Survey of mathematical foundations of QFT and perturbative string theory
近年来，量子场论和微扰弦论的数学表述取得了显著的进展。我们对这些发展作一简要的概述。它作为更详细的集合“量子场论和微扰弦论的数学基础“的介绍。
2012-01-06 hep-th math-ph math.AT
Null Physical States in String Models
本文是我的文章Nucl. Phys. B 864（2012）285，[arXiv：1110.5510]的一个简短的补遗，这篇文章讨论了弦模型Ramond扇区中的无鬼定理。在本附录中，我们得到了关于Ramond-Neveu-Schwarz模型中零物理态结构的更多信息。
2012-12-18 hep-th
Topological strings and their physical applications
我们给出了一个介绍性的审查拓扑弦和它们的应用超弦和超对称规范理论的各个方面。这篇评论包括发展必要的数学背景的拓扑弦，如卡-丘流形和环面几何的概念，以及物理方法解决它们，如镜像对称，大N对偶，拓扑顶点和量子泡沫。此外，我们还讨论了拓扑弦在四维N= 1，2超对称规范理论以及四维和五维BPS黑洞熵中的应用。（这些是第二作者在2004年西蒙斯数学和物理研讨会上的演讲笔记。
2005-07-23 hep-th
Fields, Strings and Branes
复习弦/M/膜理论最新发展的课堂讲稿。G. CIME Summer International Center of Mathematics at Cetraro. 1997年7月
1997-11-14 hep-th
Thermofield Dynamics of the Closed Bosonic String - Physical Aspects of the Thermal Duality -
利用玻色热弦系综的热对偶对称性和模不变性的热稳定性以及整体相结构描述了D=26的封闭玻色热弦论的热场动力学.
1996-09-04 hep-th
Physical Fock space of tensionless strings
研究了具有纯无质量谱的无张力周边作用量弦论的物理Fock空间。这些态被分类为无质量粒子的维格纳小组。基态包含无限多个固定螺旋度的无质量场，激发能级实现CSR表象。我们证明了第一和第二激发能级是物理零态。
2004-02-10 hep-th
TASI Lectures on the Mathematics of String Dualities
在这些演讲录中，我们描述了超对称弦论和场论的一些基本数学概念，以及它们在描述和检验对偶性中的作用。特别是，我们提供了一个教学介绍拓扑和全纯扭曲，下降，和更高的代数结构。我们主要的例子是拓扑弦的世界面理论，即A-和B-模型，我们简要回顾。这些程序是基于第二作者在TASI 2021上的演讲。
2022-04-12 hep-th math-ph math.MP
Thermofield Dynamics of the Heterotic String - Physical Aspects of the Thermal Duality -
利用D = 10杂化热弦论的热对偶对称性和模不变性的热稳定性，结合D = 10杂化热弦系综的整体相结构，描述了D = 10杂化热弦论的热场动力学.
1997-05-02 hep-th
Snowmass Whitepaper: Physical Mathematics 2021
这是一份关于物理数学的Snowmass白皮书。它简要总结并强调了来自同一作者的一篇更广泛的文章中的一些关键问题，题为“2021年物理数学全景”。"
2022-03-09 hep-th
Physical States and String Symmetries
结果表明，如果动量属于一个完整的晶格，那么弦论的每一个物理状态导致散射振幅的对称性。我们讨论了当动量是由通常的D.D.F结构提供的动量时这种对称性的作用，并证明了在与自对偶洛伦兹晶格相关的环面上紧化的弦$Π^{25,1}$具有伪怪物李代数作为对称。
1994-11-14 hep-th
Topological Amplitudes and Physical Couplings in String Theory
在这些讲座中，我们回顾了通过扭曲N=2二维超共形代数获得的拓扑理论的主要性质，与超对称弦紧化相关。特别是，我们描述了一组物理量的弦论，计算的拓扑振幅。这些通常是低能有效超引力中的高维F项，或者是超对称破缺后的费米子质量。我们讨论了II型弦的N=2紧化，杂种和I型弦的N=1紧化，以及N=4弦真空。特别强调的是把替代字符串的双重表示允许可计算性，并在推广的N=2全纯性及其异常。
2007-01-31 hep-th
