Histogram Tomography
在许多层析成像问题中，数据由沿着直线或曲线的积分组成。我们越来越多地遇到“丰富的断层扫描”的问题，其中成像的数量是更高的维度比标量每体素，包括矢量张量和功能。数据也可以是更高维的，并且在许多情况下由每条射线的一维或二维谱组成。在许多这样的情况下，数据不仅包含沿射线的积分，而且包含沿射线的值的分布。如果将其离散化到bin中，我们可以将其视为直方图。在本文中，我们介绍了“直方图层析成像”的概念。对于直方图数据的标量问题，这保持了用较少射线重建的可能性。在向量和张量问题中，它有望重建相关积分变换的零空间中的图像。对于标量直方图层析成像问题，我们展示了如何在直方图中的箱对应于重建水平集的功能，而矩的分布是X射线变换的未知函数的权力。在矢量的情况下，我们给出了重建过程的潜在的领域的组成部分。我们演示了如何从布拉格边缘中子能谱数据中提取直方图纵向射线变换数据，因此，使用矩，推导出应变张量的非线性系统的偏微分方程。在应变的x射线衍射层析中，可以从衍射图样中导出全直方图横射线变换所不能导出的横射线变换。我们给出了一个显式的例子，沿一条线的应变分布，产生相同的衍射图案，并表征相关的变换的零空间。
2019-10-18 math.AP
Preconditioning Inverse Problems for Hyperbolic Equations with Applications to Photoacoustic Tomography
本文研究了波动方程约束线性反问题边界观测数据的鲁棒预处理问题。本文的主要结果是正则化参数鲁棒预处理的概念。类似的概念已经发展了基于椭圆型偏方程的控制问题之前。
2019-05-31 math.AP math.OC
Thermoacoustic Tomography with Circular Integrating Detectors and Variable Wave Speed
我们探讨热声层析成像与圆形积分探测器假设可变的，平滑的波速。我们表明，在这种情况下的测量算子是一个傅里叶积分算子，并检查如何在初始数据和测量数据的奇异性是通过该操作的规范关系。我们证明了这些奇异性的初始数据是可见的，从一个固定的开放子集上进行测量。此外，数值结果显示为全部和部分数据。
2019-07-01 math.AP
Local reconstruction of coefficients in quantitative photo-acoustic tomography
Zhejiang University（浙江大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；Grenoble Alpes University（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）
针对定量光声断层扫描中内部数据仅部分可用的问题，提出一种在子区域内重建辐射传输方程中散射和吸收系数的方法。
2026-06-16 math.AP
Thermoacoustic Tomography in Elastic Media
研究了线性、各向同性、非齐次弹性波动方程解u在[0，T] x \partial Ω上的初始位移f的恢复问题，其中Ω \subset \R^3是包含f的支撑的有界区域.对于声波方程，这个问题被称为热声层析成像（TAT），并已得到很好的研究;对于弹性波方程，情况有点微妙，我们给出了充分条件的Lamé参数，以确保恢复是可能的。
2011-10-11 math-ph math.AP math.MP
Broken ray tensor tomography with one reflecting obstacle
我们证明了任何秩的张量场在所有破断射线上积分为零当且仅当它是低阶张量的对称化共变导数，该低阶张量在边界的反射部分满足对称条件，在其余部分为零。这是在具有非正截面曲率和任何维度上的严格凸障碍物的几何形状中完成的。我们给出了两个证明，这两个包含新的功能也在没有反射。这个结果甚至对于二维以上的标量也是新的。
