Ramanujan Series for Epstein Zeta Functions
在Ramanujan的思想下，我们得到了Hecke同余群$ \varGamma_0(N),N\in\mathbb Z_{>0}$上的Epstein zeta函数$ E^{\varGamma_0(N)}(z,s)$的指数快速收敛级数，其中$z$是上半平面$ \mathfrak H$上的任意点，而$s\in\mathbb Z_{>1}$是上半平面$ \varGamma_0(N),N\in\mathbb Z_{>0}$上的任意点.在Eichler积分的框架下，这些Ramanujan级数可以被重新表述为模形式的积分。这些Eichler积分的特殊情况恢复了Wan和Zucker（arXiv：1410.7081v1）最近报道的部分结果。
2015-03-28 math.CA math.NT
Extensions of Ramanujan's reciprocity theorem and the Andrews--Askey integral
拉马努金互易定理可以被认为是雅可比三重积恒等式的三变量推广。利用$q$ -偏微分方程的方法，将Ramanujan互易定理推广到一个七元互易公式. Andrews-Askey积分是一个具有四个参数的$q$ -积分，其基为$q$。用同样的方法，我们将Andrews-Askey积分公式推广到以$q$为基的七参数的$q$积分公式.
2018-05-17 math.CA math.CO math.NT
On series identities of Gosper and integrals of Ramanujan theta function $ψ(q)$
本文证明了戈培尔提出的一些没有证明或参考文献的朗伯级数。作为应用，我们将计算涉及Ramanujan θ函数$ψ(q)$的积分.此外，受Ramanujan关于$qψ^4(q^2)$和$\fr{ψ^3(q)}{ψ(q^3)}$的恒等式的启发，我们将用Lambert级数来计算$qψ^4(q^2)$和$\fr{ψ^3(q)}{ψ(q^3)}$的平方。
2019-01-26 math.NT
Character analogues of Ramanujan type integrals involving the Riemann $Ξ$-function
考虑一类新的积分，它涉及与本原Dirichlet特征标相关的$Ξ$ -函数的乘积.这些积分产生$F(z, α,χ)=F(-z, β,\barχ)=F(-z,α,\barχ)=F(z,β,χ)$类型的变换公式，其中$αβ=1$。新的字符类似物的变换公式的Guinand和Koshliakov以及那些拉马努金公式及其最近的推广显示作为特殊的例子。最后，得到了Ramanujan，Hardy和Littlewood的一个猜想的特征类似物，该猜想涉及默比乌斯函数的无穷级数.
2011-02-14 math.NT
Hurwitz Zeta Functions and Ramanujan's Identity for Odd Zeta Values
灵感来自一个著名的公式Ramanujan奇zeta值，我们证明了一个类似的公式，涉及赫维茨zeta函数。我们引入了一个新的积分核相关的赫维茨zeta函数，推广与拉马努金的身份积分核。我们还推导出几个类似于拉马努金公式的无穷族恒等式。
2022-05-17 math.NT
Multi-sum Rogers-Ramanujan Type Identities
我们使用积分的方法来建立一些Rogers-Ramanujan类型的身份涉及双重和三重和。证明这类恒等式的关键步骤是找到某些无穷乘积，它们在适当围线上的积分仍是无穷乘积。这里使用的方法是由Rosengren的Kanade-Russell恒等式的证明。
2023-01-11 math.CA math.CO math.NT
A number field extension of Ramanujan's identity and its integral representation via the generalized Riemann $Ξ$-function
Indian Institute of Technology Indore（印度理工学院印多尔分校）
本文建立拉马努金恒等式的数域类似物，得到戴德金ζ函数高次幂变换公式的积分表示，重现Hardy的雅可比θ关系积分表示，还得到扩展拉马努金-科什利亚科夫公式的数域类似物。
2026-10-16 math.NT
Relations among Ramanujan-Type Congruences I
证明了远离水平和同余素的整权模形式的Ramanujan型同余等价于Hecke特征值的特殊同余。特别是，我们表明，Ramanujan型同余保持的行动的浅Hecke代数。更一般地说，我们表明弱全纯模形式的积分权重，拉马努金型同余自然发生的转移，在工会的两个平方类，而不是单一的平方类出现在文献中的分拆函数。我们还排除了无平方周期的可能性，最近研究了无平方周期在分拆函数情况下的稀缺性。我们补充我们的障碍，最大的Ramanujan型同余与几个存在的声明。我们的结果是基于一个框架，利用经典的结果通过模表示理论的模曲线的积分模型，并适用于所有弱全纯模形式的同余。Steinberg表示支配所有整数权的极大Ramanujan型同余。我们辨别的范围，我们的框架的情况下，半整数权重通过示例计算。
2021-05-27 math.NT
New Proofs of Some Double Sum Rogers-Ramanujan Type Identities
