arXiv 2104.149162021-04math.AP

临界区域中具有混合吸引力和排斥力的三次薛定谔系统的解

Solutions to a cubic Schrödinger system with mixed attractive and repulsive forces in a critical regime

Simone Dovetta, Angela Pistoia

备注：: 18 pages

摘要：

本文研究了三次薛定谔方程组$$ -Δu_i = \sum_{j =1}^m β_{ij} u_j^2u_i + λ_i u_i\ \hbox{in}\ Ω,\ u_i=0\ \hbox{on}\ \partialΩ,\ i =1,\dots,m, $$的解的存在性，当$Ω$是有界区域时，在$\mathbb R^4, $中$λ_i$是正的小数，$β_{ij}$是实数，使得$β_{ii}>0$和$β_{ij}=β_{ji}$，$i\neq j$ .我们组装成组的组件$u_i$，使所有的相互作用力$β_{ij}$之间的组件相同的组是有吸引力的，即$β_{ij}>0$，而部队之间的组件不同的群体是排斥或弱吸引力，即$β_{ij}<\overlineβ$的一些$\overlineβ$小。当所有参数$λ_i$趋近于零时，我们找到了这样的解，即给定群内的每个分量在同一点附近爆破，而不同的群在不同的点附近爆破。

英文摘要：

We study the existence of solutions to the cubic Schrödinger system $$ -Δu_i = \sum_{j =1}^m β_{ij} u_j^2u_i + λ_i u_i\ \hbox{in}\ Ω,\ u_i=0\ \hbox{on}\ \partialΩ,\ i =1,\dots,m, $$ when $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb R^4, $ $λ_i$ are positive small numbers, $β_{ij}$ are real numbers so that $β_{ii}>0$ and $β_{ij}=β_{ji}$, $i\neq j$. We assemble the components $u_i$ in groups so that all the interaction forces $β_{ij}$ among components of the same group are attractive, i.e. $β_{ij}>0$, while forces among components of different groups are repulsive or weakly attractive, i.e. $β_{ij}<\overlineβ$ for some $\overlineβ$ small. We find solutions such that each component within a given group blows-up around the same point and the different groups blow-up around different points, as all the parameters $λ_i$'s approach zero.

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摘要：

英文摘要：

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