Time integrable weighted dispersive estimates for the fourth order Schrödinger equation in three dimensions
考虑四阶薛定谔算子$H=Δ^2+V$，证明了若$H$的绝对连续谱中不存在本征值或共振，则解算子$e^{-itH}$在加权空间之间满足大的时间可积的$|t|^{-\frac54}$衰减率.这个界限在两个方向上改善了自由情况下的可能性;更好的时间衰减和更小的空间权重。在能量为零的弱共振情形下，我们导出了算子值展开式$e^{-itH}P_{ac}(H)=t^{-\frac34} A_0+t^{-\frac54}A_1$，其中$A_0:L^1\to L^\infty$是秩至多为4的算子，并且$A_1$是多项式加权空间之间的映射.
2021-06-02 math.AP
Conservation laws for fourth order systems in four dimensions
继第二作者的方法共形不变的变分问题在两个层面上，我们显示在四维存在的守恒律的四阶系统，其中包括内在和外在的双调和映射。利用这一守恒律，我们证明了该系统的弱解的连续性。利用守恒律得到了能量空间中非本征双调和映射流的唯一整体弱解的存在性。
2006-07-20 math.AP math.DG
Some fourth order nonlinear elliptic problems related to epitaxial growth
本文讨论了晶体外延生长理论中的一些数学模型。我们专注于研究一个平稳的问题，提出了一些分析上的困难。我们研究解的存在性。本文的中心模型由下面的四阶椭圆型方程$$\begin{array}{rclll} Δ^2 u=\text{det} \left(D^2 u \right) &+&λf, \quad & x\in Ω\subset\mathbb{R}^2\\ \hbox{conditions on} &\quad& & \partial Ω. \end{array} $$给出。深入研究问题的框架依赖于边界条件。
2013-09-22 math-ph math.AP math.MP
Fourth-order dispersive systems on the one-dimensional torus
给出了一维环面上一类四阶线性色散方程组的初值问题适定性的充要条件。这个系统与闭曲线到紧致Riemann曲面的色散流有关。为此，我们不仅详细研究了一般情况，而且还研究了相应的特殊情况。我们把我们在线性系上的结果应用到四阶色散流上。我们看到，如果目标黎曼曲面的截面曲率是常数，则色散流方程满足我们的适定性条件。
2014-02-05 math.AP
Lectures on the fourth order Q curvature equation
讨论了非四维空间中四阶Paneitz算子和Q曲率的一些公开问题和最新进展。
2015-09-15 math.AP math.DG
Steklov vs. Steklov: A Fourth-Order Affair Related to the Babuška Paradox
本文研究两个四阶 Steklov 问题在凸多边形逼近凸区域时出现的 Babuška 悖论，证明其中一个问题的特征值对凸区域扰动具有连续依赖性，并揭示其与铰支板 Babuška 悖论及 Maz'ya-Nazarov 退化结果的关系。
2025-07-04 math.AP math.SP
Heat kernel estimates for fourth order non-uniformly elliptic operators with non strongly convex symbols
得到了二维四阶非一致椭圆算子的热核估计。与现有的结果相反，被认为是运营商的符号是不是强凸的。这增加了一定的困难，因为它是已知的，而不是强凸的情况下，没有绝对的指数常数。我们的估计涉及尖锐的常数和Finsler型的距离，诱导的运营商符号。主要结果是基于两个一般的假设，加权Sobolev不等式和插值不等式，这是有关的奇异性或退化的系数。
2022-11-19 math.AP
On blowup solutions to the focusing intercritical nonlinear fourth-order Schrödinger equation
本文研究了四阶非线性薛定谔方程的聚焦亚临界（质量-超临界和能量-亚临界）解爆破的动力学性质.首先建立了$\dot{H}^{γ_{\text{c}}} \cap \dot{H}^2$中有界序列的剖面分解。我们还证明了一个紧引理和一个变分表征的基态方程。得到了具有有界$\dot{H}^{γ_{\text{c}}}$-范数的爆破解的$\dot{H}^{γ_{\text{c}}}$ -浓度和具有临界$\dot{H}^{γ_{\text{c}}}$ -范数的爆破解的极限轮廓.