2020-01-23 math.AP math.DG
Analysis of the Linearized Problem of Quantitative Photoacoustic Tomography
光声层析成像中的图像定量重建需要求解一个涉及光传输和声波传播的耦合物理反问题。在本文中，我们解决这个问题，采用辐射传输方程作为光传输的精确模型。作为主要的理论结果，我们得到了线性化反问题的稳定性和唯一性结果。我们考虑的情况下，单一照明以及多照明的情况下，假设全部或部分数据。线性化问题的数值解比非线性问题的解成本低得多。我们提出的数值模拟支持线性化问题的稳定性结果，并证明线性化问题已经给出了准确的定量结果。
2017-02-15 math.AP
Lipschitz stability for the electrical impedance tomography problem: the complex case
本文研究了边值问题${div(γ\nabla u)=0 in Ω, u=f on \partialΩ$，其中$γ$是复值$L^\infty$系数，满足强椭圆性条件.在电阻抗断层扫描中，$γ$表示导电体的导纳。一个有趣的问题是从Dirichlet-to-Neumann映射$Λ_γ$的知识中唯一且稳定地确定$γ$。根据上述一般假设，这个问题是一个悬而未决的问题。在本文中，我们证明了，如果我们假定先验$γ$是分段常数与一个有界的已知数量的未知值，那么Lipschitz连续的$γ$从$Λ_γ$保持。
2010-08-24 math.AP
Integral geometry and unique continuation principles
这是我的博士论文的引言部分，关于医学和地震成像中出现的逆问题。主题包括X射线断层扫描的标量和向量场与部分数据，高阶分数卡尔德龙问题，旅行时间层析黎曼和芬斯勒流形，和唯一的延续分数拉普拉斯。论文还包括这些文章：arXiv：1909.05585，arXiv：2001.06210，arXiv：2006.05790，arXiv：2008.10227，arXiv：2009.01043，arXiv：2010.11484，arXiv：2103.14385。
2021-07-06 math.AP math.DG math.FA
Microlocally accurate solution of the inverse source problem of thermoacoustic tomography
我们考虑热声和光声层析成像的逆源问题，在部分围绕声波源的开放表面上登记数据。在恒定声速的假设下，我们开发了一个明确的非迭代重建过程，恢复所寻求的源的Radon变换，直到一个无限平滑的附加误差项。然后可以通过反转Radon变换来找到源。我们的分析是微局部的性质，并没有提供一个正常的估计，因此获得的图像中的错误。然而，数值模拟表明，这种误差在实际中是相当小的。我们还提出了一个渐进的快速实现这个过程的情况下，当数据是在一个圆弧在2D。
2020-04-15 math.AP
Lipschitz stability at the boundary for time-harmonic diffuse optical tomography
本文研究了在扩散近似下，用$n\geq 3$确定介质$Ω\subset\mathbb{R}^n$光学性质的光学层析成像逆问题。我们考虑的时间谐波的情况下，$Ω$是探测与输入字段，调制与一个固定的谐波频率$ω=\frac{k}{c}$，其中$c$是光速和$k$是波数。当散射系数$μ_s$已知且$k$属于某个区间时，我们证明了吸收系数$μ_a$在边界$\partialΩ$上的Lipschitz稳定性，该区间依赖于$μ_a$，$μ_s$的先验界.
