The Hierarchical Poincare-Steklov (HPS) solver for elliptic PDEs: A tutorial
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文介绍了一种用于二维域上变系数椭圆问题的高阶谱近似数值方法，该方法具有O(N^1.5)的预计算复杂度和O(N log N)的求解复杂度，适用于求解迭代求解器难以处理的高振荡问题。
2015-06-03 cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive FEM with linearization and algebraic solver for semilinear elliptic PDEs
针对半线性椭圆型偏微分方程，提出自适应迭代线性化有限元方法AILFEM，通过阻尼Zarantonello迭代与收缩代数求解器均衡网格、线性化和代数误差，证明其以最优计算成本收敛。
2024-11-13 cs.NA math.NA
Parallel solvers for virtual element discretizations of elliptic equations in mixed form
本文首次测试三维混合虚拟元在多面体网格上求解三维椭圆方程的性能，并开发了基于近似Schur补和正则化技术的块预处理器，通过Linux集群并行验证了其理论收敛性及求解器性能。
2019-01-08 cs.NA math.NA
A Direct Elliptic Solver Based on Hierarchically Low-rank Schur Complements
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出一种并行快速直接求解器，针对可压缩块三对角线性系统，通过循环缩减与分层矩阵运算的协同，实现O(N log²N)的计算复杂度和O(N logN)的内存占用，验证了其在Hierarchical Matrices基础上的性能与适用性。
2016-04-03 cs.NA math.NA
A Fast Direct Solver for Elliptic PDEs on a Hierarchy of Adaptively Refined Quadtrees
本文提出首个直接作用于 pforest 管理的自适应四叉树网格的 HPS 快速直接求解器，采用二阶有限体积离散，并实现了 4 合 1 合并与拆分操作，在泊松和亥姆霍兹问题上验证了有效性。
2024-04-05 cs.NA math.NA
FT-GCR: a fault-tolerant generalized conjugate residual elliptic solver
随着以越来越小的硬件组件为特征的高性能计算系统的稳步发展，用于数值模拟的系统和算法越来越多地与由硬件故障和计算数据的比特级错误表示引起的中断相抗衡。在利用大规模处理能力的数值框架中，线性系的解通常代表计算最密集的部分。由于涉及大量的重复操作，迭代求解器特别容易受到位翻转的影响。提出了一种新的方法FT-GCR，它为预处理的广义共轭残差Krylov求解器提供了软故障的检测和恢复。该算法测试的单调递减的剩余范数，失败时，重新开始迭代的局部Krylov空间内。数值实验所产生的一个椭圆形问题的解决方案，从一个孤立的山丘上的球体上的静止流显示的技能的方法，在解决位翻转的范围内的网格大小和数据丢失的情况下，获得最佳的回报和检测率较大的腐败事件。该方法的简单性使得它很容易扩展到其他求解器和集成模型弹性策略内的算法容错的理想候选者。
2021-03-21 cs.NA math.NA
Substructuring preconditioners with novel interface solvers for general elliptic-type equations in three dimensions
LSEC, Institute of Computational Mathematics and Scientific Engineering Computing, Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算数学与科学工程计算研究所）
本文提出两种子结构预条件子变体，用于求解具有强不连续系数的三维椭圆型方程。新预条件子利用最简单的粗格求解器，并基于新观察构建了新型界面求解器，兼具非重叠和重叠域分解方法的优点，计算成本低且易于实现。
2016-11-27 cs.NA math.NA
A substructuring preconditioner with vertex-related interface solvers for elliptic-type equations in three dimensions
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出了一种改进的子结构预条件子，用于求解具有强不连续系数的三维椭圆型方程。该预条件子利用最简单的粗格求解器，并基于小重叠的域分解构造顶点相关近似界面求解器，具有构造和效率不依赖具体方程形式的优点。
