Criteria of ergodicity for $p$-adic dynamical systems in terms of coordinate functions
本文研究$p$ -adic动力系统的遍历性问题.我们的目的是提出的标准遍历的坐标函数对应的数字的$p$ -进数的典型的扩展。坐标表示法可以是有用的，例如，密码学的应用。此外，通过使用这种表示，我们可以考虑非光滑的$p$ -adic变换。基本的技术工具是van der Put级数和使用由部分冻结变量的坐标函数引起的代数结构（排列）。我们通过提出具体的遍历函数类来说明基本定理。
2013-03-23 math.DS math.NT math.PR
Ergodicity criteria for non-expanding transformations of 2-adic spheres
本文从2-adic整数超度量空间$\mathbb Z_2$出发，得到了半径为$2^{-r}$，$r\ge 1$，中心位于某点$a$的2-adic球面$\mathbf S_{2^{-r}}(a)$上的离散动力系统$<f;\mathbf S_{2^{-r}}(a)>$关于归一化Haar测度遍历的充分必要条件.映射$f\colon\mathbb Z_2\to\mathbb Z_2$被假设为非扩展的和保持测量的;也就是说，$f$满足Lipschitz条件，相对于2进度量为常数1，并且$f$保持$\mathbb Z_2$上的自然概率测量，$\mathbb Z_2$上的Haar测量$μ_2$被归一化，使得$μ_2(\mathbb Z_2)=1$。
2012-05-03 math.DS
Ergodicity and periodic orbits of $p$-adic $(1,2)$-rational dynamical systems with two fixed points
本文考虑$p$ -进数域上的$(1,2)$ -有理函数$\mathbb Q_p$ .一般来说，这样的函数有四个参数。我们研究的情况下，这样的函数有两个不动点，并表明，当有两个不动点，然后$(1,2)$ -有理函数是共轭的两参数$(1,2)$ -有理函数。根据这两个参数，我们确定的类型的不动点，找到西格尔磁盘和盆地吸引区域的不动点。此外，我们还对不变集进行了分类，并研究了函数在每个不变集上的遍历性。我们描述了由双参数$(1,2)$ -有理函数生成的$p$ -adic动力系统的2-和3-周期轨道。
2023-01-07 math.DS
Ergodic Transformations of the Space of $p$-adic Integers
设$\mathcal L_1$是所有$p$ -adic整数$\Z_p$到其自身的满足Lipschitz条件且常数为1的所有映射$f\colon\Z_p\Z_p$的集合.证明了对所有$k=1,2,3,...$，映射$f\in\mathcal L_1$关于$\Z_p$上的归一化Haar测度是遍历的当且仅当$f$在每个剩余环$\Z/p^k\Z$模$p^k$上诱导单圈置换.多元的情况下，以及测量保持映射，也被认为是。本文的结果与作者以前的结果相结合，给出了$\mathcal L_1$的遍历映射的明确描述. $p=2$的该表征是完整的。作为一个应用，我们得到的多项式（和某些局部解析函数），诱导遍历变换的$p$ -adic领域的一个特征。后一个结果意味着一个问题的解决方案（由A.~ Khrennikov）关于球面上扰动单项式映射的遍历性。
2006-02-05 math.DS math.NT
An adic dynamical system related to the Delannoy numbers
我们引入了一个adic（Bratteli-Vershik）动力系统的基础上，从根的路径计数是Delannoy数的图。我们确定了遍历不变测度，证明了每个测度的全遍历性，并开始了维数群和其他动力学性质的研究。
2011-05-27 math.DS math.NT
Limited scope adic transformations
我们介绍了一个家庭的进变换图是非平稳和非简单的。这个家庭包括一些以前研究的进变换。我们将这些图的维数组与由无穷边路径上的adic变换所确定的动力系统相关联，并明确地计算一个子族的维数组。我们还确定了该子族的遍历进不变概率测度，并证明了该子族的每个系统都是松散的Bernoulli。我们还给出了具体的进变换的例子与根的统一，以及一个是完全遍历所谓的欧拉进。我们还表明，欧拉进是松散的伯努利。
2007-08-09 math.DS
Limiting curves for polynomial adic systems
