Edge Elimination in TSP Instances
旅行商问题是组合优化中研究最多的NP-难问题之一。在过去的60年里，已经开发出了强大的方法来寻找大型TSP实例的最佳解决方案。迄今为止，最大的TSP实例已被最佳解决，有85，900个顶点。它的解决方案需要超过136年的总CPU时间使用分支和切割基于协和TSP代码[1]。在本文中，我们提出了图论的结果，可以证明，一些边缘的TSP实例不能出现在任何最佳TSP巡回赛。基于这些结果，我们提出了一个组合算法来识别这样的边缘。我们的算法的主要部分的运行时间是$O(n^2 \log n)$的n顶点TSP实例。通过将我们的方法与Concorde TSP求解器相结合，我们能够比单独使用Concorde解决大型TSPLIB实例快11倍以上。
2014-02-28 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating TSP walks in subcubic graphs
证明了$n_2$顶点数为2的$n$顶点上的简单2连通次立方图的TSP行走长度至多为$\frac{5n+n_2}{4}-1$，从而证实了Dvotelák，Král '和Mohar的一个猜想.这个界限是最好的可能;存在无穷多个次三次图和三次图，它们的最小TSP行走分别具有长度$\frac{5n+n_2}{4}-1$和$\frac{5n}{4} - 2$。我们刻画了极值次立方的例子满足这个界限。我们还给出了一个二次时间组合算法找到这样的TSP行走。特别是，我们得到了一个$\frac{5}{4}$ -近似算法的简单三次图上的图形TSP，提高了以前最好的已知的近似比$\frac{9}{7}$。
2021-12-12 cs.DM cs.DS math.CO
The Approximation Ratio of the 2-Opt Heuristic for the Metric Traveling Salesman Problem
2-Opt启发式算法是求解度量旅行商问题的最简单的算法之一。它是著名的Lin-Kernighan算法的关键成分，并且经常在实践中使用。到目前为止，只有上限和下限的近似比的2-Opt启发式的度量TSP是已知的。我们证明了度量TSP与$n$城市，2-Opt启发式的近似比是$\sqrt{n/2}$，这个界是紧的。
2020-03-13 cs.DM cs.DS math.CO
Reducing Path TSP to TSP
我们提出了一个黑盒减少从路径版本的旅行商问题（路径TSP）的经典旅游版本（TSP）。更确切地说，我们表明，给定一个$α$近似算法的TSP，那么，对于任何$ε>0$，有一个$(α+ε)$ -近似算法的更一般的路径TSP。这种减少意味着路径TSP的近似性与TSP相同，直到任意小的误差。这就避免了这两个问题的最佳近似因子之间的差异，因为它们直到最近才存在。图TSP是TSP的一个研究得很好的特例，它要求在单位权图中寻找旅游。我们的减少表明，任何$α$ -近似算法图TSP意味着一个$(α+ε)$ -近似算法的路径版本。通过将我们的约简应用于SebIgnand Vygen的图TSP的$1.4$ -近似算法，我们得到了图路径TSP的多项式时间$(1.4+ε)$ -近似算法，改进了Traub和Vygen的最近的$1.497$ -近似算法.我们通过各种新技术，包括一种新的方法来建立一个递归的动态程序来猜测最优解的重要部分，从而获得我们的结果。在我们的动态程序的核心，我们处理一个新的泛化（路径）TSP结合奇偶校验约束与一定的连通性要求的实例。这个问题，我们称之为$Φ$ -TSP，有一个常数因子的近似算法，并可以减少到TSP在某些情况下，动态规划将不会取得足够的进展。
2019-07-24 cs.DM cs.DS math.CO
Beating the integrality ratio for s-t-tours in graphs
在旅行商问题的各种变体中，s-t-路图TSP具有我们知道精确的完整性比率3/2和匹配此比率的近似算法的特殊性。在本文中，我们低于这个阈值：我们设计了一个多项式时间算法的s-t-路径图TSP的近似比1.497。我们的算法可以被视为SebIgnand Vygen [2014]的3/2-近似算法的改进，但我们引入了几种全新的技术。这些措施包括一种新的类型的耳朵分解，增强耳朵感应，揭示了一个新的连接到拟阵联盟，更强的下界，并减少一般的情况下，s和t有小的距离（适用于一般度量）的情况。
2018-09-17 cs.DM cs.DS math.CO
On the Approximation Ratio of the $k$-Opt and Lin-Kernighan Algorithm
该研究针对度量TSP等不同TSP变体，分析了$k$-Opt与Lin-Kernighan算法的近似比，推导了多组匹配上下界及相关下界，拓展了局部搜索算法的近似性能理论边界。
2024-08-19 cs.DM cs.DS math.CO