2018-01-11 cs.NA math.NA
The Closest Point Method and multigrid solvers for elliptic equations on surfaces
University of Oxford（牛津大学）
本文应用最近点方法求解一般曲面上的椭圆方程，通过最近点表示建立嵌入方程，并利用标准差分和插值方案在带状均匀笛卡尔网格上离散。证明了泊松方程在光滑闭合曲线上的差分方案收敛性，并提出特定几何多重网格方法以求解大规模稀疏线性系统。
2014-10-27 cs.NA math.NA
A comparative study of efficient multigrid solvers for high-order local discontinuous Galerkin methods: Poisson, elliptic interface, and multiphase Stokes problems
本研究设计并比较了多种多重网格求解器，用于高阶局部间断伽辽金方法处理椭圆界面和多相斯托克斯问题，开发了基于稀疏近似逆的平滑器，在多种二维和三维测试中达到经典几何多重网格的性能。
2025-09-10 cs.NA math.NA
High-performance dune modules for solving large-scale, strongly anisotropic elliptic problems with applications to aerospace composites
本文的关键创新是在done-pdelab中实现的高对比度、强各向异性椭圆偏微分方程的开源、高性能迭代求解器。迭代求解器利用了一个强大的，可扩展的两级加性Schwarz预处理器，GenEO（Spillane等人，2014年）。该求解器的开发是出于克服商业建模工具在航空航天复合材料应用中解决结构分析模拟的局限性的需要。我们的软件工具箱dune-composites将底层软件包的数学复杂性封装在一个高效的C++框架中，为我们新的高性能求解器提供了一个应用程序接口。我们说明了它的使用范围内的工业动机的例子，这应该使其他科学家建立和扩展沙丘复合材料和GenEO预处理器用于自己的应用。我们展示了英国国家超级计算机Archer的15，000多个核心上的求解器的可扩展性，在几分钟内解决了具有超过2亿个自由度的航空航天复合材料问题。这种规模的计算带来了复合材料的问题，否则将是不可想象的可行范围。为了证明新的求解器的更广泛的适用性，我们还确认了SPE 10上的求解器的鲁棒性和可扩展性，SPE 10是地下流/油藏模拟中具有挑战性的基准。
2019-10-29 cs.NA math.NA
A fully globalized solver for discretized inverse elliptic coefficient problems with exact data
Goethe-University Frankfurt（法兰克福歌德大学）
针对带精确数据的离散椭圆逆系数问题，研究人员开发了带显式残差准则的局部收敛算法及全局化变体，后者可在有限次全局搜索后切换至局部收敛算法，解决了数值求解器依赖良好初始值的问题。
2026-09-04 cs.NA math.NA math.OC
Label-free learning of elliptic partial differential equation solvers with generalizability across boundary value problems
传统的基于数值离散的偏微分方程（PDE）求解器基本上不知道域、边界条件和系数。相比之下，机器学习求解器在边值问题的这些元素上具有有限的泛化能力。这在代理模型的情况下是非常正确的，这些代理模型通常是在应用于一个特定边值问题的PDE的直接数值模拟上训练的。与这种直接方法不同的是，求解器的无标签机器学习集中在一个损失函数上，该函数将PDE和边界条件合并为残差形式。然而，他们的推广跨越边界条件是有限的，他们仍然强烈的域依赖性。在这里，我们提出了一个框架，概括跨域，边界条件和系数，同时学习弱形式的偏微分方程。我们的工作探讨了简单的，基于卷积神经网络（CNN）的编码器-解码器架构的能力，学习解决PDE在更大的一般性比其限制到一个特定的边值问题。在这第一次通信中，我们考虑椭圆型偏微分方程的Fickean扩散，线性和非线性弹性。重要的是，学习独立于来自实验或直接数值解的任何标记的场数据而发生。这些问题类的广泛结果表明，该框架的能力，学习PDE求解器，概括了成千上万的域，边界条件和系数，包括外推超出学习制度。一旦经过训练，机器学习求解器比基于离散化的求解器快几个数量级。我们将我们的工作放在最近的连续算子学习框架的背景下，并注意到迁移学习，主动学习和强化学习的扩展。
2023-01-31 cs.NA math.NA