本文证明了柱面函数和多项式（自相似）adic系统的遍历定理中部分和的偏差所导致的极限曲线的存在性并描述了极限曲线。对于一般的遍历保测变换和可和函数，给出了极限曲线存在的必要条件。我们的工作推广的结果，由。Janvresse，T. de la Rue和Y. Velenik并回答了他们工作中的几个问题。
2017-01-26 math.DS
Automata as $p$-adic Dynamical Systems
字母表$\mathbb F_p=\{0,1,\ldots,p-1\}$上的无限词的自动机变换（其中$p$是素数）与$p$-adic整数的环$\mathbb Z_p$的连续变换（关于$p$ -adic度量）一致。研究对象是$\mathbb Z_p$空间上由自动机映射生成的非阿基米德动力系统。这种动力系统的测度保持性（相对于Haar测度）和遍历性在密码学中起着重要的作用（例如，对于伪随机生成器和流密码设计）。使用$p$ -进方法和自动机的几何图像的可能性允许传递（或遍历）自动机的特征。本文研究了与同步和异步自动机相关的保测度遍历映射。我们得到了与异步自动机相联系的$n$ -单位延迟映射的测度保持性准则。此外，我们还得到了这类映射遍历性的一个充分条件。
2018-04-02 cs.FL math.DS
$p$-adic dynamical systems of $(3,1)$-rational functions with unique fixed point
我们描述了在复$p$ -adic域$\mathbb C_p$上给出的所有$(3,1)$ -有理函数的集合，并且具有唯一的不动点.我们研究了由$(3,1)$ -有理函数生成的$p$ -adic动力系统，证明了不动点是中性的，因此轨迹的收敛性不是动力系统的典型情形.我们得到了这些动力系统的Siegel圆盘。此外，每个轨迹的极限点集的上界。对于每个$(3,1)$ -有理函数$\mathbb C_p$有一个点$\hat x=\hat x(f)\in \mathbb C_p$这是零在其分母。本文给出了球心在不动点上的球的半径的显式公式，这些球包含了一些点，这些点在$f$作用下的轨迹经过有限步后到达$\hat x$ .对于定义在$p$ -adic数集合$\mathbb Q_p$上的一类$(3,1)$ -有理函数，研究了相应的动力系统的遍历性.证明了若$p\geq 3$，则在每个不变球面上约化的$p$ -adic动力系统关于Haar测度不是遍历的.对于$p=2$，在一定条件下，我们证明了非遍历性，并证明了存在一个球，其上的动力系统是遍历的。最后，我们给出了$(3.1)-$有理函数的周期轨道的一个特征和一些一致局部性质。
2018-09-11 math.DS
Non-Archimedean dynamics of the complex shift
在p字母表上的单侧无限词的（异步）自动机变换Fp = Z/pZ，其中p是素数，是一个连续变换（w.r.t. p-adic度量）的环Zp。此外，自动机映射生成Zp上的非阿基米德动力系统。测度保持性和遍历性（w.r.t.这种动力系统的Haar测度）在密码学中起重要作用（例如，在流密码中）。本文的目的是提出一种新的方法来实现一个复杂的位移p-adics。特别地，我们引入了p-adics上的变换的Mahler展开的条件，这些条件足以使其成为复移位。此外，我们还得到了这类映射遍历的一个充分条件.
2020-09-27 cs.CR cs.FL math.DS
Disjointness properties for Cartesian products of weakly mixing systems
对于$n\geq 1$，我们考虑动力系统类JP（$n$），它的每个遍历连接与$k$弱混合自同构（$k\geq n$）的笛卡儿积都可以表示为系统的连接的独立扩张，该系统只有$n$坐标因子.对于$n\geq 2$，我们证明了：只要弱混合自同构$T$的最大谱型关于任何$n$连续测度的卷积是奇异的，即$T$具有所谓的$n$阶卷积奇异性，则$T$属于JP（$n-1$）.为了提供这样的自同构的例子，我们利用对称Fock空间的谱简单性。这也使我们能够证明，对于任何$n\geq 2$，类JP（$n$）本质上大于类JP（$n-1$）。此外，我们证明了JP（$n$）的所有成员都是从无穷可分平稳过程生成的遍历自同构中不相交的。
2012-07-18 math.DS
Exponential chi squared distributions in infinite ergodic theory
证明了随机游动adic变换的分布极限定理，得到了指数χ 2形式的遍历分布极限.
