$ \infty $-category and some applications on orbifolds
Jiajun Dai
本文主要讨论了一个早期的结果，即轨道叠加是通过$ \infty $ -范畴技术全局可表示的。
This paper is mainly about an early result that the orbifold stack is globally representable via some $ \infty $-categorical techniques.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Topological Fukaya category and mirror symmetry for toric Calabi-Yau 3-orbifolds
我们证明了复曲面Calabi-Yau $3$ -orbifolds的同调镜像对称陈述的一个版本，从而将arXiv：1604.06448扩展到arXiv：1604.07123中考虑的镜像对称设置下的orbifolds的情况。B-模型是复曲面Calabi-Yau $3$ -orbifold的矩阵分解范畴，而A-模型是拓扑定义的镜像曲线上的Komaya-型范畴。
Orbifolds and groupoids
我们定义了一个2-范畴结构（前Orb）的范畴内减少复杂orbifold地图集。我们构造了复流形上的一个从（Pre-Orb）到2-范畴（Grp）的真有效群胚对象的2-函子F.在（Pre-Orb）和（Grp）上都存在关于对象的自然等价关系：（Pre-Orb）中Orbifold地图集的等价和（Grp）中Morita等价（的自然扩张）。我们证明了F诱导其源和目标的等价类之间的双射。
Global dimension of the derived category of an orbifold projective line
本文将三角范畴的整体维数定义为其稳定性条件整体维数的下确界，并研究了orbifold射影线导出范畴的整体维数。
Drinfeld double for orbifolds
我们证明了Orbifold上的层范畴的Drinfeld二重化等价于相应的惯性Orbifold上的层范畴。
Holomorphic bundles on 2-dimensional noncommutative toric orbifolds
本文定义了非交换环面orbifold $T_θ/G$上的全纯丛的概念，它与无理旋转代数上有限循环群$G$的作用有关.我们证明了这类全纯丛的范畴是阿贝尔的，并且它的导出范畴等价于有限维代数$Λ$上模的导出范畴。作为应用，我们完成了Kumjian，Walters和Buck提出的描述上述轨道折叠的交叉积代数的$K_0$ -群的计算。另外，我们在$Λ$ -模范畴中描述了一个扭对，使得关于这个扭对的倾斜给出了$T_θ/G$上的全纯丛范畴。
Orbifoldes speciales et classification bimeromorphe des varietes kaehleriennes compactes
这是[Ca 01]=math.AG/0110051的续篇。我们定义了几何orbifolds的双纯{ \it范畴}。这些插值（紧K\”ahler）流形和这样的流形与对数结构。这些几何orbifolds被认为是从他们的几何观点，从而配备了通常的不变量品种：态射和双纯映射，微分形式，基本群和普遍覆盖，领域的定义和有理点。最基本的性质，直接适用于没有orbifold结构的品种的情况下，在这里建立。[Ca 01]的参数可以直接适用于将主要结构结果扩展到这个轨道范畴。我们希望以后再回到更深的方面。其动机是紧致K\”ahler分类理论的自然框架（和复射影）流形至少包括orbifolds的范畴，如[Ca 01]中所示，通过{ \it special}流形作为具有$κ_+=-\infty$或$κ=0$的orbifolds的塔的函数分解，并且似乎还通过极小模型程序，其中大多数证明工作后，只有一个“边界”的附加。此外，纤维化在几何轨道折叠的双半纯范畴中享有在没有轨道折叠结构的变种范畴中不满足的扩展性质，允许根据一般纤维和基底的不变量来表达全空间的不变量。例如，基本群的自然序列在那里是正合的;如果类属纤维和基是特殊的，那么全空间也是特殊的。这使得该类别适合于将具有$κ_+=-\infty$或$κ=0$的轨道的性质提升到特殊的轨道。
Number of full exceptional collections modulo spherical twists for elliptic orbifolds
本文通过递归公式计算了零轨形欧拉示性数轨形射影直线上凝聚层范畴中模球面扭转作用的完整例外收集数目，推广了Deligne等人的Dynkin情形结果。
On Weyl Groups and Artin Groups Associated to Orbifold Projective Lines
我们通过某个有界代数的有限维表示的导出范畴，将Kyoji Saito意义下的广义根系与轨道射影线联系起来。本文将Saito-Takebayshi和Yamada关于椭圆外尔群和椭圆Artin群的结果推广到与广义根系相关的正则轨道空间的外尔群和基本群.此外，我们还研究了这个基本群与有界代数的$2$ -Calabi--Yau完备化的导出范畴的三角化子范畴的自等价群的某个子群之间的关系.