Factorizing the factorization - a spectral-element solver for elliptic equations with linear operation count
TU Dresden（德累斯顿工业大学）；Institute of Fluid Mechanics, TU Dresden（德累斯顿工业大学流体力学研究所）；Center for Advancing Electronics Dresden (cfaed)（德累斯顿先进电子中心）
本文提出一种新型因式分解技术，实现线性操作次数13N，显著提升求解效率，适用于多项式次数2至32的高阶求解。
2016-01-29 cs.NA math.NA
Effective Preconditioners for Mixed-Dimensional Scalar Elliptic Problems
裂隙多孔介质中渗流的离散化通常导致需要专用求解器的大型线性方程系统。在这项工作中，我们开发了一个有效的线性求解器和它的实际实现混合维标量椭圆问题。基于近似块分解和代数多重网格技术，我们设计了一个有效的预条件子。具有复杂裂缝结构的基准上的数值结果表明，所提出的线性求解器的有效性和其鲁棒性相对于不同的物理和离散化参数。
2022-06-07 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Robust discretization and solvers for elliptic optimal control problems with energy regularization
本文考虑三维计算区域上奇摄动椭圆型反应扩散方程的有限元离散和迭代求解。这些方程是由M.~[1]最近研究的带能量正则化的椭圆分布最优控制问题的最优性条件导出的Neumüller和O.~ Steinbach（2020）.我们提供准最优的先验有限元误差估计，这取决于网格尺寸$h$和正则化参数$\varrho$。选择$\varrho = h^2$可确保最佳收敛性，这仅取决于目标函数的正则性。对于迭代求解，我们采用了代数多重网格预条件和平衡区域分解约束（BDDC）预条件。我们数值研究的鲁棒性和效率的建议代数预条件的网格大小$h$，正则化参数$\varrho$，和子域（核心）的数量$p$。此外，我们研究了BDDC预处理共轭梯度求解器的并行性能。
2021-02-06 cs.NA math.NA math.OC
Uncertainty quantification of coal seam gas production prediction using Polynomial Chaos
University of Queensland（昆士兰大学）
本文利用多项式混沌方法构建代理模型，用于煤层气井峰值气体产量和累积开采量的估计，通过低误差验证了该方法在地质物理建模中的有效性。
2017-06-28 cs.NA math.NA
Mass-lumping discretization and solvers for distributed elliptic optimal control problems
针对带$L_2$正则化的分布式椭圆最优控制问题，研究质量集中在有限元离散中的效果，证明其不影响$L_2$误差且可构建快速Schur补系统，结合嵌套迭代的预处理共轭梯度法得到渐近最优求解器。
2023-04-28 cs.NA math.NA math.OC
A direct solver with O(N) complexity for variable coefficient elliptic PDEs discretized via a high-order composite spectral collocation method
Dartmouth College（达特茅斯学院）；University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出了一种用于求解二维域上变系数椭圆偏微分方程的数值方法，采用高阶复合谱逼近，针对光滑解问题，使用具有O(N)复杂度的直接求解器，展示了在非振荡问题中高效求解的能力。
2013-07-10 cs.NA math.NA
Deep surrogate accelerated delayed-acceptance HMC for Bayesian inference of spatio-temporal heat fluxes in rotating disc systems
University of Bath（巴斯大学）
本文提出神经网络代理与延迟接受HMC结合的贝叶斯反演方法，自适应推断旋转圆盘系统的时空Biot数，在高维快速采样的同时提供后验精度保证。
2023-06-05 cs.LG cs.NA math.NA
Node Subsampling for Multilevel Meshfree Elliptic PDE Solvers
本文提出了一种针对变密度节点集的新子采样方法及两种节点集质量度量，通过多层级 RBF-FD 迭代求解 Poisson 和 Laplace 方程，实现了线性时间的高阶解和稳健收敛。
