受熵最优输运理论的启发，本文重新讨论了扩散过程的时间反演。本文导出了抽象空间中马尔可夫过程的carré du champ的分部积分法公式。它导致了一个广泛的一类扩散过程的时间反演公式在$ \mathbb{R}^n$可能与奇异漂移，在这一领域的推广已经知道的结果。分部积分法公式的证明依赖于随机导数。然后，应用该公式计算扩散测度$P$的时间反演$P^*$的半鞅特征，条件是$P$相对于另一扩散测度$R$的相对熵是有限的，并且时间反演$R^*$的半鞅特征是已知的（例如当参考路径测度$R$是可逆的时）。为了说明这种方法的鲁棒性，我们还利用分部积分法公式导出了图上随机游动的时间反演公式。
英文摘要：
Motivated by entropic optimal transport, time reversal of diffusion processes is revisited. An integration by parts formula is derived for the carré du champ of a Markov process in an abstract space. It leads to a time reversal formula for a wide class of diffusion processes in $ \mathbb{R}^n$ possibly with singular drifts, extending the already known results in this domain.
The proof of the integration by parts formula relies on stochastic derivatives. Then, this formula is applied to compute the semimartingale characteristics of the time-reversed $P^*$ of a diffusion measure $P$ provided that the relative entropy of $P$ with respect to another diffusion measure $R$ is finite, and the semimartingale characteristics of the time-reversed $R^*$ are known (for instance when the reference path measure $R$ is reversible).
As an illustration of the robustness of this method, the integration by parts formula is also employed to derive a time-reversal formula for a random walk on a graph.
Time reversal of Markov processes with jumps under a finite entropy condition
基于熵最优输运理论，研究了$\mathbb{R}^n$中Markov跳过程的时间反演问题.借助于Cattiaux，Gentil等人最近得到的马尔可夫过程的carré du champ的抽象分部积分法公式，并利用Föllmer在80年代发现的熵改进策略，计算了一类具有可能无界变化样本路径和奇异跳强度的跳过程的时反过程的半鞅特征.
以Poincaré不等式和对数Sobolev不等式为特例，得到并研究了扩散半群的新的$Φ$ -熵不等式.从这项研究中，我们得到了一大类线性Fokker-Plank型方程在简单条件下的渐近行为，广泛地推广了以前的结果。利用这些不等式研究了非线性扩散方程. D. Bakry和M.金刚砂作为分析的主要工具，以局部或整体形式出现。
Entropy Production for Stationary Diffusions on Hilbert Spaces
Institute for Functional Intelligent Materials, National University of Singapore（新加坡国立大学功能智能材料研究所）；Department of Mathematics, National University of Singapore（新加坡国立大学数学系）
