On the computation of accurate initial conditions for linear higher-index differential-algebraic equations and its application in initial value solvers
本文针对线性高指数微分代数方程初值设置困难的问题，提出基于规范子空间与几何约化的数值方法，并结合逐窗口超定最小二乘配点法，构造了首批完全数值化的高指数初值问题求解器。
2025-06-04 cs.NA math.NA
eHDG:An Exponentially Convergent Iterative Solver for HDG Discretizations of Hyperbolic Partial Differential Equations
提出了一种求解双曲型偏微分方程高阶杂交间断Galerkin（HDG）离散的可扩展、高效的迭代求解器。它是区域分解方法和HDG离散化之间的相互作用。特别是，该方法是一个固定点的方法，只需要独立的元素，元素的局部解决在每次迭代。因此，它非常适合当前和未来的大规模并发计算系统。我们严格证明了所提出的方法是指数收敛的迭代次数为运输和线性化浅水方程。此外，收敛性与解的阶数无关。各种二维和三维数值结果的稳定和时间相关的问题，以验证我们的理论研究结果。
2016-01-27 cs.NA math.NA
A $\star$-product solver with spectral accuracy for non-autonomous ordinary differential equations
提出了一种求解非自治常微分方程的新方法，该方法具有谱精度。它是基于一个新的结果，表示作为一个元素，所谓的$\star$ -代数的这种常微分方程的解决方案。这个代数具有一个乘积，即$\star$ -乘积，它是两个二元分布的通常乘积上的积分。在勒让德多项式的基中展开二元分布导致$\star$ -乘积的离散化，并且这允许通过求解方程的线性系获得的向量来近似解。数值实验表明了该方法的有效性。
2022-09-30 cs.NA math.NA
FractionalDiffEq.jl: High Performance Fractional Differential Equation Solver in Julia
本文介绍 Julia 求解器套件 FractionalDiffEq.jl，通过统一 API 集成多种高性能分数阶微分方程算法，并经基准与实际应用验证其效率、鲁棒性和灵活性。
2025-06-09 cs.NA math.NA
Machine Learning Based Optimization Workflow for Tuning Numerical Settings of Differential Equation Solvers for Boundary Value Problems
Fraunhofer ITWM（弗劳恩霍夫信息技术与微系统研究所）；Technical University of Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）
针对边值问题微分方程求解器数值设置依赖试错或领域知识的问题，提出基于机器学习的优化工作流以调优设置，验证了其可扩展性、稳定性与可靠性。
2024-04-16 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel Neural Corrections with Adaptive Sampling for Partial Differential Equations
Sichuan University（四川大学）
本文提出了一种多级深度框架，通过自适应采样和深度神经网络更新，提升偏微分方程求解器的性能。
2026-10-19 cs.NA math.NA
Implicit multiderivative collocation solvers for linear partial differential equations with discontinuous Galerkin spatial discretizations
Hasselt University（哈瑟尔特大学）；United States Naval Academy（美国海军学院）
本文提出了一种新的离散化方法用于不稳对流扩散方程，结合多导数时间积分器和减少未知数数量的新型离散化方法，展示了六阶完全隐式摄动方法的高精度和大时间步长能力。
2017-02-08 cs.NA math.NA
Neural solver for sixth-order ordinary differential equations
本文提出一种基于深度学习前馈神经网络的神经求解器，通过由微分方程和边界条件构成的均方损失函数及拟牛顿优化方法，在低训练轮数下实现了对六阶常微分方程边值问题的高精度逼近。
2025-09-15 cs.NA math.NA
Probabilistic solvers for partial differential equations
Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种概率求解器，用于解决具有混合边界条件的线性偏微分方程，通过概率测度量化离散化引入的不确定性。
2016-07-12 cs.NA math.NA math.PR
Label-free learning of elliptic partial differential equation solvers with generalizability across boundary value problems
传统的基于数值离散的偏微分方程（PDE）求解器基本上不知道域、边界条件和系数。相比之下，机器学习求解器在边值问题的这些元素上具有有限的泛化能力。这在代理模型的情况下是非常正确的，这些代理模型通常是在应用于一个特定边值问题的PDE的直接数值模拟上训练的。与这种直接方法不同的是，求解器的无标签机器学习集中在一个损失函数上，该函数将PDE和边界条件合并为残差形式。然而，他们的推广跨越边界条件是有限的，他们仍然强烈的域依赖性。在这里，我们提出了一个框架，概括跨域，边界条件和系数，同时学习弱形式的偏微分方程。我们的工作探讨了简单的，基于卷积神经网络（CNN）的编码器-解码器架构的能力，学习解决PDE在更大的一般性比其限制到一个特定的边值问题。在这第一次通信中，我们考虑椭圆型偏微分方程的Fickean扩散，线性和非线性弹性。重要的是，学习独立于来自实验或直接数值解的任何标记的场数据而发生。这些问题类的广泛结果表明，该框架的能力，学习PDE求解器，概括了成千上万的域，边界条件和系数，包括外推超出学习制度。一旦经过训练，机器学习求解器比基于离散化的求解器快几个数量级。我们将我们的工作放在最近的连续算子学习框架的背景下，并注意到迁移学习，主动学习和强化学习的扩展。
2023-01-31 cs.NA math.NA
A Comparison of SOR, ADI and Multigrid Methods for Solving Partial Differential Equations
本文介绍了拉普拉斯方程的几种数值解法。开发了求解二维拉普拉斯方程的数值FORTRAN求解器。在求解器中实现的数值方法包括Jacobi，Gauss-Siedel，逐次过松弛，交替直接隐式和多重网格方法。对不同的数值方法进行了详细的比较和讨论
2022-08-04 cs.NA math.NA
On the Geometry Transferability of the Hybrid Iterative Numerical Solver for Differential Equations
快速数值求解器的发现促使了许多应用中，特别是计算力学中，由于求解非常大的线性系的必要性增加，迭代技术的明确和快速的转变。大多数数值求解器高度依赖于问题的几何形状和离散化，当这些属性中的任何一个发生变化时都会面临问题。新开发的混合迭代数值可转移求解器（HINTS）将标准求解器与神经运算符相结合，以实现更好的性能，每次专注于单个几何形状。在这项工作中，我们探讨了HINTS中的“T”，即，HINTS的几何可转换性。我们首先建议直接采用HINTS建立一个特定的几何形状到一个不同的，但相关的几何形状没有任何调整。此外，我们提出了一个运营商级的迁移学习与HINTS的集成，甚至进一步提高新的几何形状和离散化的HINTS的收敛。我们进行了达西流问题和平面应变弹性问题的数值实验。结果表明，无论是直接应用的HINTS和迁移学习增强的HINTS能够准确地解决这些问题的不同的几何形状。此外，使用迁移学习，HINTS能够比直接应用HINTS更快地收敛到机器零。
2022-10-31 cs.NA math.NA
Neuro-symbolic partial differential equation solver
Nvidia（英伟达）；UCSB（加州大学圣巴巴拉分校）
我们提出了一个高度可扩展的战略，开发无网格神经符号偏微分方程求解器从现有的数值离散科学计算中发现。这种策略是独特的，因为它可以被用来有效地训练神经网络代理模型的解决方案的功能和微分算子，同时保持国家的最先进的数值求解器的精度和收敛性能。这种神经自举方法是基于最小化残差的离散化微分系统的一组随机配置点相对于神经网络的可训练参数，实现前所未有的分辨率和最佳缩放解决物理和生物系统。
2022-10-25 cs.AI cs.CE cs.NA
Error Estimation and Correction from within Neural Network Differential Equation Solvers
Imperial College London（帝国理工学院）