2012-03-26 math.DS math.PR
Estimates of linearization discs in $p$-adic dynamics with application to ergodicity
给出了$\mathbb{C}_p$上幂级数线性化圆盘大小的下界.对于二次映射，和某些幂级数包含一个“足够大”的二次项，我们发现精确的线性化光盘。对于$\mathbb{Q}_p$的有限扩张，我们给出了相应的线性化圆盘是极大的乘子的一个充分条件（即其半径与$f$一一对应的$\mathbb{C}_p$中的极大圆盘的半径一致）.特别地，在$\mathbb{Q}_p$的非分歧扩张中，如果乘子映射在单位球面上有极大圈，则线性化圆盘是极大的。在\cite{Lindahl:2004,Lindahl:2009,Lindahl:2009eq}中得到了其余类型的一维非阿基米德场的线性化圆盘的估计。此外，它表明，对于任何完整的非阿基米德域，传递性下保持解析共轭。利用Oxtoby \cite{Oxtoby:1952}的结果，我们证明了传递性，从而极小性，是等价的唯一遍历紧子集的线性化盘。特别是，幂级数$f$在$\mathbb{Q}_p$是最小的，因此唯一遍历，在所有领域内的一个线性化磁盘上的一个固定点，当且仅当乘数是最大的。我们还注意到，在$\mathbb{Q}_p$的有限扩张中，以及在任何其他非阿基米德域$K$中，对于某些素数$p$，它与$\mathbb{Q}_p$不同构，幂级数在包含在线性化圆盘中的整个球面上不能遍历，并且以相应的不动点为中心。
2009-10-19 math.DS
Several remarks on Pascal automorphism and infinite ergodic theory
我们将Pascal-adic变换解释为广义诱导自同构（过里程计），并将里程计的$σ$ -有限模拟公式化，这也被称为“Hajian-Kakutani变换”（以前的“俄亥俄州例子”）。我们很快提出了一个草图的理论上的随机游动的基础上的$σ$ -有限遍历论的群体。
2015-12-11 math.DS
Group structure of the $p$-adic ball and dynamical system of isometry on a sphere
本文研究了$p$ -adic球和球的群结构。研究了定义在不变球面上的等距动力系统。本文分别定义了球和球面上的二元运算$\oplus$和$\odot$，并证明了这两个集合关于这两个运算是紧的拓扑阿贝尔群.然后证明了任意两个半径为正的球（球面）同构为群。证明了在$\mathbb Z_p$中引入的Haar测度也是任意球上的Haar测度.研究了球面上等距线生成的动力系统，证明了非不动点的初始点的轨迹不收敛。我们研究了这个$p$ -adic动力系统关于球上约化的Haar测度的遍历性.对于$p\geq 3$，我们证明了动力系统不是遍历的。但对于$p=2$，在一定条件下，动力系统可能是遍历的.
2022-08-06 math.DS math.FA math.GN
Measure transfer and $S$-adic developments for subshifts
本文通过为子移位的S-adic展开构造测度锥与字母频率锥的交换图指令序列，证明一大类零熵极小子移位具有无穷多个遍历测度，并构造了底层态射均不可识别的唯一遍历子移位例子。
2023-05-04 math.DS
Digraph Representations Of Rational Functions Over $p$-adic Numbers
本文在由有理函数定义的$p$ -adic动力系统上构造了一个有向图结构.利用图论的性质，研究了函数在不变子集上保持测度、可逆、等距、遍历和极小的条件。
2009-09-23 math.DS math.NT
Microlocal lifts and quantum unique ergodicity on $GL(2,\mathbb{Q}_p)$
证明了对于属于主列的自守形式，在$GL(2,\mathbb{Q}_p)$的紧算术子上算术量子唯一遍历性成立.我们解释了这一结论的特征函数的均匀分布的覆盖一个固定的正则图或沿嵌套序列的正则图。我们的结果是第一次他们的任何p-adic算术商。它们可以被理解为类似的林登施特劳斯定理的等距分布的马斯形式在一个紧凑的算术表面。这里的新成分包括介绍了一个代表性理论的概念“p-adic microlocal升降机”与有利的性质，如对角不变性的限制措施，证明正熵的限制措施在一个p-adic方面，以下的方法Bourgain-Lindenstrauss，和一些分析本地Rankin-Selberg积分涉及这里介绍的microlocal升降机以及经典newvectors。一个重要的输入是Einsiedler-Lindenstrauss的测量分类结果。
2016-11-13 math.DS math.NT math.RT
Infinite symmetric ergodic index and related examples in infinite measure
定义了一个无限保测变换保测变换，若它与它的逆变换的有限笛卡儿积都是遍历的，则它具有无穷对称遍历指数，并证明了无穷对称遍历指数并不意味着幂积都是保守的，因此也不意味着幂弱混合.给出了$k$ -重和无穷对称遍历指标的一个充分条件，并利用它回答了乘积守恒性和乘积遍历性之间的关系问题。我们还证明了一类具有无穷对称遍历指数的秩1变换不是幂弱混合的，并精确刻画了一类幂弱变换，推广了已有的例子.