Physical state representations and gauge fixing in string theory
我们重新研究玻色弦协变量子化中的物理态表示。我们特别考虑了由于零态（或BRST精确态）而产生的剩余规范对称性的一个参数族的规范固定条件，并获得了包括DDF态在内的可观测Hilbert空间的显式表示。这种分析的目的是为协变弦场论如时间规范或光锥规范的完整规范固定过程提供必要的成分。
2005-09-26 hep-th
Physical states for non-linear $SO(N)$ strings
本文研究了基于二次非线性$SO(N)$ --扩展超共形代数的超弦理论中的一些低层物理态。在我们使用的代数实现中，所有的物理状态都是离散的，类似于单标量玻色弦的情况。$N=3$情况下的BRST运算符需要单独处理，这里给出了它的构造。
1995-11-22 hep-th
Physical States in the $W_3$ String
本文综述了$W_3$弦研究的一些最新进展。该理论的一个有趣的特征是，物理谱包括具有非标准鬼结构的状态，例如鬼场的激发，无论是离散动量状态还是连续动量状态。（对1992年6月瑞典哥德堡第16届约翰·霍普金斯粒子物理学当前问题研讨会论文集的贡献）
1992-11-11 hep-th
Physical States at the Tachyonic Vacuum of Open String Field Theory
本文给出了在能级截断近似下计算开弦论在稳定快子真空中的物理态数的一种方法。该方法是基于规范固定的开弦场论二次作用，包括Fadeev-Popov鬼弦场的分析。计算到9级的标量部门是一致的森的猜想，没有物理开弦状态的快子真空。我们还得到了一个长的精确上同调序列，涉及在非微扰真空的BRS算子的相对和绝对上同调。我们使用这个确切的结果结合我们的数值结果得出结论，较高的鬼数非微扰BRS上同调是非空的。
2003-09-16 hep-th
Higher Structures, Self-Dual Strings and 6d Superconformal Field Theories
本文总结和讨论了用高规范理论表述六维超共形场论作用量的最新结果。后者保证了我们的建设数学的一致性，我们审查这个框架的关键方面，如$L_\infty$ -代数和相应的运动学数据较高的连接。然后，我们表明，有一个数学上一致的非阿贝尔扩展的自对偶弦方程，满足许多物理期望。我们的构造倾向于一个特定的更高规范群，这使我们得到更高的主丛，称为弦结构。使用这些，我们设法制定一个六维行动，共享许多属性与著名的$(2,0)$ -理论，但也仍然不同于它在一些关键点。
2019-03-07 hep-th
Fields, Strings, Matrices and Symmetric Products
在这些笔记中，我们回顾了量子力学和对称乘积空间的西格玛模型在量子场论、弦论和矩阵论的光锥量子化中所起的作用。1998年1月在加州大学圣巴巴拉分校理论物理研究所和1998年5月在哈佛大学春季弦论和数学学校讲课。
1999-12-13 hep-th
Modular Invariance, Finiteness, and Misaligned Supersymmetry: New Constraints on the Numbers of Physical String States
我们研究了非超对称弦论中玻色子态和费米子态在所有质量水平上的一般分布，发现弦谱中总是存在一个隐藏的"错位超对称“。我们证明，这种错位的超对称性最终是在没有完全时空超对称性的情况下弦振幅有限性的原因，因此错位的超对称性的存在提供了一个自然的限制，限制了在弦论中时空超对称性可以在多大程度上被破缺而不破坏弦振幅的有限性。错位超对称性也解释了模不变性和物理快子的缺乏是如何影响整个弦谱的态分布的，并隐含地将模函数理论中一些著名的结果推广为两个变量。
1995-03-04 hep-th
Classical Open String Amplitudes and Boundary String Field Theory
翻译后摘要：我们表明，边界弦场论实现了开弦场论的极小模型。更精确地说，我们观察到边界弦场论的（余）同调向量场$Q$在其线性部分的上同调中的展开再现了微扰弦论的S-矩阵。在数学上，边界弦场论实现了上同调扰动引理的极小模型映射。
2019-06-09 hep-th
The Complete Cohomology of the W3 String
本文给出了一个构造双标量和多标量$W_3$弦的BRST算子的完全上同调的简单方法。该方法包括在双标量$W_3$串中获得两个可逆的15级物理算子，并且它们可以与所有其他物理算子正常排序。它们可以用来将所有的物理算符映射成动量位于基本晶胞中的非平凡物理算符。通过对这个单元中的物理算子进行详尽的分析，解决了整个上同调问题。
1993-09-07 hep-th