神经网络微分方程（NN DE）求解器已经激增的流行，由于一系列因素：计算的进步，使他们的优化更容易处理，他们的能力，以处理高维问题，易于解释的能力，他们的模型，等等，然而，几乎所有的NN DE求解器遭受一个根本的限制：他们使用损失函数，只隐含地依赖于与估计相关联的错误进行训练。因此，解决方案估计的验证和误差分析需要了解真正的解决方案。事实上，如果真正的解决方案是未知的，我们往往会简单地希望“足够低”的损失意味着“足够小”的错误，因为两者之间的明确关系是不可用/定义良好。在这项工作中，我们描述了一个通用的策略，有效地构建神经网络微分方程求解器的误差估计和校正。我们的方法不需要预先知道的真正的解决方案，并获得明确的损失函数和与解决方案的估计误差之间的关系。反过来，这些明确的关系直接允许我们估计和纠正错误。
2021-11-18 cs.LG cs.NA math.NA
An efficient solver based on low-rank approximation and Neumann matrix series for unsteady diffusion-type partial differential equations with random coefficients
School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）；Hubei Key Laboratory of Engineering Modeling and Scientific Computing, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学工程建模与科学计算湖北省重点实验室）
本文提出基于低秩近似和Neumann矩阵级数的高效求解器，用于解决具有随机系数的非稳态扩散型偏微分方程，通过降低计算复杂度提升求解效率。
2026-01-16 cs.NA math.AP math.NA
An Efficient Local Optimizer-Tracking Solver for Differential-Algebriac Equations with Optimization Criteria
本文提出一种针对带优化准则微分代数方程的高效顺序求解器，通过局部优化器跟踪检测并校正跳跃事件，在保持积分收敛阶的同时显著提升求解速度。
2024-10-21 cs.MS cs.NA math.NA
Comparison of Numerical Solvers for Differential Equations for Holonomic Gradient Method in Statistics
本文比较了求解线性微分方程的数值方法，用于评估统计学中的归一化常数。
2026-04-09 cs.NA math.NA stat.CO
A residual-based finite element surrogate solver for elliptic partial differential equations
Ajou University（亚洲大学）；Chung-Ang University（中央大学）
提出一种无数据、结合CNN与有限元残差的代理求解器，通过训练损失与H1半范数误差的关系保证最优收敛，并引入分解策略提高效率。
2026-06-16 cs.NA math.NA
Artificial Neural Network Solver for Time-Dependent Fokker-Planck Equations
随机微分方程在快速时间尺度下对随机扰动或混沌动力学系统建模的各种应用中起着重要的作用。用Fokker-Planck方程描述随机微分方程概率分布的时间演化，该方程是一个二阶抛物型偏微分方程.以前的工作结合人工神经网络和蒙特卡罗数据来解决固定福克-普朗克方程。本文将这种方法推广到含时不定常Fokker-Planck方程。重点是研究训练具有多尺度损失函数的神经网络的算法。此外，提出了一种新的配置点采样方法。给出了几个一维和二维数值算例。
2022-11-10 cs.NA math.NA
On a spectral solver for highly oscillatory and non-smooth solutions of a class of linear fractional differential systems
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文针对一类具有非常数系数的线性分数阶微分方程组的高振荡与非光滑解问题，提出基于Müntz-Jacobi函数的谱Galerkin方法，利用递推关系高效稳定地求解并达到指数精度。
2025-11-09 cs.NA math.NA
A solver for linear scalar ordinary differential equations whose running time is bounded independent of frequency
针对线性标量常微分方程，提出一种构造慢变相位函数的数值算法，其运行时间与特征值幅值无关，可高效求解高频振荡问题，且优于Magnus型方法。
2023-11-14 cs.NA math.NA
A new parallel solver suited for arbitrary semilinear parabolic partial differential equations based on generalized random trees