2023-05-18 cs.NA math.NA
Greedy kernel methods for accelerating implicit integrators for parametric ODEs
Institute for Applied Analysis and Numerical Simulation, University of Stuttgart（斯图加特大学应用分析与数值模拟研究所）
本文提出了一种基于贪心核方法的加速方法，用于通过单步隐式求解器求解参数ODE，通过预训练核模型来预测轨迹点，从而减少求解器迭代次数，提高整体模拟速度，同时保持求解精度。
2018-02-22 cs.NA math.NA
SlabLU: A Two-Level Sparse Direct Solver for Elliptic PDEs
本文提出两级稀疏直接求解器SlabLU，通过slab分解、$\mathcal H^2$矩阵与随机算法高效并行求解二维椭圆型PDE，并在大规模Helmholtz问题上实现高精度快速求解。
2025-08-28 cs.NA math.NA
Robust finite element discretization and solvers for distributed elliptic optimal control problems
我们考虑标准跟踪型，分布式椭圆最优控制问题与$L^2$正则化，和他们的有限元离散。我们正在调查之间的有限元近似$u_{\varrho h}$的状态$u_\varrho$和所需的状态（目标）$\bar{u}$的正则化参数$\varrho$和网格步长$h$，导致最佳选择$\varrho = h^4$的$L^2$误差。事实证明，对于正则化参数的这种选择，我们可以设计简单的Jacobi预处理MINRES或Bramble-Pasciak CG方法，使我们能够以相对于算术运算和内存需求的渐近最优复杂度来解决简化的离散最优性系统。理论结果通过几个基准问题得到了证实，这些基准问题的目标具有不同的几何尺寸，包括不连续目标。
2022-07-11 cs.NA math.NA math.OC
Massively parallel solvers for elliptic PDEs in Numerical Weather- and Climate Prediction
Department of Mathematical Sciences, University of Bath（巴斯大学数学科学系）
为提高全球天气和气候预测模型的空间分辨率，需高效可扩展的椭圆偏微分方程求解器。本文展示Krylov子空间和多网格算法在超大规模问题上的优异性能和可扩展性。
2013-07-08 cs.DC cs.NA math.NA
Convergent finite difference solvers for viscosity solutions of the elliptic Monge-Ampère equation in dimensions two and higher
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
针对椭圆Monge-Ampère方程，提出一种宽模板单调有限差分格式，利用Barles-Souganidis理论证明收敛到唯一粘性解，并采用阻尼牛顿法求解，通过系统方法确定迭代初值，在二维和三维数值实验中展示了方法的精度和速度。
2011-06-03 cs.NA math.NA
An overlapping domain decomposition method for the solution of parametric elliptic problems via proper generalized decomposition
提出一种非侵入式PGD与重叠DD结合的方法，通过低维边界参数和代数化Schwarz粘合，实现参数化椭圆问题的实时代理建模，数值验证其高精度与鲁棒性。
2023-09-26 cs.NA math.NA
Data-Driven Surrogate Models for Agromaritime Applications: Finite Element-Neural Network Integration
Kuwait College of Science and Technology（科威特科学与技术学院）
本文提出结合有限元和神经网络的代理模型，用于高效预测农业 maritime 系统中的养分运输和盐度分布，通过降维和参数映射提升预测速度与精度。
2026-04-22 cs.NA math.NA
Petascale elliptic solvers for anisotropic PDEs on GPU clusters
