四次循环覆盖的精细局部提升问题
The refined local lifting problem for cyclic covers of order four
AI总结：
本文研究了特征2代数闭域上四次循环覆盖的精细局部提升问题，证明了在给定子覆盖提升的条件下存在有限扩张及相应的整体提升，验证了Saïdi的精细提升猜想并揭示了野分歧Galois覆盖模空间的性质。
摘要：
假设 $ϕ$ 是特征为 $2$ 的代数闭域 $k$ 上曲线的 $\mathbb{Z}/4$-cover，且 $Φ_1$ 是 $ϕ$ 的 $\mathbb{Z}/2$-子覆盖到特征零的完备离散赋值环 $R$ 的一个\emph{nice}提升。我们证明存在由 $Φ_1$ 确定的 $R$ 的有限扩张 $R'$，以及 $ϕ$ 到 $R'$ 的提升 $Φ$，其 $\mathbb{Z}/2$-子覆盖同构于 $Φ_1 \otimes_R R'$。该结果给出了 Saïdi 的精细提升猜想成立的非平凡循环覆盖族。此外，本文还展示了一些现象，可能有助于揭示野分歧 Galois 覆盖神秘的模空间。
英文摘要：
Suppose $ϕ$ is a $\mathbb{Z}/4$-cover of a curve over an algebraically closed field $k$ of characteristic $2$, and $Φ_1$ is a \emph{nice} lift of $ϕ$'s $\mathbb{Z}/2$-sub-cover to a complete discrete valuation ring $R$ in characteristic zero. We show that there exist a finite extension $R'$ of $R$, which is determined by $Φ_1$, and a lift $Φ$ of $ϕ$ to $R'$ whose $\mathbb{Z}/2$-sub-cover isomorphic to $Φ_1 \otimes_R R'$. That result gives a non-trivial family of cyclic covers where Sa{ï}di's refined lifting conjecture holds. In addition, the manuscript exhibits some phenomena that may shed some light on the mysterious moduli space of wildly ramified Galois covers.
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