提出基于广义随机树的初值半线性抛物型问题概率表示及两种策略，结合Pade逼近发散级数，扩展可解问题类，开发广义概率区域分解并行方法，具完全可扩展性和容错性，数值实验验证其显著性能。
2024-02-09 cs.NA math.NA
Semi-Implicit Neural Solver for Time-dependent Partial Differential Equations
Technical University Munich（慕尼黑工业大学）；École normale supérieure, Paris（巴黎高等师范学院）；deepc GmbH, Munich（慕尼黑deepc有限公司）；Helmholtz Zentrum München（慕尼黑亥姆霍兹研究中心）；University of Zurich（苏黎世大学）
不定常偏微分方程（PDE）的快速精确求解是物理学、工程学和生物学等许多研究领域的重要课题。一般来说，隐式/半隐格式优于显式格式，以提高稳定性和正确性。然而，现有的半隐式方法通常是迭代的，并采用通用的求解器，这可能是次优的一类特定的偏微分方程。在本文中，我们提出了一个神经求解器，学习最佳的迭代方案，在数据驱动的方式为任何类的偏微分方程。具体来说，我们使用深度神经网络修改半隐式求解器的单次迭代。我们提供的神经求解器的正确性和收敛性的理论保证类似于传统的迭代求解器。除了常用的Dirichlet边界条件外，我们还采用扩散域方法来引入不同类型的边界条件，例如，诺依曼我们表明，建议的神经求解器可以超越线性偏微分方程，并适用于一类非线性偏微分方程，其中的非线性组件是非刚性的。我们证明了我们的方法在2D和3D场景的有效性。为此，我们展示了我们的模型如何推广到不同于训练的参数设置，并实现了比半隐格式更快的收敛。
2021-09-03 cs.LG cs.NA math.NA
Enhancing Neural Network Differential Equation Solvers
我们鼓励使用神经网络的构造数值解微分方程。我们证明了存在一个前馈神经网络，可以任意最小化的目标函数是零的泊松方程的解决方案，使我们能够保证神经网络的解决方案估计可以得到任意接近的精确解。我们还展示了如何通过各种策略，特别是通过构建纠错网络，我们提出了一个通用的方法，这些估计可以明显增强。最后，我们提供的数值实验证明了所有这些策略的有效性的泊松方程的变体。
2022-12-28 cs.LG cs.NA math.NA
Opening the Blackbox: Accelerating Neural Differential Equations by Regularizing Internal Solver Heuristics
Indian Institute of Technology Kanpur（印度理工学院坎普尔分校）；Julia Computing；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Maryland Baltimore（马里兰大学巴尔的摩分校）；Pumas AI
机器学习的民主化需要能够自动适应新问题的架构。神经微分方程（NDE）已经成为一种流行的建模框架，它消除了ML从业者在递归模型中选择层数的需要。虽然我们可以通过选择标准架构中的层数来控制计算成本，但在NDE中，前向传递的神经网络评估的数量取决于自适应ODE求解器的步骤数量。但是，我们能不能强迫无损检测人员用最少的步骤学习版本，而不增加培训成本？当前克服慢预测的策略需要高阶自动微分，导致显著更高的训练时间。我们描述了一种新的正则化方法，该方法使用自适应微分方程求解器的内部成本算法结合离散伴随灵敏度来指导训练过程，以学习更容易解决的NDE。这种方法打开了微分方程求解器算法背后的黑盒数值分析，并直接使用其局部误差估计和刚度计算作为廉价而准确的成本估计。我们将我们的方法没有任何变化的基础NDE框架，并表明我们的方法扩展到常微分方程，以适应神经随机微分方程。我们展示了我们的方法如何将预测时间减半，并且与其他可以将训练时间增加一个数量级的方法不同，我们展示了类似的训练时间减少。这展示了如何将嵌入在最先进的方程求解器中的知识用于增强机器学习。
2022-02-04 cs.LG cs.NA math.NA
PETSc/TS: A Modern Scalable ODE/DAE Solver Library
Argonne National Laboratory（阿贡国家实验室）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文介绍了基于PETSc的ODE/DAE求解器库TS，提供高扩展性和效率，支持显式、隐式及混合求解器，具备自适应误差控制和灵活的非线性/线性求解器选择。
2018-06-04 cs.NA math.NA
Hamilton-Green solver for the forward and adjoint problems in photoacoustic tomography