Eight-Fifth Approximation for TSP Paths
我们证明了近似比8/5的度量$\{s,t\}$ -路径TSP问题，更一般的最短连接$T$ -加入。实现该比率的算法是由An、Kleinberg和Shmoys（2012）提出的Christofides算法（1976）的简单“Best of Many”版本，其包括从具有由分数松弛的最优解$x^*$支配的凸组合的树族$\Fscr_{>0}$构建的那些树中确定最佳Christofides $\{s,t\}$ -tour。他们给出了这种$\{s,t\}$ -环的近似保证$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，这是Hoogeveen的Christofides型算法（1991）的5/3保证之后的第一个改进. Cheriyan，Friggstad and Gao（2012）将该结果扩展到$|T|\ge 4$的最短连接$T$ -连接的13/8近似。通过简化和改进An，Kleinberg和Shmoys的方法证明了8/5的比率，该方法包括完成$x^*/2$以控制生成树的“奇偶校正”成本。我们将$\Fscr_{>0}$中每个生成树的边集划分为一个$\{s,t\}$ -路径（或者更一般地说，划分为一个$T$ -连接）及其补集，从而导致了$x^*$的分解.这种分解可以被细化，然后有效地用于完成$x^*/2$，而不使用线性编程或$T$的特定属性，而是通过向$x^*$中固有的、单独定制的显式给定向量添加对于…
2012-10-29 cs.DM cs.DS math.CO
Reassembling trees for the traveling salesman
许多最近的近似算法的旅行商问题的不同变种（不对称TSP，图TSP，s-t-路径TSP）利用众所周知的事实，自然的线性规划松弛的解决方案可以写为凸组合的生成树。主要的论点是，从这样的分布中随机抽样一棵树，然后以最小的代价完成一次旅行，比简单地取一棵最小代价生成树（如Christofides算法）产生更好的近似保证。我们认为，一个额外的步骤可以帮助：在采样之前重新组装生成树。在一定条件下，交换生成树中的两条边可以改善生成树的性质。我们证明了有用的度量S-T-路径TSP设计一个确定性的多项式时间算法，提高SebIgn以前的最佳近似比8/5。
2016-01-05 cs.DM cs.DS math.CO
Closed curve covering and multiagent TSP ratios
本文研究了$\mathbb{R}^d$中单位长度闭曲线的$k$覆盖问题，证明了最大长度的上界，改进了多智能体遍历Euclidean TSP的效率，并提出了一个线性时间近似算法。
2025-09-12 cs.DM math.MG
The traveling salesman problem on cubic and subcubic graphs
研究了三次图和次三次图的度量完备化问题，该问题是NP-难的。这个问题是有趣的，因为它与著名的度量TSP的4/3猜想有关，该猜想说，完整性间隙，即，TSP的最优值与其线性规划松弛（subtour elimination relaxation）之间的最差情况比为4/3。我们提出了近似比为4/3的三次图的第一个算法。证明使用多面体技术在一个令人惊讶的方式，这是独立的利益。事实上，我们建设性地证明了，对于任何三次图的$n$顶点的旅游长度为4n/3 - 2存在，这也意味着4/3猜想，作为一个上界，这类图TSP。最近，Mömke和Svensson提出了一个随机算法，给出了一般图上图-TSP的1.461-近似，并作为副结果给出了次三次图上图-TSP的4/3-近似算法，解决了这类图-TSP的4/3猜想.我们将提出一种方法去随机化他们的算法，导致一个更小的运行时间比明显的去随机化。所有后者也适用于多重图。
2011-07-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Approaching $\frac{3}{2}$ for the $s$-$t$-path TSP
我们表明，有一个多项式时间算法的近似保证$\frac{3}{2}+ε$的$s$ - $t$ -路径TSP，任何固定的$ε>0$。众所周知，Wolsey对Christofides算法的分析也适用于$s$ - $t$ -路径TSP，其自然LP松弛除了窄割（其中LP解具有小于2的值）。一个固定的最优路径要么在一个狭窄的切割中有一条边（然后称该边和该切割为孤独的），要么至少有三条边（然后称该切割为忙碌的）。我们的算法“猜测”（动态规划）孤独的削减和边缘。然后，我们将实例划分为更小的实例并加强LP，要求值至少为3用于繁忙切割。通过建立一个$k$级递归动态程序，我们可以计算生成树$(V,S)$和LP解$y$，使得$(\frac{1}{2}+O(2^{-k}))y$在$T$ -连接多面体中，其中$T$是$S$中度具有错误奇偶性的顶点的集合.