2020-05-08 math.AP
Generalized V-line transforms in 2D vector tomography
我们研究了从一组新的广义$V$ -线变换中恢复$\mathbb{R}^2$中向量场的反问题。首先介绍了$\mathbb{R}^2$中向量场的纵向和横向$V$ -线变换.然后，我们给出了一个明确的表征，他们各自的内核，并表明，他们是互补的。我们证明可逆的每个变换模他们的内核，并结合它们来重建明确的完整的向量场。在第二种方法中，我们将纵向和横向V线变换与它们相应的一阶矩变换相结合，并从任一对中恢复完整的向量场。我们表明，在这些设置中的每一个可用的数据可以用来推导出的向量场的标量分量的有符号的V线变换，并使用后者的已知的反转。本文的最后一个主要结果是推导出了一个精确的封闭形式公式，用于从$\mathbb{R}^2$的带权星变换重构其全向量场。我们通过将向量场的星形变换与场的标量分量的普通Radon变换相关联来解决这个问题。
2020-08-06 math-ph math.AP math.CA
Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity
本文证明了在 $C^{1,1}$ 正则性的简单 Riemannian 流形上测地 X 射线变换的逆性，重新定义了粗糙几何下的简单性，并在单位球丛上建立了微分与曲率算子演算。
2023-04-11 math.AP math.DG
Fast 3D Partial Boundary Data EIT Reconstructions using Direct Inversion CGO-based Methods
针对电阻抗断层成像医学应用中部分边界数据受限、传统迭代法计算成本高的问题，提出首批无需迭代的三维CGO基部分边界重建方法，2秒内即可成像且抗噪性和鲁棒性优异。
2024-12-13 cs.NA eess.IV math.AP
Double logarithmic stability estimate in the identification of a scalar potential by a partial elliptic Dirichlet-to-Neumann map
我们研究了由部分椭圆Dirichlet-to-Neumann映射确定定常薛定谔方程在有界区域中的标量势的反问题的稳定性问题.也就是说，狄利克雷数据被施加在域的边界的阴影面上，而诺依曼数据在其照明面上测量。我们建立了一个对数对数稳定性估计的L2-范数（分别）。1. 2. 3. 1. 3. 4. L ~ 2）势，其差位于任意正序索伯列夫空间中。
2015-01-07 math.AP
Reconstructions for some coupled-physics inverse problems
这封信宣布并总结了arXiv：1111.5051中获得的结果，并考虑了几个自然扩张。上述论文提出了一个程序，以重建系数的二阶，标量，椭圆型方程从知识的足够大的数量的解决方案。我们提出了这个推导和扩展，以显示哪些参数可能会或可能不会重建几个混合（也称为耦合物理）成像方式，包括光声断层扫描，热声断层扫描，瞬态弹性成像，磁共振弹性成像。还提出了稳定性估计。
2012-03-06 math.AP
Levenberg-Marquardt algorithm for acousto-electric tomography based on the complete electrode model
声-电层析成像中的逆问题涉及到从人体内部的功率密度函数的知识重建区域中的电导率。该内部功率密度由在边界电极处规定的电流产生（并且可以通过静电边界测量以及辅助声学测量来获得）。在电阻抗断层成像中，已知完整的电极模型是用于正演建模的最准确的模型。本文利用（光滑）完全电极模型提出了声电层析成像的重建问题，并在适当的函数空间中建立了Levenberg-Marquardt迭代法。这导致在每次迭代中要求解偏微分方程组。为了提高计算效率和稳定性，提出了一种基于完全电极模型和Dirichlet边界条件的连续介质模型的计算策略。该方程组的数值实现的二维场景和算法进行了测试，两个不同的数值幻影，心脏和肺模型和人脑模型。数值实验验证了该方法的可行性、准确性和稳定性。
2020-01-08 cs.NA math.AP math.NA
Decomposition of $L^{2}$-vector fields on Lipschitz surfaces: characterization via null-spaces of the scalar potential
对于$\partial Ω$是$\mathbb{R}^{d}$中有界连通强Lipschitz域的边界，本文证明了任何场$f\in L^{2} (\partial Ω; \mathbb{R}^{d})$以唯一的方式分解为三个无声的向量场之和，这些场的磁势在$\mathbb{R}^d\setminus\partial Ω$的一个或两个分量中为零.此外，该分解是正交的当且仅当$\partial Ω$是球面。我们还表明，任何$f$在$L^{2} (\partial Ω; \mathbb{R}^{d})$是唯一的两个沉默的字段和一个Hardy函数的总和，在这种情况下，无论$\partial Ω$的总和是正交的，我们表示相应的正交投影层的潜力。当$\partial Ω$是一个球，这两个分解重合，并在文献中被称为哈迪-霍奇分解匹配。
2020-09-11 math.AP
A remark on the existence of suitable vector fields related to the dynamics of scalar semi-linear parabolic equations
1992年，\cite{P2}证明了可以将任意向量场线性嵌入到具有Neumann边界条件的$Ω$上的标量半线性抛物型方程中，只要存在$\barΩ$上的光滑向量场$Φ=(ϕ_{1},...,ϕ_{n}) $，使得\[ \left\{\begin{array} [c]{l}% \operatorname*{rank}(Φ(x) ,\partial_{1}Φ(x) ,...,\partial_{n}Φ(x)) =n\text{for all}x\in\barΩ, \frac{\partialΦ}{\partialν}=0\text{on}\partialΩ\text{.}% \end{array} \right. \]。
2006-10-25 math.AP math.DS
An inverse problem of Calderon type with partial data
在任意空间维$n \geq 2$中，考虑了各向异性Lipschitz电导率电阻抗断层成像的Calderón问题的一个广义变体。得到了以下两个结果：（i）有界Lipschitz域上椭圆型微分方程的自伴Dirichlet算子，可由边界开子集上Dirichlet-to-Neumann映射的知识唯一地确定到酉等价;（ii）Dirichlet算子可由该子集上Dirichlet-to-Neumann映射的残差重构.