内存受限的应用程序，如大型稀疏方程组的求解器，仍然是GPU的一个挑战。快速求解器应该基于数值高效算法，并实现全局内存访问最小化。为了解决具有高达1万亿（$10^{12}$）未知数的系统，代码必须有效地利用大型GPU集群上的数百万个单独的处理器核心。我们描述了多GPU实现的两个算法最佳的迭代求解器的各向异性椭圆偏微分方程中遇到的大气建模。在这个应用程序中的条件数是大的，但独立的网格分辨率和两种方法都是渐近最优的，虽然有不同的绝对性能。我们并行求解器，并使其适应GPU架构的具体功能，特别注意高效的全局内存访问。我们实现了高达0.78 PFLOPs的性能时，解决一个方程与$0.55\cdot 10^{12}$未知数的16384 GPU;这相当于约$3\%$的理论峰值性能的机器，我们使用超过$40\%$的峰值内存带宽与共轭梯度（CG）求解器。虽然另一种求解器，几何多重网格算法，在每秒FLOPs方面的性能稍差，但总体上它更快，因为它需要更少的迭代来收敛;多重网格算法可以在大约一秒内解决具有5000亿个未知数的线性PDE。
2015-05-29 cs.DC cs.NA math.NA
Hybrid Neural World Models
Lossfunk
提出混合神经世界模型，通过单网络连续视界条件训练直接预测未来状态，并利用误差图隐式捕捉不连续性，实现高效且可靠的物理动力学模拟。
2026-05-27 cs.AI cs.LG cs.NA
A new mixed finite-element method for $H^2$ elliptic problems
四阶微分方程在科学和工程中有着重要的应用。在本文中，我们提出了一个三场混合有限元公式的四阶问题，重点是不同的边界条件，自然产生的变分公式的有效处理。我们的配方是基于引入梯度的解决方案作为一个明确的变量，约束使用拉格朗日乘子。必要的边界条件是强制弱，使用Nitsche的方法在需要的地方。因此，问题被重写为鞍点系统，需要分析所产生的有限元离散化和最佳线性求解器的建设。在这里，我们讨论的有限元公式的适定性和准确性的分析。此外，我们开发单片多重网格求解器所产生的线性系。二维和三维的数值结果表明，提出的多重网格求解器的离散化和效率的准确性。
2022-10-12 cs.NA math.NA
Stable full-field simulation of a multiscale elliptic equation by means of Quantized Tensor Trains
CEA.DES.IRESNE.DEC（法国原子能及替代能源委员会）
本文提出一种基于量化张量列车（QTT）的求解器，用于求解具有异质系数场的线性椭圆方程，能够实现极细网格的全场仿真，其自由度数量可达经典求解器的20个数量级，且在$ \LL^2 $范数下准确恢复解及其梯度。该求解器利用了QTT的指数压缩特性，从而显著提升了现有文献的性能。
2026-06-04 cs.NA math.NA
PDE/PDF-informed adaptive sampling for efficient non-intrusive surrogate modelling
提出了一种新的不确定参数偏微分方程（PDE）非侵入代理建模的精化方法。我们的方法使用经验插值过程，其中提出的细化措施是基于PDE残差和不确定参数的密度函数，并排除部分PDE解决方案，不用于计算感兴趣的数量。通过使用单独进入PDE的所有偏导数来计算细化度量中使用的PDE残差。建议的细化措施是适合于高效的参数代理建设时，底层PDE是已知的，即使当参数空间是非超立方体，并没有限制的类型的离散化方法。因此，我们不限于传统的离散化技术，例如，有限元和有限体积，和所提出的方法被证明是有效的，结合使用时，最近推出的神经网络PDE求解器。我们提出了几个数值例子，证明精度，效率和通用性的方法越来越复杂。
2019-07-09 cs.NA math.NA
Noise-robust multi-fidelity surrogate modelling for parametric partial differential equations
Consiglio Nazionale delle Ricerche – Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” (CNR–IMATI)（意大利国家研究委员会 - 应用数学与信息技术研究所 "E. Magenes"）；Universitat Politècnica de Catalunya - BarcelonaTech (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Centre Internacional de Mètodes Numèrics en Enginyeria (CIMNE)（国际工程数值方法中心）
本文提出改进的多指数随机列点方法，通过检测求解器噪声自动排除低保真度计算，提升参数PDE替代模型的稳健性与准确性。
2025-12-23 cs.CE cs.NA math.NA
Deep surrogate model for learning Green's function associated with linear reaction-diffusion operator