2019-07-23 cs.DM cs.DS math.CO
Improving on Best-of-Many-Christofides for $T$-tours
$T$ -tour问题是TSP和路径TSP的自然推广。给定一个图$G=(V,E)$、边代价$c: E \to \mathbb{R}_{\ge 0}$和一个偶基数集$T\subseteq V$，我们想计算一个连接$G$的所有顶点（可能包含平行边）的最小代价$T$ -连接。本文给出了$T$ -tour问题的一个$\frac{11}{7}$ -近似，并证明了标准LP松弛的完整性比至多为$\frac{11}{7}$ .尽管在特殊情况下路径TSP取得了很大进展，但对于一般的$T$ -tours，这是SebIgn对Best-of-Many-Christofides算法的分析的第一次改进（SebIgn [2013]）。
2020-09-21 cs.DM cs.DS
A Linear Time Algorithm for the $3$-neighbour Traveling Salesman Problem on Halin graphs and extensions
二次旅行商问题（QTSP）是在一个边权图中寻找一个最小代价的Hamilton圈，其中代价定义在Hamilton圈所包含的所有边对上。这是一个更一般的版本比通常研究的QTSP只考虑对相邻的边缘。本文定义了一个限制版本的QTSP-$k$ -邻居TSP（TSP（$k$）），并给出了求解$k\leq 3$的Halin图上的TSP（$k$）的线性时间算法.该算法可以推广到求解任意完全可约图类上的TSP（$k$），且求解$k$的时间为多项式时间。这一结果推广了标准TSP的相应结果。TSP（$k$）可以用来建模各种机器调度问题以及无人机（UAV）的最优路径问题。
2017-09-04 cs.DM cs.DS
An Improved Approximation Algorithm for TSP in the Half Integral Case
针对度量旅行商问题（TSP）的最优解为半整数的情形，设计了一个$1.49993$ -近似算法.这些情况在过去十年中受到了极大的关注，因为Schalekamp、Williamson和van Zuylen猜想半积分LP解在所有分数阶解中具有最大的积分性间隙。因此，如果Schalekamp等人的猜想成立，我们的结果表明子环多面体的完整性间隙是有界远离$3/2$。
2019-08-01 cs.DM cs.DS math.PR
Improved guarantees for the a priori TSP
本文重新研究先验旅行商问题，通过分析随机抽样子集S的概率以及主路径解与最优解的差距，给出了几乎匹配的上下界，从而将近似保证改进为随机抽样小于3.1、确定性多项式时间算法小于5.9。
2023-09-19 cs.DM cs.DS
The Maximum Scatter TSP on a Regular Grid
在最大分散旅行商问题中，目标是找到一个最大化任意两个连续节点之间的最短距离的旅行。该模型可应用于制造过程，特别是激光熔化过程。我们扩展了Arkin等人的算法，该算法产生的最优解的一条线上的一个定期的$m \times n$网格的节点。新算法$\textsc{Weave}(m,n)$在某些情况下需要线性时间来计算最优行程。它是渐近最优的，并且是$3\times 4$网格的$\frac{\sqrt{10}}{5}$近似，这是最差情况。
2015-12-07 cs.DM math.OC
Indirect Quantum Approximate Optimization Algorithms: application to the TSP
该研究提出间接量子近似优化算法IQAOA，通过参数化酉算子建模、经典元优化与运筹学算法结合的架构，减少量子电路门数，在IBM模拟器上实现了当时基于QAOA方法求解的最大规模8客户TSP问题。
2023-11-06 cs.DM quant-ph