在光声层析成像（PAT）中的声学问题的大多数求解器依赖于波动方程的完全解，这使得它们不太适合于只有部分数据可用的实时和动态应用。这与其他断层摄影模态（例如X射线断层摄影）形成对比，在其他断层摄影模态中，部分数据意味着应用前向算子和伴随算子的部分成本。在这项工作中，我们提出了一种新的求解器的前向和伴随波方程的声学问题的PAT。我们提出的求解器汉密尔顿-格林，因为它近似的基本解，以相应的波动方程的哈密顿系统的轨迹从高频渐近波动方程。这种方法是快速和可扩展的，因为它允许以全波解决方案的一小部分成本独立地计算每个传感器的解决方案。我们的方法的理论基础是植根于地震学和海洋声学的结果。我们目前的结果与异质声速的2D数值幻影，我们对全波解决方案进行评估与伪谱方法在k-Wave工具箱中实现。
2021-06-19 cs.NA math.NA
Circuit Depth Reduction of One-Ancilla Quantum Differential Equation Solver via Extrapolation
Duke University（杜克大学）
研究如何降低单辅助量子微分方程求解器的电路深度，通过结合求解器与经典步长后处理，在对数数量的有限时间步长上运行求解器并利用经典后处理消除误差，将最大单次运行电路深度降至\(O(\mathrm{polylog}(1/\epsilon))\)，数值实验验证了方法有效性。
2026-07-09 cs.NA math.NA quant-ph
Continuous-data-assimilation-enabled fast and robust convergence of an Uzawa-based solver for Navier-Stokes equations with large Reynolds number
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出一种结合连续数据同化（CDA）的Uzawa求解器，用于加速和保证大雷诺数Navier-Stokes方程的收敛，通过部分解数据提升收敛速度和鲁棒性。
2026-03-23 cs.NA math.NA
High Order Numerical Homogenization for Dissipative Ordinary Differential Equations
本文提出一种针对含双时间尺度耗散常微分方程的高阶数值均匀化方法，基于异构多尺度方法框架，通过迭代公式构造高阶微观求解器，实现任意阶精度提升，并数值验证了有效性。
2021-02-06 cs.NA math.NA
Automated differential equation solver based on the parametric approximation optimization
ITMO University（圣彼得堡国立信息技术机械与光学大学）
本文提出一种基于参数化近似与优化算法的自动微分方程求解方法，无需参数调优即可求解广泛类别的方程，虽精度略低于专家解，但实现了自动化求解。
2022-05-11 cs.LG cs.NA math.NA
Time-marching based quantum solvers for time-dependent linear differential equations
时间推进策略将解从一个时间步传播到下一个时间步，是在经典计算机上求解时间相关微分方程的自然策略，也是在量子计算机上求解哈密顿模拟问题的自然策略。对于更一般的线性微分方程，基于时间推进的量子求解器可能遭受相对于时间步长的数量呈指数消失的成功概率，因此被认为是不切实际的。我们通过反复调用一种称为均匀奇异值放大的技术来解决这个问题，并且整体成功概率可以由一个与时间步长数量无关的量来下界。成功概率可以使用压缩小工具引理来进一步提高。这提供了一条设计量子微分方程求解器的途径，该途径可替代基于量子线性系统算法（QLSA）的途径。我们证明了时间推进策略的性能与高阶积分器的基础上截断戴森系列。该算法的复杂性线性依赖于放大率，量化的偏离一个单一的动态。我们证明了线性依赖的放大率达到查询复杂度的下限，因此不能在最坏的情况下得到改善。该算法在三个方面优于现有的基于QLSA的求解器：（1）系数矩阵$A(t)$不需要可对角化。(2)$A(t)$可以是非光滑的，并且仅具有有界变化。(3)它可以使用更少的查询到初始状态。最后，我们展示了时间推进策略与一阶截断马格努斯系列，同时保留上述好处。我们的分析还提出了一些悬而未决的问题，时间推进和QLSA为基础的方法求解微分方程之间的差异。
2023-03-15 cs.NA math.NA quant-ph
An accelerated frequency-independent solver for oscillatory differential equations
本文提出一种频率无关的振荡二阶线性常微分方程求解器，通过构造缓慢变化相位函数并结合切比雪夫谱配点法与 Newton-Kantorovich 方法求解 Riccati 方程，实现比现有最先进方法快数个数量级的性能。
2025-03-11 cs.NA math.NA