2011-06-20 math.AP math.SP
Partial data inverse problems for the Hodge Laplacian
我们证明了唯一性结果的卡尔德龙型反问题的霍奇拉普拉斯作用于分次形式的某些流形在三维空间。特别是，我们表明，部分测量的相对绝对或绝对相对的边界值映射唯一地确定零阶电位。该方法是基于Carleman估计的霍奇拉普拉斯算子的相对或绝对边界条件，并在建设复杂的几何光学解决方案，减少卡尔德龙型问题的张量层析成像问题的2张量。本文中的参数允许建立椭圆系统的部分数据结果，推广了Kenig-Sjostrand-Uhlmann的标量结果。
2016-05-12 math.AP math.DG
Alternatives for Generating a Reduced Basis to Solve the Hyperspectral Diffuse Optical Tomography Model
Goucher College（古彻学院）；University of Washington（华盛顿大学）；University of Bremen（不来梅大学）；Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出用Metropolis算法和梯度算法替代传统贪心算法生成简化基底，用于求解超光谱扩散光学断层成像模型，结果表明其在精度和效率上更优。
2018-03-02 cs.NA math.AP math.NA
On the isoperimetric quotient over scalar-flat conformal classes
设$(M,g)$是一个具有光滑边界$\partial M$的维数为$n$的光滑紧致黎曼流形.设$(M,g)$允许标量平坦共形度量。证明了在欧几里得空间中，当（i）$n\ge 12$和$\partial M$有非脐点，或（ii）$n\ge 10$，$\partial M$是脐点且Weyl张量在某个边界点不为零时，标量平坦共形类上的等周商的上确界严格大于等周不等式的最佳常数.
2017-09-23 math.AP math.DG
Design of Integral Controllers for Nonlinear Systems Governed by Scalar Hyperbolic Partial Differential Equations
本文研究了由标量拟线性双曲型偏微分方程所支配的非线性系统的积分控制器的控制与调节问题。控制输入和测量输出均位于边界上，首先用谱分析方法证明了线性化模型在设计的积分控制器下的闭环稳定性，然后用李雅普诺夫直接法证明了线性化模型的闭环稳定性。基于详细的李雅普诺夫函数，我们证明了具有相同控制器的非线性闭环系统的局部指数稳定性.在非线性系统上，给出了积分控制器对设定值的零静差调节。利用Preissmann方法进行了数值模拟，验证了所设计的滤波器对未知常值扰动的鲁棒性。
2017-11-23 math.AP math.OC
An existence theorem on the isoperimetric ratio over scalar-flat conformal classes
设$(M,g)$是一个具有光滑边界$\partial M$的维数为$n$的光滑紧致黎曼流形，其中允许一个标量平坦共形度量.我们证明了在标量平坦共形类上的等周比的上确界严格大于欧几里得空间中等周不等式的最佳常数，并且当（i）$9\le n\le 11$和$\partial M$有非脐点;或（ii）$7\le n\le 9$，$\partial M$是脐点且Weyl张量在边界上不同为零时，上确界成立.这是第二位命名作者和熊的工作\cite{Jin-Xiong}的延续。
2019-10-03 math.AP math.DG