本研究提出一种基于U-Net的深度代理模型，通过新型无标注损失函数和硬编码边界机制学习反应-扩散算子的格林函数，构建快速PDE求解器，经数值算例验证有效。
2023-10-05 cs.NA math.NA
Latent Space Element Method
Center for Applied Scientific Computing（应用科学计算中心）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）；Material Science Division（材料科学部）
LSEM通过潜在空间元素方法，利用本地模型构建可扩展的替代求解器，保持预测精度并提升可解释性。
2026-01-05 cs.LG cs.NA math.AP
Fast finite difference solvers for singular solutions of the elliptic Monge-Ampère equation
椭圆型Monge-Ampere方程是一个起源于几何曲面理论的完全非线性偏微分方程，在动力气象学、弹性力学、几何光学、图像处理和图像配准等领域有着广泛的应用。解决方案可以是单一的，在这种情况下，标准的数值方法失败。在这篇文章中，我们建立了一个有限差分求解的Monge-Ampere方程，它收敛甚至奇异解。正则性结果用于在计算域的不同区域中选择稳定的、可证明收敛的单调离散化和精确的有限差分离散化之间的先验。这允许使用稳定方法计算奇异解，并且更精确地计算正则解。然后用牛顿法求解得到的非线性方程组。二维和三维的计算结果验证了精度和求解速度的要求。一个计算实例表明，在奇点附近使用单调格式的必要性。
2010-07-09 cs.NA math-ph math.MP
A PCG Implementation of an Elliptic Kernel in an Ocean Global Circulation Model Based on GPU Libraries
University of Naples “Federico II”（那不勒斯费德里科二世大学）；CMCC, Research Center（CMCC 研究中心）；ENEA-UTICT, Casaccia Research Center（ENEA-UTICT 卡萨恰研究中心）
本文提出一种逆预条件子，结合共轭梯度法高效求解全球海洋环流模型中的椭圆拉普拉斯问题，并利用科学计算库在GPU上实现，分析了求解器性能与网格分辨率及拉普拉斯系数的关系。
2012-10-05 cs.NA math.NA
A hp-adaptive discontinuous Galerkin solver for elliptic equations in numerical relativity
数值相对论中双曲问题的间断Galerkin方法得到了相当多的关注，显示了该方法在处理流体动力学冲击和其他间断方面的潜在优势。本文研究数值相对论中椭圆问题的间断Galerkin方法。提出了一种新的适用于曲线和非协调网格的hp自适应数值格式。它使用一个多重网格预条件与Chebyshev或Schwarz平滑创建一个非常可扩展的非连续Galerkin代码的通用域。该代码采用紧致化来将外边界移动到空间无穷大附近。我们探讨了一些测试问题的代码的属性，包括一个模仿中子星与相变。我们也应用它来构造两个或三个黑洞的初始数据。
2019-07-02 cs.NA gr-qc math.NA
A Structure-Preserving Graph Neural Solver for Parametric Hyperbolic Conservation Laws
School of Artificial Intelligence；Suzhou Institute for Advanced Research, University of Science；Suzhou Big Data \& AI Research；Engineering Center, China；School of Mathematical Sciences, University of Science；School of Mathematical Sciences
本文提出一种结构保持图神经网络求解器，结合经典数值方法与图神经网络，实现对参数化双曲守恒律的稳定求解，提升计算效率与精度。
2026-04-17 cs.LG cs.NA math.NA
Uniformly accurate structure-preserving neural surrogates for radiative transfer
Fudan University（复旦大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文提出基于多尺度奇偶分解的保结构神经代理模型，用于求解辐射输运方程，通过高阶修正函数实现与尺度参数无关的一致精确性，并保持守恒、正性等物理结构。
2025-11-07 cs.NA math.NA
Sparse recovery of elliptic solvers from matrix-vector products