A tensor-train reduced basis solver for parameterized partial differential equations on Cartesian grids
提出张量列缩减基方法，利用张量列格式高效求解参数化偏微分方程，降低离线成本与子空间维度，并通过后验误差估计和基准问题验证了其准确性与计算性能。
2025-05-05 cs.NA math.NA
Pick-and-Mix Information Operators for Probabilistic ODE Solvers
University of Tübingen（图宾根大学）；Max Planck Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
常微分方程的概率数值求解器通过贝叶斯推断计算初始值问题的解的后验分布。在本文中，我们利用他们的概率公式无缝地包括额外的信息作为一般的可能性条款。我们表明，二阶微分方程应直接提供给求解器，而不是将问题转化为一阶。此外，通过在模型中包括高阶信息或物理守恒定律，解决方案变得更准确，更有物理意义。最后，我们证明了灵活的信息算子的效用，通过求解微分代数方程。总之，数值求解器的概率公式化提供了一种灵活的方式来结合各种类型的信息，从而提高了所得的解决方案。
2021-10-20 cs.LG cs.NA math.NA
Fast global spectral methods for three-dimensional partial differential equations
整体谱方法提供了计算偏微分方程的解的潜力，数值计算非常高的精度。在这项工作中，我们开发了一个新的整体谱方法的线性偏微分方程的立方体上的扩展的想法Chebop 2 [Townsend和Olver，J。物理、299（2015）]到利用张量化多项式基中的展开的三维设置。求解离散偏微分方程涉及到一个线性系，它可以被转换为线性张量方程。在适当的附加假设下，这些方程的结构允许通过分块递归求解器[Chen和Kressner，Numer.算法，84（2020）]。在一般情况下，当这些假设不满足时，该求解器用作预处理器以加速计算。
2022-10-24 cs.NA math.NA
Breakeven complexity: A new perspective on neural partial differential equation solvers
University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Google DeepMind（谷歌DeepMind）
本文提出突破性复杂度评估框架，考虑神经求解器的前期成本与传统求解器的低保真度成本，分析不同PDE求解器在复杂问题中的有效性。
2026-11-10 cs.AI cs.LG cs.NA
OptiXDE: A fast optical-inspired solver for differential equations
PowerChina Kunming Engineering Corporation Limited（中国电建昆明工程有限公司）；College of Water Conservancy and Hydropower Engineering, Hohai University（河海大学水利水电学院）
OptiXDE 是受傅里叶光学启发的无矩阵谱算子框架，适用于均匀网格和嵌入域微分方程，计算高效，在多类问题中表现优异，加速效果显著。
2026-09-02 cs.NA math.NA
Probabilistic Numerical Method of Lines for Time-Dependent Partial Differential Equations
本文发展了一类求解非线性、不定常偏微分方程的数值解算法。当前最先进的PDE求解器将空间维度和时间维度分开、串行地处理，并且使用黑盒算法，这模糊了空间近似误差和时间近似误差之间的相互作用，并且误导了总体误差的量化。为了解决这个问题，我们引入了一种称为直线法的技术的概率版本。该算法首先对有限差分法进行高斯过程解释，然后与基于滤波的概率普通微分方程（ODE）求解器自然交互，因为它们共享一种共同的语言：贝叶斯推理。联合量化的空间和时间的不确定性成为可能，而不会失去良好的调整ODE求解器的性能优势。因此，我们扩展了概率程序工具箱的微分方程模拟偏微分方程。
2022-03-09 cs.NA math.NA stat.ML
A deep branching solver for fully nonlinear partial differential equations
Nanyang Technological University（南洋理工大学）
提出一种结合神经网络与Monte Carlo分支算法的多维深度学习求解器，用于数值求解完全非线性PDE，能处理任意阶梯度项非线性，且优于基于BSDE或Galerkin的方法。
2023-09-09 cs.LG cs.NA math.AP
