利用Vinberg算法计数线条

用平面五次曲线的固定不变量计算超平面截面

Counting the hyperplane sections with fixed invariants of a plane quintic

我们使用三种不同的方法来计算平面中与固定的一般五次曲线相交的交比固定的直线的数量。我们比较和对比这些方法，揭示了现代技术背后的一些经典思想。

使用到P^1的映射计算曲线上的点

Counting points on curves using a map to P^1

本文提出了一种计算有限域上曲线zeta函数的新算法。这种方法扩展了Kedlaya的算法到一个非常一般的一类曲线使用映射到投影线。我们开发了所有必要的界限，分析了算法的复杂性，并提供了一些例子计算与我们的实施。

Sub-Linear Point Counting for Variable Separated Curves over Prime Power Rings

Let $k,p\in \mathbb{N}$ with $p$ prime and let $f\in\mathbb{Z}[x_1,x_2]$ be a bivariate polynomial with degree $d$ and all coefficients of absolute value at most $p^k$. Suppose also that $f$ is variable separated, i.e., $f=g_1+g_2$ for $g_i\in\mathbb{Z}[x_i]$. We give the first algorithm, with complexity sub-linear in $p$, to count the number of roots of $f$ over $\mathbb{Z}$ mod $p^k$ for arbitrary $k$: Our Las Vegas randomized algorithm works in time $(dk\log p)^{O(1)}\sqrt{p}$, and admits a quantum version for smooth curves working in time $(d\log p)^{O(1)}k$. Save for some subtleties conce…

计算具有多重性的关节

Counting joints with multiplicities

令$\mathfrak{L}$是$\R^3$中的$L$线的集合，并且$J$是由$\mathfrak{L}$形成的接头的集合，即每个点位于$\mathfrak{L}$的至少3条非共面线中的点的集合。已知$|J| \lesssim L^{3/2}$（首先由Guth和Katz证明）。对于每个关节$x \in J$，令$x$的多重数$N(x)$为通过$x$的非共面线的三元组的数量。本文证明了$\sum_{x \in J}N(x)^{1/2} \lesssim L^{3/2}$，而在最后一节中，我们将这一结果推广到$\R^3$中的一致有界次数的实代数曲线，以及$\R^3$中由一致有界次数的实多项式参数化的曲线.

代数幺模计数

Algebraic Unimodular Counting

研究了将幺模线性线性方程组的非负整数解的个数表示为右侧函数的代数算法。我们的方法包括托德类的环面品种通过Gröbner基地，和合理的生成函数在Barvinok的算法。我们报告多面体和计算结果的两个特殊情况下：计数列联表和Kostant的分拆函数。