value and (2) the characteristic polynomial of $A$ is irreducible over the rationals. This is similar to previous work [arXiv:1705.05019], [arXiv:1906.08923] on negatively curved surfaces and [arXiv:2103.06633] on quantum cat maps with $n=1$, but this paper gives the first results of this type which apply in any dimension. When condition (2) fails we provide a weaker version of the result and discuss relations to existing counterexamples. We also obtain corresponding statements regarding semiclassical measures and damped quantum cat maps.
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