Differential forms on orbifolds with corners
受辛几何的启发，我们详细地讨论了具有角点的轨道上的微分形式和电流，拉回和向前推进的操作，以及它们的基本性质。我们的工作范围内的形式主义的范畴orbifolds与角落是作为一个本地化的类别的étale正常群胚的角落。构造和证明是制定在结构映射的广群，避免使用orbifold图表。Orbifold上的微分形式的Fréchet空间和流的对偶空间被证明与选择哪一个Etale真群胚来表示Orbifold无关。
A bicategory of reduced orbifolds from the point of view of differential geometry - I
我们描述了一个bicategory $(\mathcal{R}ed\,\mathcal{O}rb)$的约化orbifolds的框架内的经典微分几何（即没有任何明确的参考李群胚或可微堆栈的概念，但只使用orbifold地图集，局部升降机和变化的图表）。为了构造这样一个双范畴，我们首先定义了一个$2$ -范畴$(\mathcal{R}ed\,\mathcal{A}tl)$，它的对象是约化的orbifold图集（在任何仿紧的，第二可数的，Hausdorff拓扑空间上）.态射的定义是对A. Pohl的定义，而$2$ -态射及其复合的定义是新的.利用D. Pronk，我们能够从$2$ -范畴$(\mathcal{R}ed\,\mathcal{A}tl)$构造双范畴$(\mathcal{R}ed\,\mathcal{O}rb)$.证明了$(\mathcal{R}ed\,\mathcal{O}rb)$等价于D.普龙克和我。Moerdijk和$2$类的约化orbifolds描述了几个作者在过去的一个合适的类微分Deligne-Mumford堆栈。
Fukaya category for Landau-Ginzburg orbifolds
对于加权齐次多项式和对角对称群的选择，我们定义了一个新的Landau-Ginzburg orbifold（Fano型或Calabi-Yau型）的Rupaya范畴。它的构造是基于Milnor纤维的包裹范畴和奇点的单值性，类似于奇点理论中的变分算子。新的$\AI$ -结构构造使用冰棒地图与内部插入的monodromy轨道。这需要冰棒模空间的新的紧化，其中由于冰棒结构，一些球和盘的共形结构对齐。特别地，可能存在余维一冰棒球气泡，并且成为限定$\AI$结构的障碍物。对于log Fano和Calabi-Yau的情况下，我们表明，球泡不产生的行动和程度的估计，以及计算指标的扭曲Reeb轨道的Milnor纤维concurents。
Orbifold cohomology of abelian symplectic reductions and the case of weighted projective spaces
这些笔记伴随着关于辛（和其他）拓扑的讲座。目的有两个：第一，宣传辛范畴的计算简便性;第二，给出加权射影空间的一些新的计算。我们首先简要阐述了如何orbifolds出现在辛范畴，并讨论了用于理解其拓扑结构的技术。然后，我们展示了这些结果可以用来计算陈阮orbifold上同调环的交换辛约化。我们的结论是比较几个环相关的加权射影空间。我们直接进行这些计算，避免任何提到stacky风扇或标记的时刻多面体。
A lemma for microlocal sheaf theory in the $\infty$-categorical setting
\cite{KS90}的微局部层理论基本上利用了Kashiwara关于层的扩展引理，这个引理基于同一作者的一个准则，该准则给出了条件，以便在$\mathbb{R}$中定义的函子的值在集合范畴$Sets$中是常数。在本文的第一部分，使用经典的工具，我们展示了如何推广的情况下的无界导出范畴的扩张引理。在第二部分中，我们通过用空间的$\infty$ -范畴取代范畴$Sets$来推广Kashiwara关于常数函子的结果，并将其推广到$\infty$ -层，即层的$\infty$ -范畴版本。最后，我们定义了值在稳定$(\infty,1)$范畴中的层的微支撑。
Francia's flip and derived categories
利用凝聚轨道层范畴，将Bondal-Orlov关于导出范畴等价性的一些结果推广到轨道层的情形.