Physical Degrees of Freedom in 2-D String Field Theories
通过弦场论作用量的分量分解，研究了2-D弦的绝对（半相对）上同调态，而不是相对上同调态。据发现，它们是辅助领域没有动力学条款，但重要的是，例如在主方程的沃德-高桥身份。在西格尔规范中分析了鬼结构，但注意到绝对（半相对）上同调态丢失。
1992-07-20 hep-th
On Physical States in c<1 String Theory
Lian和Zuckerman的BRST上同调分析给出了耦合到Liouville引力的$c<1$物质在所有鬼数下的物理状态。我们展示了这些状态是如何通过下降方程与鬼数零（纯顶点算子状态- DK状态）和鬼数一（环元素）的状态相关的。这些下降方程来自String BRST和Felder BRST算子的双上同调。我们简要地讨论如何环元素允许一个确定所有的关联函数的领域。
1992-09-15 hep-th
Snowmass White Paper: String Perturbation Theory
本白皮书的目的是回顾最近在阐明和评估弦振幅方面的进展，将它们与量子场论振幅联系起来，将它们的预测应用于弦对偶，探索它们与引力物理的联系，并加深我们对其数学结构的理解。我们还提出了未来研究的目标选择。
2022-04-19 hep-th
An Unreasonably Quick Introduction to String Theory, Conformal Field Theory and Geometry
本文是基于2024年暑期学校四场讲座整理的弦论、共形场论及相关几何入门材料，面向无量子场论基础的读者，内容精简。
2024-07-09 hep-th
Physical Spectra in String Theories --- BRST Operators and Similarity Transformations
本文探讨了弦理论中通过相似变换连接不同背景理论的示例，并从拓扑共形代数和规范对称性角度分析了相似变换的普遍结构。
1995-12-27 hep-th
Evidence for Non-perturbative String Symmetries
弦论似乎承认一组离散场变换--称为$S$对偶--是精确的非微扰量子对称。在数学上，它们相当类似于更著名的$T$对偶对称性，后者是微扰的。在这次演讲中，$S$对偶性的证据进行了审查，并提出了一些猜测。
1994-11-29 hep-th
Finite size effects for giant magnons on physical strings
利用有限能隙方法，我们求出了物理弦上任意数目的巨磁振子的首阶有限尺寸修正，其中动量之和是2π的倍数。我们的结果对Hofman-Maldacena基本巨磁振子以及它们的双子推广都是有效的。能量修正结果是令人惊讶的简单，特别是如果所有的磁振子是基本的，并在领先的顺序是独立的磁振子口味。我们还展示了如何使用Bethe的anomaly找到大的R-收费的双子巨磁振子的有限大小的修正。
2008-02-01 hep-th
From the String Landscape to the Mathematical Landscape: a Machine-Learning Outlook
London Institute for Mathematical Sciences（伦敦数学科学研究所）；Royal Institution of Great Britain（英国皇家学会）；University of Oxford（牛津大学）；City, University of London（伦敦城市大学）；NanKai University（南开大学）
我们回顾了最近使用机器学习来探索数学问题的前景的计划。以这种范式作为人类直觉的模型-与自动定理证明的形式化方法互补并形成对比-我们强调了AI如何帮助猜想制定，模式识别和计算的一些实验。
2022-02-12 cs.LG hep-th math.HO
Brackets in bosonic string theory
本文回顾了玻色弦理论中不同表示下的括号与内积，重点研究双重弦理论中的C-括号，揭示其通过反常约化与先前括号的联系及其与Courant代数胚定义相关的特性。
2024-11-25 hep-th
Les Houches Lectures on Fields, Strings and Duality
我在1995年Les Houches学校所作的14次“关于一切的讲座”的笔记。拓扑学与共形场论、弦、规范场、超对称性等的入门课程。演示文稿是更数学然后通常，并采取了现代的观点，强调模空间，对偶性和相互联系的主题。增加了一个关于BPS态和D-膜的未经证实的讲座。
1997-03-19 hep-th