New Laplace and Helmholtz solvers
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）
本文提出基于有理函数的新数值算法，能够更快速和准确地求解二维有角域中的某些拉普拉斯和哈密尔顿方程问题，挑战了传统有限元和积分方程方法的假设。
2019-02-01 cs.NA math.NA
Learning by solving differential equations
Google Research（谷歌研究）；Google DeepMind（谷歌DeepMind）
本研究评估高阶龙格-库塔（RK）常微分方程求解器在深度学习中的性能与局限，提出通过融入预处理、自适应学习率、动量等现代优化器关键要素来提升其表现的方法。
2025-05-19 cs.LG cs.NA math.NA
Robust and efficient solvers for nonlinear partial differential equations based on random feature method
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Suzhou Institute for Advanced Research, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学苏州高等研究院）；Suzhou Big Data & AI Research and Engineering Center（苏州大数据与人工智能研究与工程中心）；East China Normal University（华东师范大学）
针对随机特征法求解大规模三维非线性偏微分方程时面临的系统规模大、病态的问题，提出两种随机牛顿型求解器，通过预条件、复用机制等提升效率与鲁棒性，经实验验证效果显著。
2025-10-05 cs.NA math.NA
A solver for stiff finite-rate relaxation in Baer-Nunziato two-phase flow models
在本文中，我们提出了一种技术，用于构建强大的求解器的刚性代数源项，如那些通常用于模拟松弛过程的双曲系统的偏微分方程描述两相流，即模型的Baer-Nunziato家庭。该方法是基于一个指数积分器，它采用了近似线性化的源项运营商，以这样一种方式，可以计算解决方案的线性化方程，避免任何微妙的矩阵求逆操作。
2020-02-21 cs.NA math.NA
General Covariance Data Augmentation for Neural PDE Solvers
本文提出基于广义协变性与随机坐标变换的数据增强策略，通过坐标变换保持PDE类型不变而仅改变PDE数据，以低成本扩充训练集，使神经PDE求解器测试误差平均降低23%。
2023-05-31 cs.NA math.NA
Fourier Neural Networks as Function Approximators and Differential Equation Solvers
Argonne National Laboratory（阿贡国家实验室）
我们提出了一个傅立叶神经网络（FNN），可以直接映射到傅立叶分解。激活和损失函数的选择产生的结果，复制傅立叶级数展开密切，同时保持一个简单的架构与一个单一的隐藏层。这种网络架构的简单性有助于在数据预处理或后处理阶段与任何其他更高复杂性的网络集成。我们验证自然周期光滑函数和分段连续周期函数的FNN。我们展示了使用这种FNN的建模或求解偏微分方程的周期性边界条件。当前方法的主要优点是训练区域之外的解决方案的有效性，训练模型的可解释性和使用简单性。
2021-04-28 cs.LG cs.NA math.NA
Understanding the impact of numerical solvers on inference for differential equation models
该研究指出数值求解器精度不足会扭曲ODE模型的似然面导致参数推断陷入局部最优，建议谨慎设置求解器容差并检查似然面以避免数值偏差。
2023-07-03 cs.NA math.NA math.ST
A Structure-Preserving Framework for Solving Parabolic Partial Differential Equations with Neural Networks
Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（应用数学系，香港Polytechnic大学）；Department of Mathematics, University of South Carolina（数学系，南卡罗来纳大学）
提出Sidecar框架，通过引入辅助网络引导主神经网络求解器保持抛物型PDE的物理结构（如守恒与耗散），显著提升现有求解器的精度和结构保持能力。
2025-08-07 cs.LG cs.NA math.NA