Formal orbifolds and orbifold bundles in positive characteristic
定义了任意特征的代数闭域上的形式轨道折叠为带有分支数据的曲线。定义了它们的代数覆盖和它们的基本群。这些基本群近似于适当的仿射曲线的基本群。我们还定义了这些对象上的向量丛和任意光滑射影曲线上的轨道丛范畴。证明了关于向量丛的各种陈述在特征零点为真的类比。其中一些是积极的特征化身的概念出现在第二作者的工作（[Par]）在特征零。
Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé IV -- Stability with respect to an orbital $\infty$-category
本文发展了$G$ -范畴（$G$的轨道范畴上的范畴的预层）的稳定性理论，其中$G$是有限群.我们将Mackey函子刻画为$G$ -交换幺半群，并利用它将$G$ -谱刻画为$G$ -空间的$G$ -稳定化.作为一个应用程序，我们提供了一个定理的另一种证明Guillou和五月。这里的理论是在轨道范畴的更一般的背景下发展起来的。
Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé I -- Elements of parametrized higher category theory
我们介绍了参数化$\infty$理论的基本要素-范畴和它们之间的函子。这些概念被定义为$\infty$ -范畴和它们之间的函子的适当纤维化。在这个阶段，我们尽可能多地举例子。简单的操作，如形成对立和形成函子$\infty$ -范畴，变得稍微更多地参与参数化设置，但我们解释了如何执行这些建设。所有这些结构都可以明确地进行，而不需要采取诸如拉直之类的绝望行为。这个Exposé的主要结果是：（1）$T$ - $\infty$-范畴的$T$ -对象在任何$\infty$ -范畴中的一个普遍特征，（2）$T$ - $\infty$ -范畴的一个内部Hom的存在性，以及（3）一个参数化的Yoneda引理。
A panaroma of the fundamental group of the modular orbifold
我们给出了一个概述的范畴的子群的模群，包括驯服的一部分，即有限指数子群，和非驯服的一部分，即休息。我们还讨论了存在于驯服部分（通过Belyi定理）和非驯服部分的算术相关问题。
Twisted jets, motivic measure and orbifold cohomology
本文通过引入Deligne-Mumford栈上的扭曲射流并研究其母题测度，证明了具有Gorenstein商奇点的双有理极小模型具有相同的带霍奇结构的轨形上同调。
Orbifold hyperbolicity
我们定义和研究几何orbifold范畴的喷丛。我们表明，通常的参数从紧凑和对数设置不都扩展到这个更一般的框架。这是说明了简单的例子orbifold对一般类型的不承认任何全球射流微分，即使其中一些例子满足格林-格里菲斯-朗猜想。这与Demailly（2010）的一个重要结果形成对比，该结果证明了一般类型的紧致簇总是允许喷流微分。我们说明了有用的研究orbifold喷气机通过建立双曲面的一些orbifold表面，不能从目前的技术Nevanlinna的理论。我们还猜想在一定的自然重数条件下，Demailly定理对具有光滑边界因子的轨道偶也成立，并给出了一些证明。
A model structure on the category of A$_\infty$-categories with strict morphisms
本文证明了交换环上具有严格态射的严格幺元A$_\infty$-范畴范畴具有余 fibrantly生成模型结构，并揭示了其对象的 fibrant与余 fibrant性质，进而确立了半自由A$_\infty$-范畴的余 fibrant地位。
The Chow $t$-structure on the $\infty$-category of motivic spectra