最近，Rosengren利用积分方法证明了Kanade和Russell发现的一些代数恒等式。利用这种积分方法，我们给出了Rogers-Ramanujan型双和恒等式的新证明。这些恒等式以前曾用组合论证或用$q$ -差分方程等方法证明过。我们的证明是基于简化的计算，其中涉及这些双和身份，一些已知的Rogers-Ramanujan型身份与单和。此外，我们证明了Andrews和Uncu的一个代数恒等式，这一恒等式已被陈省身证实。
2022-05-27 math.CA math.CO math.NT
Berndt-Type Integrals and Series Associated with Ramanujan and Jacobi Elliptic Functions
本文以闭式求解含双曲与三角函数的Berndt型无穷积分，通过Gamma函数特殊值及椭圆函数展开求双曲和，并给出显式公式与猜想。
2024-04-19 math.NT
On certain extensions of Ramanujan's Master Theorem and their applications
本文基于 k-gamma 函数与 p-k gamma 函数推广 Ramanujan 主定理，建立 Mellin 型二重积分及推论，并用于计算多种定积分。
2024-04-09 math.NT
Analogues of the general theta transformation formula
考虑一类新的包含汇合型超几何函数${}_1F_{1}(a;c;z)$和Riemann $Ξ$ -函数的积分.它推广了一类包含S的某些积分的类。Ramanujan，G.H. Hardy和W.L. Ferrar和作为副产品给出了形式为$F(z,α)=F(iz,β)$的变换公式，其中$αβ=1$。作为特殊的例子，我们推导出一个扩展版本的一般θ变换公式和推广的某些公式的Ferrar和Hardy。一个著名的身份Ramanujan的一个变量的推广也给出了。最后，我们推广了Ramanujan，Hardy和J.E.涉及默比乌斯函数无穷级数的Littlewood问题。
2011-11-21 math.CA math.NT
Metaplectic Ramanujan conjecture over function fields with applications to quadratic forms
在有限域上的多项式环中，给出并证明了半整权模形式的Ramanujan猜想的类似结果.这是适用于给一个有效的解决问题的元素表示的环的三元二次型。我们的证明发展了半积分权形式和西格尔的θ函数在这方面的理论，以及一个明确的Waldspurger公式的模拟。在有理数的情况下，半整权Ramanujan猜想以这种方式转化为一个估计特殊的L-函数族的成员的特殊值的问题。这些多项式函数有越来越多的根（所有的单位圆感谢德林费尔德和德利涅的工作），这是成为equidistributed。这最终导致半整权尖点形式的傅里叶系数的关键估计。
2012-11-16 math.NT
A Generalized Closed Form of Ramanujan-Type Fourier Cosine Transform via Meijer's G-Function
Department of Mathematics and Statistics, Govt Degree College Sopore, Jammu and Kashmir Higher Education Department, India（印度查谟和克什米尔高等教育部索波政府学位学院数学与统计系）；Division of Computing and Mathematics, Abertay University, Dundee DD1 1HG, UK（英国邓迪阿伯泰大学计算与数学系）
本文通过梅林-巴恩斯型复积分表示法，获得Ramanujan积分的闭式表达式，并推广了相关积分形式，用Meijer G函数的无穷级数表示，同时应用Ramanujan积分求解九个Meijer G函数的闭式表达。
2026-05-11 math.NT
Generalized Lambert series, Raabe's integral and a two-parameter generalization of Ramanujan's formula for $ζ(2m+1)$
对广义Lambert级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{N-2h}\exp{(-an^{N}x)}}{1-\exp{(-n^{N}x)}}, 0<a\leq 1,\ x>0$、$N\in\mathbb{N}$和$h\in\mathbb{Z}$进行了全面的研究。我们在这里获得的这个系列的两个一般变换导致Ramanujan著名的$ζ(2m+1)$公式，$m>0$和$\logη(z)$的变换公式的双参数推广。许多重要的特殊情况下，我们的转换派生。对于$N$奇数和$m\in\mathbb{N}$，获得与$ζ(2N+1), ζ(4N+1),\cdots, ζ(2Nm+1)$相关的恒等式。对于奇zeta值和广义Lambert级数，得到了Zudilin型和Rivoal型超越结果.给出了超越$ζ(2m+1)$的一个判据和Euler常数$γ$无理性的一个Zudilin型结果。对$N$偶得到了类似于Ramanujan和Klusch的新结果，并得到了一个涉及$ζ\left(2m+1-\frac{1}{N}\right)$的超越结果.