HNS: An Efficient Hermite Neural Solver for Solving Time-Fractional Partial Differential Equations
Shanghai University（上海大学）
针对基于L1插值的神经网络求解器精度受限问题，提出融合高阶Hermite插值显式格式与深度神经网络的HNS，在正、反问题及高维场景下精度更优，实现两类方法优势互补。
2023-10-07 cs.AI cs.LG cs.NA
A Physics-Informed Neural Network Framework For Partial Differential Equations on 3D Surfaces: Time-Dependent Problems
University of Nevada, Las Vegas（内华达大学拉斯维加斯分校）；University of Arkansas（阿肯色大学）；Lehigh University（里海大学）
在本文中，我们展示了一个物理信息的神经网络求解器的时间依赖表面偏微分方程。与传统的数值求解器不同，该方法不需要在曲面上扩展偏微分方程和网格。我们显示了一个简化的表面微分算子的先验估计，使PINN的损失值将是一个指标的表面偏微分方程的残留物。数值实验验证了算法的有效性。
2021-03-19 cs.LG cs.NA math.NA
A new efficient approximation scheme for solving high-dimensional semilinear PDEs: control variate method for Deep BSDE solver
提出了一种求解高维半线性偏微分方程（PDE）和倒向随机微分方程（BSDEs）的新的逼近格式。首先，我们将一个目标半线性偏微分方程分解为两部分，即“主导”线性偏微分方程和“小”非线性偏微分方程。然后，我们采用了一种新的控制变量的方法来解决这些偏微分方程，其中基于渐近展开技术的近似有效地应用于线性部分，也用作控制变量的非线性部分。此外，我们的理论结果表明，所提出的方法的误差变得小于那些原来的Deep Boundary求解器。最后通过数值实验验证了该方法的有效性，实验结果与本文的理论结果一致。
2021-01-31 cs.NA math.NA q-fin.CP
Multi-patch isogeometric neural solver for partial differential equations on computer-aided design domains
Institute for Accelerator Science and Electromagnetic Fields, Technische Universität Darmstadt（加速器科学与电磁场研究所，德累斯顿技术大学）；Terra Quantum AG（Terra Quantum公司）；Scientific Computing, Centrum Wiskunde & Informatica（科学计算，数学与信息学中心）
本文提出了一种结合物理感知神经网络与多补丁等几何分析的计算框架，用于解决复杂计算机辅助设计几何上的偏微分方程。该方法利用补丁局部神经网络在等几何分析的参考域上操作，并通过定制的输出层强加狄利克雷边界条件。通过专用的界面神经网络确保非均匀有理B样条补丁之间界面的解一致性。通过变分框架最小化偏微分方程弱形式导出的能量函数进行训练。在两个高度非平凡且实际相关的应用案例中验证了该方法的有效性，即四极磁铁的2D磁静力学模型和机械夹具的3D非线性固体力学与接触力学模型。结果与高保真有限元求解器获得的参考解高度一致，展示了该神经求解器在处理复杂工程问题方面的潜力。
2025-09-29 cs.AI cs.CE cs.NA
On solving Ordinary Differential Equations using Gaussian Processes
我们描述了一套基于高斯过程的方法，可以用来解决非线性常微分方程。我们提出了一个显式的概率求解器和两个隐式的方法，一个类似于Picard迭代和其他梯度匹配。所有方法都比以前提出的高斯过程方法具有更高的精度。我们还提出了一个通用的方法，可以从任何标准的ODE求解器产生误差估计。
2014-08-17 cs.NA math.NA stat.CO
Fast and Flexible Quantum-Inspired Differential Equation Solvers with Data Integration
Department of Computer Science, University of Copenhagen（哥本哈根大学计算机科学系）；AWS Center for Quantum Computing（AWS量子计算中心）
本文提出基于量化张量列的量子启发式方法，高效准确求解高维PDEs，实现内存和计算成本对数缩放，并引入数据驱动学习技术，结合神经网络适应性提升精度并减少训练时间。
2025-05-15 cs.LG cs.NA math.NA