Open-closed homotopy algebra in mathematical physics
在本文中，我们讨论了各个方面的开闭同伦代数（OCHAs）在我们以前的文件，灵感来自Zwiebach的开闭弦场论，但第一篇论文集中在数学方面。在这里，我们将展示如何通过提取Zwiebach的量子开闭弦场论的树部分来获得OCHA。我们澄清的明确关系的OCHA与Kontsevich的变形量子化和同调镜像对称的B-模型。给出了OCHA的极小模型的一种显式形式，并讨论了它与开闭弦场论微扰展开的关系。我们表明，我们的开闭同伦代数给我们的开弦结构（$A_\infty$ -代数）的变形封闭弦（$L_\infty$ -代数）的一般计划。
2006-06-30 hep-th math.AT math.QA
On the Universal String Theory
最近，Berkovits和Vafa认为，$N{=}0$字符串是$N{=}1$字符串背景的一种特殊选择。在假设$N{=}0$弦论的物理状态本质上来自物质自由度的前提下，他们证明了两种弦论的振幅是一致的。他们还强调，无论物理状态的形式如何，这一点都应该持续存在。本文的目的是证明两个理论具有相同的物理态谱，而不对物理态的形式作任何假设。我们还顺便注意到，这个结果让人想起了诱导表象理论中的一个众所周知的事实，我们探讨了这对寻找普适弦论可能产生的影响。
2020-10-16 hep-th
K-theory in cutoff version of Vacuum String Field Theory
真空弦场论（VSFT）中涉及物质部分的运动方程的解是由投影器给出的，它们代表了被解释为D25-膜（或低维膜）的非微扰解（例如，条子），但它们在数学上没有很好的定义，因为它们具有零范数。在这项工作中，我们将使用基于Moyal弦场论（MSFT）的截断版本（VSFT的一个特殊版本）的正则化过程，我们将看到在这种状态下，银态和蝴蝶态都有很好的数学描述。特别是它们是属于$\Sc(\RR^{2Nd})$的指数函数，$\Sc(\RR^{2Nd})$是具有 *-乘积的施瓦茨函数空间。然后我们证明，如果我们用C*-代数$\bar{\Sc}(\RR^{2Nd})$建立的K-理论群对这些正则化解进行分类，我们会发现与通常的弦论中考虑D25-膜的K-理论分类所得到的结果完全相同，使用D25-膜世界体积上向量丛的拓扑K-理论。然后，我们评论这一结果的意义和可能的物理影响。
2004-03-30 hep-th
On N=1 Superconformal Algebra in the Non-Critical Bosonic String Theory
在最近的工作中，已经表明玻色子弦可以嵌入到一类特殊的$N=1$费米子弦中。我们认为，在这个费米子弦的频谱中的任何物理状态的超伙伴是非物理的。因此，在物理状态的空间中没有超对称性，在这个意义上，嵌入是“微不足道的”。在这里，我们提出了两种不同的结构作为可能的候选人的非平凡嵌入的非临界玻色弦到一些特殊的类$N=1$费米子弦，其中之一是非临界NSR字符串。在这两种情况下，$N=1$费米子弦的BRST电荷都分解为$Q_{N=1} = Q_B + {\tilde Q}$，其中$Q_B$是玻色子弦的BRST电荷。
1994-04-21 hep-th
Introduction to sh Lie algebras for physicists
闭弦场论导致了李代数的推广，它在数学中自然地出现在代数结构的变形研究中。它也出现在对更高自旋粒子\cite{BBvD}的研究中。表示论的类似物出现在巴塔林-弗拉德金-维尔科维奇方法的数学分析约束哈密顿。本文的一个主要目标是看到相关的公式，特别是在封闭的弦场论，作为一个推广的微分分次李代数，希望描述的数学要素，在访问的条款{ \it物理学家}。
1992-09-24 hep-th
Topological Structure in ${\hat c}=1$ Fermionic String Theory
$\chat=1$费米子弦论被认为是二维的费米子弦论，它被分解为两个相互独立的部分，其中一个可以看作是一个拓扑模型，另一个与理论无关.理论的物理内容在很大程度上受这种拓扑结构的支配，而$\chat=1$弦论的离散物理谱很自然地被解释为拓扑模型的物理谱。这种拓扑结构与费米子弦论中$N=3$ SCA的包络代数中的一个新的隐藏的$N=2$超共形代数（SCA）有关。
1994-06-25 hep-th
Mathematics in and out of String Theory
我们首先给出了一个阐述如何Polyakov路径积分的玻色弦产生一个自然的映射类群不变测度，$d(Poly)$，在Teichmüller空间的黎曼曲面的每个固定的亏格。本文还解释了Teichmüller空间上行列式丛的Mumford同构对$d(Poly)$的描述.然后，我们报告了我们与I.Biswas和D.Sullivan的最新结果，在那里我们成功地在所有有限亏格Teichmüller空间的通用直接极限$T_\infty$上连贯地拟合了这个Polyakov-Mumford构造。紧致曲面（任意亏格$g > 1$）的基本群的虚自同构群通过自同构作用于$T_\infty$作为“可分解映射类群”。我们的整个构造对于这个新的模群是等变的。
