随机演化方程的熵产生与可逆性准则
Entropy Production and Reversibility Criteria for Stochastic Evolution Equations
AI总结：
本文针对无穷维希尔伯特空间的随机演化方程，基于可逆奥恩斯坦-乌伦贝克参考过程的不变高斯测度，推导了用不可逆场表示的熵产生公式，明确了可逆情形的表征条件。
AI中文摘要：
本文针对无穷维希尔伯特空间上的一类随机演化方程，建立了路径空间上的熵产生理论。由于这类空间没有标准的勒贝格参考测度，通常的有限维密度公式无法直接推广。我们转而相对于可逆奥恩斯坦-乌伦贝克参考过程的不变高斯测度进行研究。结合无穷维吉萨诺夫变换、参考过程的时间反转以及相对于高斯测度的平稳福克-普朗克方程，我们推导出了用不可逆场表示的显式熵产生公式。在自然测试类中，该场表示前向与反转非线性漂移的差值。在给定假设下，熵产生消失等价于平稳概率流消失、生成元在不变希尔伯特空间中的自伴性、细致平衡以及平稳路径律在时间反转下的不变性。因此，可逆情形由非线性漂移的高斯参考梯度结构来表征。
英文摘要：
This paper develops a path-space theory of entropy production for a class of stochastic evolution equations on infinite-dimensional Hilbert spaces. Since such spaces have no canonical Lebesgue reference measure, the usual finite-dimensional density formulas do not extend directly. We instead work relative to the invariant Gaussian measure of a reversible Ornstein--Uhlenbeck reference process. Combining an infinite-dimensional Girsanov transform, time reversal of the reference process, and the stationary Fokker--Planck equation relative to the Gaussian measure, we derive an explicit entropy-production formula in terms of an irreversibility field. On the natural test class, this field represents the difference between the forward and reversed nonlinear drifts. Under the standing assumptions, vanishing entropy production is equivalent to vanishing stationary probability current, self-adjointness of the generator in the invariant Hilbert space, detailed balance, and invariance of the stationary path law under time reversal. The reversible case is therefore characterized by a Gaussian-reference gradient structure for the nonlinear drift.