2017-02-05 math.DS
On a Class of Rational $P$-Adic Dynamical Systems
本文研究了一类有理$p$ -进动力系统在复$p$ -进域$\C_p$中的轨线行为.我们研究了这类动力系统的Siegel盘和吸引子。我们找到了系统吸引子的盆。证明了这类动力系统在单位球面上关于Haar测度不是遍历的。
2006-02-25 math.DS math.NT
$p$-adic dynamical systems of $(2,2)$-rational functions with unique fixed point
本文考虑复$p$ -adic域$\mathbb{C}_p$上的一类$(2,2)$ -有理函数.每个这样的函数都有唯一的不动点。研究了由$(2,2)$ -有理函数生成的$p$ -adic动力系统.我们证明了不动点是中性的，因此轨迹的收敛不是动力系统的典型情况。找到了这些动力系统的Siegel圆盘，得到了每个轨迹的极限点集的上界，即，我们确定包含极限点集合的足够小的集合。对于每个$(2,2)$ -有理函数$\mathbb{C}_p$有两个点$\hat x_1=\hat x_1(f)$，$\hat x_2=\hat x_2(f)\in \mathbb{C}_p$这是零的分母。本文给出了球心在不动点上的含有点的球面半径的显式公式，使得这些点在$f$作用下的轨迹经过有限步后达到$\hat x_1$或$\hat x_2$ .此外，对于一类$(2,2)$ -有理函数，我们研究了$p$ -adic数$Q_p$集合上的动力系统的遍历性.对于每个这样的函数，我们描述所有可能的不变球面。我们证明了在每个不变球面上约化的$p$ -adic动力系统关于Haar测度不是遍历的。
2017-03-27 math.DS
Dynamical properties of the Pascal adic transformation
我们研究的动态变化，作用于无限路径的图形与帕斯卡的三角形。对于每一个遍历不变测度，由一个阶梯函数给出了返回柱面时间的渐近规律。我们构造了一个表示系统的一个子移位的两个符号的字母表，然后证明了这个子移位的复杂性函数是渐近的立方，出现的块的频率表现在一个规则的方式，和子移位是拓扑弱混合。
2003-10-20 math.DS
Beyond substitutive dynamical systems: S-adic expansions
无限词的S-adic展开是将其写作为替换的无穷乘积的极限的一种方式（即，自由幺半群的态射）。这种描述与数和向量的连分数展开有关。这种关系的一个基本例子是Sturmian序列和正则连分数之间的关系。我们从词组合学、遍历论和丢番图逼近等不同角度研究了S-adic词，强调了S-adic词与连分数展开式的相似性。
2017-07-18 math.CO math.DS
On Infinite Transformations with Maximal Control of Ergodic Two-fold Product Powers
研究了无穷保测变换的笛卡儿积的遍历性和守恒性的丰富性质。构造了一类变换，使得对于任意子集$R\subset \mathbb Q\cap (0,1)$，该类中存在$T$，使得$T^p\times T^q$遍历当且仅当$\frac{p}{q} \in R$ .这与有限测度保持的情况形成对比，其中对于所有非零$p$和$q$，$T^p\times T^q$遍历当且仅当$T\times T$遍历。我们还表明，我们的类是丰富的保守产品的行为。对每一个正整数$k$，构造了一类秩1的无穷保测变换变换，它们具有遍历指数$k$，但具有无穷保守指数.