1995-12-15 alg-geom hep-th math.AG
Low-Lying Cosmic String Spectrum and Background Fields in Effective String Theory
我们提出了一个详细的分析宇宙弦谱。显式的解决方案是使用Mathematica的数值计算，并在这里提出的最低躺支持模式。大部分的重点是在Nambu-Goldstone模式和最小质量的激发，后者被证明是标量呼吸模式。我们解决的可能性，通过添加适当的相互作用的字符串，并表明，它是可能的，有一个最小的大规模的赝标量束缚态，只有玻色子领域的赝标量激发。最后，我们展示了如何在体紫外理论的某些相互作用引起的背景场相互作用的有效弦论。
2015-12-10 hep-th
Geometric Transitions and Open String Instantons
我们研究了Aganagic和Vafa提出的一类新的几何变换的物理和数学结构。这些跃迁的独特之处在于存在对陈-西蒙斯理论的开弦瞬子修正。我们发现一个精确的匹配之间的开放和封闭的弦拓扑振幅应用一个美丽的想法提出了威滕前一段时间。闭弦振幅从开弦的角度再现，作为一个迷人的相互作用的枚举技术和陈-西蒙斯计算的结果。
2003-12-27 hep-th
Bosonic String Dynamics
本研究作为弦论入门综述，梳理了玻色弦作用量、对应的运动方程及开/闭弦有效质量，阐明了弦论对物理研究的简化作用与对数学的反向贡献价值。
2025-01-15 hep-th
N=1 Conformal Supergravity and Twistor-String Theory
四维N=4共形超引力的物理状态出现在Berkovits和Witten的扭量-弦论中（hep-th/0406051）。我们研究了基于加权射影空间WCP^{3}的B-模型的扭量-弦论的两个不同版本|2}并且基于涉及开弦的某种构造。扭量超场所描述的时空场包含N=1共形超引力的物理态。
2004-09-20 hep-th
Chiral Rings and Physical States in c<1 String Theory
我们展示了如何双上同调的字符串和费尔德BRST收费自然导致环结构的$c<1$字符串。手征环是二元多项式环，模为（p+1，p）模型的形式为$x^p \simeq y^{p+1}$的等价关系。我们还研究了对应于共形网格的边缘，其包含是至关重要的环的封闭状态。我们引入候选运营商，对应的观测值的矩阵模型。它们的存在是由极小模型的一个屏蔽算子与零动量介子的关系所激发的。
1992-07-30 hep-th
Covariant $κ-$Symmetry Gauge Fixing and the Classical Relation Between Physical Variables of the NSR String and the Type II GS Superstring
本文的主要目标是显着协变推导的规范固定格拉斯曼变量的NSR弦和II型GS超弦之间的经典关系。为此，我们分析了II型超弦的超嵌入方程，导出了NSR弦和II型GS超弦的原始变量之间的关系，并进一步通过Lorentz调和变量以明显的Lorentz协变方式修正了GS超弦的$κ-$对称性。
2001-04-26 hep-th
Immersions and folds in string theories of gauge fields
本文考虑了一个具有动力学取消折叠的二维弦模型。该模型的动作包含自相交数，该自相交数是为浸入4D目标中的表面定义的。这两个附加变量不是动力学的，并且存在于紧致流形上。在这个意义上，模型是一个4D理论的紧致化。该抵消迫使字符串$þ$角度等于$π$。构造字符串状态的候选。给出了一些数学背景。
1996-04-10 hep-th
String Theory: An Evaluation
从一个在数学系工作的量子场论家的角度评价弦论的一篇论战性文章。鼓励对作者发表评论。
2001-02-16 hep-th physics.soc-ph
Tensionless strings: physical Fock space and higher spin fields