在任意基域$k$上定义了运动谱$SH(k)$的$\infty$范畴上的Chow $t$ -结构.当$k$的指数特性被反转时，我们确定了这个$t$ -结构$SH(k)^{c\heartsuit}$的核心。限制到细胞亚类，我们确定周心脏$SH(k)^{cell, c\heartsuit}$的类别，甚至分级$MU_{2*}MU$ -共模块。进一步证明了Chow截断球谱上的模的$\infty$ -范畴是代数的.我们的结果在三个方面推广了Gheorghe-Wang-Xu的结果：推广到积分结果;推广到除了$C$之外的所有基域;推广到运动谱$SH(k)$的整个$\infty$ -范畴，而不是只包含某些细胞对象的子范畴.我们还讨论了一个策略，计算motivic稳定同伦群的（p-完成）球在任意基域$k$使用Postnikov塔与周$t$ -结构和motivic亚当斯谱序列在$k$。
The $(\infty,\infty)$-category of spans
本研究在带有限极限的$(\nfty,1)$-范畴中构造了跨度的$(\nfty,\nfty)$-范畴新模型，验证其与现有模型一致，证明了刻画到跨度$(\nfty,n)$-范畴函子的新泛性质，为后续构造高阶Hall代数奠定基础。
The Coherent-Constructible Correspondence and Fourier-Mukai Transforms
在arXiv：math/0311139中，作为他在双有理对数几何中猜想的证据，川俣构建了一个复曲面orbifolds之间的衍生等价族。在arXiv：0911.4711中，我们证明了环面orbifold的导出范畴自然地等同于R^n上的多面体可构造层范畴。在本文中，我们从这个角度研究和重新证明了Kawamata的结果。
An introduction to d-manifolds and derived differential geometry
这是一个调查的作者的书“D-流形和d-orbifolds：理论推导微分几何”，可在http://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/dmanifolds.html我们介绍了2类dMan的“d-流形”，新的几何对象是“派生”光滑流形，在这个意义上的“派生代数几何”的Toen和Lurie。它们是斯皮瓦克的“导出流形”的2-范畴截断（参见arXiv：0810.5174，arXiv：1212.1153）。流形的范畴Man嵌入dMan作为一个满子范畴。我们还定义了“带边界的d-流形”和“带角的d-流形”的2-范畴dMan^b，dMan^c，以及这些dOrb，dOrb^b，dOrb^c的轨道形式“d-轨道”。为了简洁起见，本综述主要集中在无边界的d-流形上。本书更长更详细的摘要见arXiv：1208.4948。许多微分几何延伸非常好的d-流形和d-orbifolds-浸入，淹没，子流形，横向纤维产品，方向等紧凑的定向d-流形和d-orbifolds有虚拟类。在微分几何或复代数几何中，从模空间上的每一个几何结构出发，都有d-流形和d-轨道的截断函子，用于计数不变问题，包括巴拿赫流形上的Banach向量丛的Fredholm截面，辛几何中的Kuranishi，Oh，Ohta和Ono的“Kuranishi空间”，Hessen，Wysocki和Zehnder的“多重折叠”，以及代数…
Orbifold Cohomology as Periodic Cyclic Homology
从费金-齐根、魏贝尔和凯勒的工作中得知，光滑复簇X的上同调群可以从（粗略地说）它的相干层的导出范畴中恢复出来。本文证明了对作用在X上的有限群G，用作用在G-等变层上的同样方法，给出了X/G的轨道上同调。作为应用，在某些情况下，我们能够得到X/G的orbifold上同调和它的crepant分解的通常上同调之间的加法同构的简单证明（欧拉数和霍奇数的一般等式在以前由不同的作者得到）。我们还陈述了一些关于产品结构的说明，以及奇异情况;以及与Kawamata最近工作的联系。