2018-01-28 math.NT
The average size of Ramanujan sums over quadratic number fields(II)
本文研究了Ramanujan和$c_{\bf m}(\bf n)$，其中$ {\bf m}$和${\bf n}$是任意二次数域上的整理想.本文给出了$c_{\bf m}(\bf n)$在$ {\bf m}$和$ {\bf n}$上的和的渐近性质的一些新结果.
2021-09-23 math.NT
Ramanujan--Fine integrals for level 10
本研究针对10级情形探究eta商为整系数形式幂级数导数的问题，建立并分类了无穷多组Ramanujan--Fine型积分求值式，给出了结果发现过程与10级该类积分列表完备性猜想的合理性依据。
2025-03-22 math.NT
Ramanujan's and Lim's Identities and Harmonic Maass--Jacobi Forms
University of Cologne（科隆大学）；Indian Institute of Technology Jodhpur（焦特普尔印度理工学院）
研究Lim对Ramanujan奇数zeta值恒等式的推广，构造Eisenstein级数经典Eichler积分的Jacobi类似物，证明其为奇异调和Maass--Jacobi形式，并建立非全纯部分、反演公式及算子性质。
2026-06-23 math.NT
Instant Evaluation and Demystification of $ζ(n),L(n,χ)$ that Euler,Ramanujan Missed - I
对于Hurwitz Zeta函数，本文将其关于各点的Taylor级数展开式视为第二变量在适当圆上的解析函数，证明了对于第一变量的非正整数辐角，这些Taylor级数都是第二变量的多项式，从而利用泛函方程，得到了黎曼ζ函数在辐角为正偶数整数值时和Dirichlet L级数在正整数值时的即时求值当其自变量和相应的Dirichlet特征标均为偶数或均为奇数时，我们得到了任意Dirichlet L级数的有限和表达式，当其自变量为1时，我们也用类似的方法处理了Lerch的Zeta函数.
2008-01-06 math.NT
The Ramanujan Challenge For AI
Technion（以色列理工学院）；Research Institute for Symbolic Computation, Johannes Kepler Universität Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学符号计算研究所）；Ghent University（根特大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）
提出一组用于评估人工智能数学技能的基本数学常数公式，含已知证明暂加密及未证明两类问题，旨在观察人工智能在这些问题上的表现。
2026-07-14 cs.AI math.HO math.NT
Two Definite Integrals That Are Definitely (and Surprisingly!) Equal
我们发现这个恒等式，看起来像微积分1中的一个练习，令人惊讶，而且很漂亮。我们希望你也会。
2019-11-12 math.CA math.NT
Stirling-Ramanujan constants are exponential periods
Instituto de Matemática Interdisciplinar and Departamento de Álgebra, Geometría y Topología, Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）；CNRS, IMJ-PRG, Université Paris Cité（巴黎西岱大学）
研究斯特林 - 拉马努金常数，通过找到其在\(\mathbb{Q}(t,e^{-t})\)域中作为指数周期的自然积分表示，揭示其超代数性质，给出新积分公式，还可推广证明其他常数是该域上的指数周期。
2026-07-21 math-ph math.CA math.CV
The Average Size of Ramanujan Sums over Cubic Number Fields
设K是一个立方数域。本文研究了Ramanujan和c_{J}（I），其中I和J是O_{K}中的整理想.研究了c_{J}（I）在I和J上的和的渐近性质.
2021-05-25 math.NT math.RA
A Family of Berndt-Type Integrals and Associated Barnes Multiple Zeta Functions
School of Mathematics and Statistics, Anhui Normal University（安徽师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）
本文研究了一类伯恩德特积分的计算方法，通过留数定理和级数展开，将其转化为更简单的求和形式，并用Gamma函数和√π表达结果，同时关联到巴纳茨多重ζ函数。
2026-02-03 math-ph math.MP math.NT
Selberg Integral over Local Fields
塞尔伯格介绍了他美丽的积分公式在1944年，见[塞尔]。Evans [E1]在1980年给出了Selberg积分公式的一个有限域类似。Anderson [An]在1981年证明了它的一个主要情形，并利用他的思想得到了完整的结果[E2]。另一方面，Aomoto [Ao]在1987年证明了复域${\mathbb{C}}$的Selberg积分的一个类似形式.给出并证明了特征为零的局部域的Selberg积分公式。
2018-10-03 math.NT