2014-02-08 math.DS
Universal adic approximation, invariant measures and scaled entropy
本文定义了一个由序偶和群$\mathbb{Z}$的~标准作用（adic作用）以及二阶群~ $\mathcal{D}=\sum_1^{\infty} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的无限和在图的道路空间上的~标准作用组成的无限分次图。证明了这些作用在以下意义下对这两个群都是泛作用：这两个群的每个遍历作用，在具有不变测度和二项式生成元的情况下，乘以一个特殊作用（“里程计”），与具有一个中心测度的图的道路空间上的标准adic作用度量同构.我们考虑一系列相关问题。
2017-09-25 math.DS
On Rational $P$-Adic Dyanamical Systems
本文研究了有理$p$ -adic动力系统在复$p$ -adic域$\C_p$中的轨线行为.研究了这类动力系统的Siegel盘和吸引子。我们证明了Siegel圆盘对于动力系统的不同不动点既可以重合也可以不相交。此外，我们还找到了系统吸引子的盆。证明了这类动力系统在单位球面上关于Haar测度不是遍历的。
2006-02-25 math.DS math.NT
Invariant measures for Cartesian powers of Chacon infinite transformation
我们描述了所有的有界有限的措施是不变的笛卡尔权力的无限措施保持版本的Chacon变换。所有这些遍历测度都是所谓的对角测度的乘积，对角测度是以某种方式推广图上支持的测度的测度。与有限测度的情形不同，这类对角测度并没有被简化为由变换的幂产生的图上支持的测度：它还包含一些奇怪的不变测度，其边缘相对于变换不变的测度是奇异的。由这些结果我们得到无限Chacon变换存在平凡中心化子，不存在非平凡因子。最后证明了一个独立的结果，给出了定义在笛卡儿积上的无穷保测度动力系统分解为两个动力系统的直积的充分条件.
2017-05-23 math.DS
An ergodic approach towards an equidistribution result of Ferrero--Washington
费雷罗-华盛顿证明分圆$μ$ -不变量为久保田-利奥波德$p$ -进$L$ -功能消失的一个重要组成部分是一个等分布的结果，他们建立了使用外尔准则。我们的手稿的目的是通过采用动态方法提供另一种证明。我们的方法的一个关键成分是研究$\mathbb{Z}_p \times [0,1]$上的遍历斜积映射，然后将其适当地识别为样本空间$\{0,1,2,\cdots,p-1\}^{\mathbb{Z}}$上的$2$侧伯努利移位的因子。
2025-05-01 math.DS math.NT
The Euler adic dynamical system and path counts in the Euler graph
给出了广义欧拉数的一个公式，证明了欧拉数的某些比值序列的单调性，并应用这些结果得到了一个新的证明：基于欧拉图的Bratteli-Vershik动力系统的自然对称测度是唯一的全支撑不变遍历Borel概率测度.证明的关键成分是一个二维的归纳论点和一对一的对应关系之间的大多数路径从两个顶点在同一级别的另一个顶点。
2009-09-21 math.CO math.DS
$p$-adic dynamical systems of the function $\dfrac{ax}{x^2+a}$
证明了任何具有唯一不动点的$(1,2)$有理函数都拓扑共轭于$(2,2)$有理函数或共轭于函数$f(x)={ax\over x^2+a}$ .本文研究了$(2,2)$在复$p$域$\mathbb C_p$上生成的动力系统。我们证明了唯一不动点是无关的，因此轨迹的收敛不是动力系统的典型情况。我们构造了这些动力系统的Siegel圆盘。我们确定一个足够小的集合包含的极限点的集合。它给出了所有可能的不变球面。我们证明了在每个不变球面上约化的$p$ -adic动力系统关于$p$ -adic数$Q_p$集合上的Haar测度不是遍历的.此外，还研究了系统的一些周期轨道。
2018-09-14 math.DS
Tower power for $S$-adics
本文用符号动力学标准语言重述了先前关于塔幂的结果，构造了具有d个不同遍历测度的极小S-adic系统，并给出计算任意处处增长替换所定义子移位上柱测度的实用公式。
2020-03-11 math.DS
Dynamical systems of the $p$-adic $(2,2)$-rational functions with two fixed points
