秘书问题与两个几乎相同的连续申请者
Secretary problem and two almost the same consecutive applicants
AI总结：
本文研究秘书问题的新变体，目标是选择相对秩相差1的相邻申请者，并证明在最优停止规则下成功概率的极限不超过1/2。
摘要：
我们提出秘书问题的一个新变体。设 $A$ 为包含 $n$ 个申请者的全序集。给定 $P\subseteq A$ 和 $x\in A$，令 $rr(P,x)=\vert\{z\in P \mid z\leq x\}\vert$ 为 $x$ 相对于 $P$ 的相对秩，并令 $rr_n(x)=rr(A,x)$。设 $x_1,x_2,\dots,x_n\in A$ 为互异申请者的随机序列。目标是选择 $1<j\leq n$，使得 $rr_n(x_{j-1})-rr_n(x_j)\in\{-1,1\}$。设 $α$ 为满足 $0<α<1$ 的实常数。考虑如下停止规则 $τ_n(α)$：拒绝前 $αn$ 个申请者，然后选择第一个满足 $rr(P_j,x_{j-1})-rr(P_j,x_j)\in\{-1,1\}$ 的 $x_j$，其中 $P_j=\{x_i\mid 1\leq i\leq j\}$。令 $p_{n,τ}(α)$ 为 $τ_n(α)$ 选中满足 $rr_n(x_{j-1})-rr_n(x_j)\in\{-1,1\}$ 的 $x_j$ 的概率。我们证明 \\[\lim_{n\rightarrow\infty}p_{n,τ}(α)\leq \lim_{n\rightarrow\infty}p_{n,τ}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\mbox{.}\\]
英文摘要：
We present a new variant of the secretary problem. Let $A$ be a totally ordered set of $n$ \emph{applicants}. Given $P\subseteq A$ and $x\in A$, let $rr(P,x)=\vert\{z\in P \mid z\leq x\}\vert\mbox{ }$ be the \emph{relative rank of} $x$ \emph{with regard to} $P$, and let $rr_n(x)=rr(A,x)$. Let $x_1,x_2,\dots,x_n\in A$ be a random sequence of distinct applicants. The aim is to select $1<j\leq n$ such that $rr_n(x_{j-1})-rr_n(x_j)\in\{-1,1\}$. Let $α$ be a real constant with $0<α<1$. Suppose the following stopping rule $τ_n(α)$: reject first $αn$ applicants and then select the first $x_j$ such that $rr(P_j,x_{j-1})-rr(P_j,x_j)\in\{-1,1\}$, where $P_j=\{x_i\mid 1\leq i\leq j\}$. Let $p_{n,τ}(α)$ be the probability that $τ_n(α)$ selects $x_j$ such that $rr_n(x_{j-1})-rr_n(x_j)\in\{-1,1\}$. We show that \[\lim_{n\rightarrow\infty}p_{n,τ}(α)\leq \lim_{n\rightarrow\infty}p_{n,τ}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\mbox{.}\]
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