本文提出仅通过少量黑箱矩阵-向量乘积恢复 d 维椭圆 PDE 求解器的稀疏 Cholesky 表示，并给出复杂度、并行求值、再压缩及 Green 函数逼近保证。
2023-10-01 cs.NA math.NA
The Coercivity Gap in Neural PDE Solvers: Parameter Escape and Functional Convergence
Friedrich–Alexander–Universität Erlangen–Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡弗里德里希·亚历山大大学）；University of Deusto（德乌斯托大学）；Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）
从变分角度研究椭圆PDE解的神经逼近，揭示神经参数几何与物理状态收敛之间的强制间隙，并证明即使参数空间非强制，状态函数仍可强收敛到精确解。
2026-06-27 cs.NA math.NA
Scaling to the stars -- a linearly scaling elliptic solver for $p$-multigrid
Institute of Fluid Mechanics, TU Dresden（德累斯顿工业大学流体力学研究所）；Center for Advancing Electronics Dresden (cfaed)（德累斯顿先进电子中心）
本文提出了一种线性缩放的椭圆求解器，用于p-多网格方法，通过推导出一种矩阵自由的显式逆运算，实现了在立方子域内的静态凝结操作的高效求解，从而提高了高阶方法的适用性。
2018-08-10 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A Degenerate Elliptic System Solvable by Transport: A Cautionary Example
该研究展示了一个退化椭圆系统族，指出仅凭椭圆常数无法判断实际难度，需通过传输理论不变量来求解。
2026-02-17 cs.NA math.AP math.CV
A Morley-Wang-Xu element method for a fourth order elliptic singular perturbation problem
针对一类四阶椭圆型奇异扰动问题，提出了一种简单修改右手边的Morley-Wang-Xu（MWX）元方法，其中离散双线性型与通常的有限元法一样.给出了MWX单元法的精确误差分析。并将Nitsche技术应用于MXW单元法，以获得边界层情况下的最佳收敛速度。MWX单元法的一个重要特征是求解器友好。基于二维离散Stokes复形，将MWX元方法解耦为一个泊松方程的Lagrange元方法、两个泊松方程的Morley元方法和一个Brinkman问题的$P_1$ -$P_1$ - $P_0$元方法。数值算例验证了理论结果。
2020-11-28 cs.NA math.NA
A high-order fast direct solver for surface PDEs
介绍了一种基于Poincaré-Steklov方法的曲面上变系数椭圆型偏微分方程的快速直接求解器。该方法以一个非结构化的，高阶四边形网格的表面和离散表面微分算子的每个元素使用高阶谱配置方案作为输入。元素解算子和与表面相切的狄利克雷-诺依曼映射被预先计算并以成对的方式合并，以产生解算子的层次结构，该解算子可以应用于具有$N$元素的网格的$\mathcal{O}(N \log N)$操作中。所得到的快速直接求解器可以用于加速高阶隐式时间步进格式，因为预先计算的算子可以重复用于表面上的快速椭圆求解。在一台标准笔记本电脑上，对具有超过100万个自由度的12阶曲面网格进行预计算需要17秒，而后续求解只需0.25秒。我们将该方法应用到一系列的光滑表面和尖锐的角落和边缘的表面上的问题，包括静态Laplace-Beltrami问题，切向向量场的Hodge分解，和一些时间依赖的非线性反应扩散系统。
2022-09-30 cs.NA math.NA
Matrix-free GPU implementation of a preconditioned conjugate gradient solver for anisotropic elliptic PDEs
University of Bath（巴斯大学）；The University of Edinburgh（爱丁堡大学）
针对数值天气预报中的各向异性椭圆偏微分方程，提出了一种无矩阵GPU实现的预条件共轭梯度算法，通过避免显式存储矩阵并利用循环融合减少全局内存访问，显著提升了性能。
2013-02-28 cs.DC cs.NA math.NA
Neural Shape Operator Surrogates -- Expression Rate Bounds