Localizations of the category of $A_\infty$ categories and internal Homs
证明了dg范畴、上同调酉范畴和严格酉$A_\infty$范畴关于相应拟等价类的局部化都是等价的。此外，我们还证明了后两个局部化与相应的同调是等价的，这是由于$A_\infty$函子的$A_\infty$范畴的上同调同构的关系.作为一个应用程序，我们给出了一个完整的证明的索赔Kontsevich指出，范畴的内部霍姆斯的两个dg范畴可以描述为范畴的严格酉$A_\infty$函子之间。
Quasi-positive orbifold cotangent bundles ; Pushing further an example by Junjiro Noguchi
本文研究了射影空间中沿超平面排列的对数余切丛和轨道重余切丛的正性。我们表明，一个非常有趣的例子给出了野口（早在1986年）可以进一步推到一个非常大的程度。我们的方法的关键成分是使用费马覆盖和生产的显式全球对称微分。这使我们能够获得一些新的结果在静脉的几个经典的结果的文献超平面安排。这些看起来非常自然使用现代观点的扩增基地基因座，并在坎帕纳的orbifold类别的工作。作为我们结果的应用，我们得到了两个新的双曲性结果，超越了值分布理论的一些经典结果。
Homological mirror symmetry for toric orbifolds of toric del Pezzo surfaces
用相容二聚体模型和其上的完美匹配对来描述由二元Laurent多项式定义的正合Lefschetz纤维化的Czenaya范畴，并在某些情况下证明了这一猜想，作为推论，得到了环面的有限子群的环面del Pezzo曲面的商栈的同调镜像对称性.
Tensor product of A$_{\infty}$-categories
本文定义了A$_\infty$-范畴的张量积及其导出形式，使相关范畴成为闭合对称单子范畴，并提供了内部同态的显式描述。
A $t$-structure on the $\infty$-category of mixed graded modules
本文以模型无关方式研究混合分次模的 $\infty$-范畴，赋予其左右完备可达 $t$-结构，并将其等同于滤过模范畴上 Beilinson $t$-结构的左完备化，为未来工作提供参考。
Constructing $A_\infty$-categories of matrix factorisations
本文研究了交换$\mathbb{Q}$ -代数$k$上势的矩阵分解的DG-范畴的构造性$A_\infty$ -模型，它由一个Hom-有限$A_\infty$ -范畴和一个$A_\infty$ -幂等函子组成.
Infinity Links L, infinity-4-Manifolds M_L and Kirby Categories
我们构造了一个Kirby范畴，一个态射是光滑4-流形的幺半范畴，向下投影到另一个态射是可定向3-流形的幺半范畴，投影是由流形上的边界映射引起的。我们构造了这类概念的一个更高的范畴推广，并引入了带状$\infty$范畴的概念，它是辫状monoidal $\infty$范畴的一个推广（\cite{Lu1}），其产生了$\infty$ -链路的概念，$\infty$ -4-流形以及更一般的有壁$\infty$ -4-流形的概念，如果人们将注意力集中在$\infty$ -4-流形上，将加厚的薄片粘在丝带上制成的歧管。这些属于一个更大的类约束$\infty$ -4-流形，其经典的4维对应物是约束4-流形，我们考虑物理理论。我们认为对约束4-流形和拉格朗日密度描绘物理理论定义在这样的空间作为态射对象在一个增强的Kirby类别，其对象被视为事件。我们定义了一个普遍的范畴$Λ$的所有事件，我们涉及到的$\infty$-范畴的带状$\infty$ -范畴，并得出部分结论，拉格朗日域论可以取代使用$\infty$ -范畴。
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