我研究了具有周长作用量的无张力弦论的物理Fock空间，探索了它的新的规范对称性代数。共形反常的消除要求时空是13维的。所有的粒子都是无质量的，在光谱中没有快子态。零模共形算子定义了物理Fock空间的能级。所有的能级都可以用11维无质量粒子的小群E（11）的最高Casimir算子W来分类。基态是无限简并的，包含任意大整数自旋的无质量规范场，实现了固定螺旋度的E（11）的不可约表示。激发能级实现了具有无限螺旋数的小群E（11）的CSR表示。在检查了第一个激发能级（正如我所证明的，它是一个物理零态）之后，我猜想所有的激发能级都是物理零态。在这个理论中，第二阶张量场不起任何特殊的作用，因此人们可以认为在这个模型中没有引力。
2003-10-15 hep-th
On Field Theory of Open Strings, Tachyon Condensation and Closed Strings
在独立开弦场论的背景下，回顾了不同真空的物理性质。演讲于Strings 2001，孟买，印度，http://theory.theory.tifr.res.in/strings/Proceedings/#sha-s。
2001-05-09 hep-th
A mini-course on topological strings
这些是我2004年秋天在乌普萨拉大学上的一堂拓扑弦论的短课的讲义。这些笔记是针对那些研究过量子场论和广义相对论，以及对普通弦论有一些一般知识的博士生的。本课程的主要目的是涵盖基础知识：在回顾了必要的数学工具之后，给出了从扭曲N=（2，2）超对称场论构造A-和B-模型拓扑弦的彻底讨论。这些说明最后简要讨论了一些选定的应用。
2005-04-18 hep-th
Symmetry limitations on quantum mechanical observers, and conjectured link with string theory
本文尝试性地描绘了一个可能的物理图像，它可能有助于解释量子场论和弦论之间的联系。如果字符串参数$τ$和$σ_i $被解释为表示特定类型的观察者能力，则可能发生对应关系。观察者的限制可以由相关量子力学观察者态的对称性来施加。这个假设将来可能会对理解弦/场论中发现的某些对偶性的物理基础有所帮助。
2006-01-16 hep-th
Non-commutative spaces in physics and mathematics
本综述旨在从理论物理学家的角度为NCG的研究提供一些动机和数学前提，并展示矩阵理论的一些应用和所获得的结果。作者于2000年1月26日至2月2日在都灵TMR学院作的关于当代弦论和膜物理的讲座。
2000-06-01 hep-th
An Introduction to String Theory
这些笔记是基于讲座期间所给予的迈克尔格林第三部分的数学荣誉学位（证书高等研究数学）在2003年春季。这门课介绍了弦论，重点是玻色弦，但也介绍了超弦。假设在量子场论和广义相对论的背景。一些粒子物理学、群论和共形场论的背景知识是有用的，尽管不是必需的。还提供了一些关于更高级主题的附录，包括对各种膜配置中的orientifolds的介绍，这有助于填充文献中相对稀疏的部分。
2012-06-07 gr-qc hep-th physics.ed-ph
"So what will you do if string theory is wrong?"
我简要地讨论了弦论的成就，它作为自然模型的理论在被完全证伪后仍然存在，并论证了这样一种可能性，即这种存在可能必然意味着弦论将成为独立于物理学和数学的学科。
2008-05-05 hep-th physics.pop-ph
The Orbifolds of Permutation-Type as Physical String Systems at Multiples of $c=26$ III. The Spectra of $\hat{c}=52$ Strings
在本系列的第二篇论文中，我得到了所有扭曲开和闭$\hat{c} = 52$弦的扭曲BRST系统和扩展的物理状态条件。在本文中，我补充了扩展的物理状态条件的显式形式的扩展（扭曲）Virasoro生成器的所有$\hat{c} = 52$字符串，这使我们能够讨论这些系统的物理谱。令人惊讶的是，所有的$\hat{c}=52$光谱都承认在$c=26$的一般非常规Virasoro发生器方面的等效描述。这一描述有力地支持了我们先前的猜想，即$\hat{c}=52$弦不含负范数态，而且还表明某些简单情况下的谱与普通的无扭开和闭$c=26$弦的谱是等价的。
2007-04-12 hep-th math-ph math.MP
String theory mathematics and matrix data analysis
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
该研究受量子场论和弦理论中矩阵技术启发，回顾置换不变高斯矩阵模型（PIGMM），用有限置换对称性简化矩阵数据分析，经\(S_N\)表示理论等将其作用对角化，还介绍了在多领域的成功应用及未来潜在应用。
2026-07-29 hep-ph hep-th