Christoph Schwab, Seminar for Applied Mathematics, ETH Z\"urich, R\"amistrasse 101, 8092 Z\"urich, Switzerland
本文研究了偏微分方程和边界积分方程解算子的近似算子的误差界，通过仿射参数化形状编码将PDE映射到参考域，证明了参数化解族的well-posed性，并构建了神经和谱算子近似。
2026-04-20 cs.LG cs.NA math.NA
AI-enhanced iterative solvers for accelerating the solution of large scale parametrized systems
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）
机器学习领域的最新进展开启了高性能计算的新时代。应用机器学习算法来开发复杂问题的准确和具有成本效益的替代品已经引起了科学家的极大关注。尽管他们强大的近似能力，但是，代理人不能产生“确切”的解决方案的问题。为了解决这个问题，本文利用了最新的ML工具，并提供了定制的线性方程系统的迭代求解器，能够以任何期望的精度水平解决大规模参数化问题。具体而言，所提出的方法包括以下两个步骤。首先，执行模型评估的缩减集，并使用相应的解决方案来使用深度前馈神经网络和卷积自动编码器建立从问题的参数空间到其解决方案空间的近似映射。这种映射提供了一种以可忽略的计算成本获得系统对新查询点的响应的非常准确的初始预测的方法。随后，一个迭代求解器的启发，结合适当的正交分解，称为POD-2G的代数多重网格方法，逐步完善对精确的系统解决方案的初始预测。POD-2G作为一个独立的求解器或作为预条件的上下文中的预处理共轭梯度法的应用程序的几个大规模系统的数值例子证明，与传统的迭代求解方案的结果表明其优越性。
2022-08-24 cs.AI cs.LG cs.NA
Mixed-precision for Linear Solvers in Global Geophysical Flows
大气和海洋模式的半隐式时间步进格式需要在现代超级计算机上有效工作的椭圆求解器。本文报告了我们的研究潜在的计算节省时，使用混合精度算法的椭圆求解器。一个代表性的椭圆形求解器的基本组件运行在精度水平低至一半（16位），并伴随着详细的评估精度降低的影响求解器的收敛性和解决方案的质量。对降低精度的详细调查需要一个有意义的模型配置，但比完整的大气/海洋模型更便宜，更容易评估。因此，这项研究是在一个新的半隐式浅水模式的范围内进行的，专门设计来模拟现代全尺度天气和气候（W&C）模式的数值复杂性与数值稳定性独立于所有波动的celebrations。浅水模型的管理算法是基于非振荡的MPDATA方法的地球物理流，而由此产生的椭圆形问题采用了强预处理的非对称Krylov子空间求解器GCR，证明在先进的大气应用。经典的经度/纬度网格是故意选择的，以保留薄球壳中的全球W&C模型的刚度，以及更好地理解网格奇点附近的降精度算法的性能。精度降低是在软件级别上使用仿真器完成的。降低精度的实验进行了既定的动态核心测试的情况下，如Rossby-Haurwitz波数4和纬向地形流。研究表明，选定的椭圆形求解器的关键组件，最突出的预处理，可以在半精度的水平进行。
2021-03-30 cs.CE cs.NA math.NA
Multi-GPU Approach for Training of Graph ML Models on large CFD Meshes
Rolls-Royce Deutschland（罗尔斯·罗伊斯德国公司）
本文提出一种多GPU训练图神经网络代理模型的方法，用于大规模CFD网格，通过分区和halo交换实现扩展，但在三维涡轮机械测试中传统分布式模型表现更优。
2023-07-25 cs.DC cs.LG cs.NA
Neuro-symbolic partial differential equation solver
Nvidia（英伟达）；UCSB（加州大学圣巴巴拉分校）
我们提出了一个高度可扩展的战略，开发无网格神经符号偏微分方程求解器从现有的数值离散科学计算中发现。这种策略是独特的，因为它可以被用来有效地训练神经网络代理模型的解决方案的功能和微分算子，同时保持国家的最先进的数值求解器的精度和收敛性能。这种神经自举方法是基于最小化残差的离散化微分系统的一组随机配置点相对于神经网络的可训练参数，实现前所未有的分辨率和最佳缩放解决物理和生物系统。
2022-10-25 cs.AI cs.CE cs.NA
A Deep Learning algorithm to accelerate Algebraic Multigrid methods in Finite Element solvers of 3D elliptic PDEs
Politecnico di Milano（米兰理工大学）
针对代数多重网格方法参数调优成本高的问题，提出利用深度学习网络通过池化处理稀疏矩阵来调优强阈值参数，可在未见过的三维问题上最多减少30%计算时间，且代码改动极小。
2023-11-02 cs.LG cs.NA math.NA