本文考虑复$p$ -adic域$\mathcal{C}_p$上的一类$(2,2)$ -有理函数.每个这样的函数$f$具有两个不同的不动点$x_1=x_1(f)$、$x_2=x_2(f)$。研究了由$(2,2)$ -有理函数生成的$p$ -adic动力系统.我们证明了$x_1$总是$f$的中立不动点，即，$x_1$是一些西格尔磁盘$SI(x_1)$的中心。根据函数$f$的参数，固定点$x_2$的类型可以是任何可能性：无关，吸引，排斥。当$x_2$为中性吸引子或吸引子时，我们分别找到了不动点$x_2$的Siegel吸引盘或吸引盆。当$x_2$是排斥者时，我们会发现一个开放的球，其任何点都被$x_2$排斥。此外，我们还研究了当$x_2$是中性的时，集合$SI(x_1)$和$SI(x_2)$之间的关系。对于每个$(2,2)$ -有理函数$\mathcal{C}_p$有两个点$\hat x_1=\hat x_1(f)$，$\hat x_2=\hat x_2(f)\in \mathcal{C}_p$这是零的分母。本文给出了含有点的球面（圆心在不动点$x_1$上）的半径的显式公式，使得这些点的轨迹（在$f$的作用下）经过有限步后到达$\hat x_1$或$\hat x_2$ .我们研究了动力系统的周期轨道，找到了一个包含所有周期轨道的不变集。此外，我们还研究了动力系统在每个不变球面上的遍历性。在…
2019-03-15 math.DS
Uniformly distributed sequences of p-adic integers, II
本文描述了定义在p-adic整数环上（取值于p-adic整数环上）且（至少局部）满足系数为1的利普希茨条件的所有函数类中的遍历（关于Haar测度）函数.等概率（特别是，措施保持）的功能，这类也被描述。在某些情况下（特别是p = 2时），描述可以用明确的公式给出。其中一些结果可以看作是p-adic单位圆盘上遍历等距动力系统的描述。该研究的动机是计算机模拟和密码学中的伪随机数生成问题。从这个观点出发，本文描述了模M的非线性同余伪随机发生器，它产生具有最大可能周期长度的模M的严格周期均匀分布序列（即，M）。这些发生器的状态变化函数和输出函数都可以是，例如，亚纯函数（特别是具有有理系数但不一定是整数系数的多项式，或有理函数），或算术运算（如加法、乘法、取幂、整数幂，包括负幂）与标准计算机运算（如逐位逻辑运算（XOR、OR、AND等））的组合。研究了产生序列的线性复杂度。
2002-09-30 cs.IT math.DS math.IT
Parity sequences of the 3x+1 map on the 2-adic integers and Euclidean embedding
研究3x+1映射下2-adic整数与奇偶序列的对应，提出逆变换新公式，分析诱导自同构的遍历性、不动点与周期环，并给出具有仿射自相似性的平面嵌入。
2025-02-18 math.DS math.NT
Dimensions of Orbit Closures and Discrepancy for Dynamical $p$-adic Sequences
该研究针对p进整数环中的动力序列，证明遍历1-Lipschitz自映射的轨道为低偏差序列，得到多项式自映射轨道大小增长界，确定其轨道闭包盒维数为0或1。
2026-08-25 math.DS math.NT
Ergodic measures for periodic type $\mathbb{Z}^m$-skew-products over Interval Exchange Transformations
本文研究了区间交换变换上周期型$\mathbb{Z}^m$-斜积的遍历不变Radon测度分类问题，通过引入adic编码的符号语言并应用相关符号结果，证明了此类测度恰为由$\mathbb{R}^m$参数化的Maharam测度，并给出了其显式形式与弱*-连续性。
2024-09-27 math.DS
Generalizations of Furstenberg's Diophantine result
本文证明了Furstenberg的丢番图结果的两个推广，即在$\mathbb{N}$的非缺乘半群的乘法作用下，环面上无理点的轨道的稠密性.证明了对于任意序列$\{a_{n} \},\{b_{n} \}\subset\mathbb{Z}$，当$n$趋于无穷大时，其连续元素的乘积趋于$1$，以及任意无穷序列$\{c_{n} \}$，对于任意无理$x$，集合$\{a_{n}b_{m}c_{k}x : n,m,k\in\mathbb{N} \}$是稠密模$1$.利用遍历理论的方法，证明了若$\{a_{n} \},\{b_{n} \}$是对某个素数$p$具有光滑$p$-adic插值的序列，则对任意无理数$x$，序列$\{p^{n}a_{m}b_{k}x : n,m,k\in\mathbb{N} \}$是模1稠密的.
2016-07-03 math.DS math.NT