2018-07-08 math.AP
Some weighted fourth-order Hardy-Henon equations
利用一个与Sobolev不等式有关的适当变换，研究了径向空间中下列加权Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式：\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}|x|^α|Δu|^2 dx \geq S^{rad}(N,α)\left(\int_{\mathbb{R}^N}|x|^{-α}|u|^{p^*_α} dx\right)^{\frac{2}{p^*_α}}, \quad u\in C^\infty_c(\mathbb{R}^N), \end{equation*}，其中$N\geq 3$，$4-N<α<2$，$p^*_α=\frac{2(N-α)}{N-4+α}$ .然后，我们得到了加权四阶Hardy（$α>0$）或Hénon（$α<0$）方程的唯一径向正解$U_{λ,α}$的显式形式：\begin{equation*} Δ(|x|^αΔu)=|x|^{-α} u^{p^*_α-1},\quad u>0 \quad \mbox{in}\quad \mathbb{R}^N. \end{equation*} %.此外，我们在$U_{1,α}$上刻画了与上述方程相关的线性化问题的所有解.对于$α\neq 0$，已知上述方程的解对于膨胀$λ^{\frac{N-4+α}{2}}u(λx)$是不变的，但对于平移不是不变的。然而，我们证明了，如…
2022-11-02 math.AP
A Global Existence Theorem for a Fourth-Order Crystal Surface Model with Gradient Dependent Mobility
本文研究晶体表面生长中一类四阶非线性偏微分方程，针对迁移率矩阵依赖解梯度导致时间方向估计缺失的困难，证明了弱解的全局存在性。
2025-01-30 math.AP
A degenerate fourth-order parabolic equation modeling Bose-Einstein condensation. Part I: Local existence of solutions
分析了一个退化的四阶抛物型方程，该方程模拟了玻色-爱因斯坦粒子的凝聚现象。该模型是Boltzmann-Nordheim方程的Fokker-Planck型近似，仅保留首阶项。它保持了动力学模型的一些主要特征，即质量和能量守恒以及零能量下的冷凝。证明了在时间上局部非负连续弱解的存在性。如果解不是全局的，它在有限时间内关于$L^\infty$范数爆炸。证明是基于近似参数，插值不等式加权索伯列夫空间，和适当的先验估计加权梯度$L^2$规范。
2014-01-05 math.AP
Existence of conformal metrics on $S^n$ with prescribed fourth order invariant
本文利用$n\geq5$在标准$n-$球面上定义了一个四阶共形不变量，并研究了相应的四阶椭圆型方程.我们首先在微扰情形下得到一些存在性结果。经过一些爆破分析，我们建立了一个同伦从微扰的情况下，非微扰的平坦性条件。最后在对称性假设下给出了一些存在性结果。
2001-04-03 math.AP math.DG
Prescribing a fourth order conformal invariant on the standard sphere - Part I: a perturbation result
本文研究了一类具有临界Sobolev指数的四阶椭圆型方程，它与标准球面上四阶共形不变量的规定有关.本文利用拓扑方法证明了当给定函数接近常数且与之相关的有限维映射具有非零次时，至少存在一个解。
2001-01-11 math.AP math.DG
Strong solutions to a fourth order exponential PDE describing epitaxial growth
本文证明了指数型偏微分方程$\partial_tu-Δe^{-Δu}+e^{-Δu}-1=0$初边值问题强解的整体存在性。该方程是考虑蒸发和沉积效应\cite{GLLM}的晶体表面在邻面上外延生长的连续模型。我们的研究表明，我们必须适当地控制$\left\| e^{-Δu(x,0)}\right\|_{W^{2,2}(Ω)}$和$\left\| e^{Δu(x,0)}\right\|_{\infty,Ω}$的大小，以实现我们的结果。在Weiner代数框架下建立了\cite{GM,LS}中的相关结果。在这里，我们提供了一个全新的方法，这似乎揭示了更多的指数非线性的性质。
2021-10-23 math.AP
Dispersive estimates for inhomogeneous fourth-order Schrödinger operator in 3D with zero energy obstructions
研究了在$\mathbf{R}^{3}$中具有零能量障碍的非齐次四阶薛定谔算子$H=Δ^{2}-Δ+V(x)$的$L^1-L^\infty$色散估计.对于相关的传播子$e^{-itH}$，我们证明了对于$0<t\leq 1$，则$e^{-itH}P_{ac}(H)$满足$|t|^{-3/4}$ -估计。对于$t>1$，我们证明了：\，\，1）如果零是$H$的正则点，则$e^{-itH}P_{ac}(H)$满足$|t|^{-3/2}$ -色散估计。\，\，2)如果零是$H$的共振，则存在依赖于时间的算子$F_{t}$，使得$e^{-itH}P_{ac}(H)-F_{t}$满足$|t|^{-3/2}$ -色散估计。3)如果零是$H$的共振和~/~或本征值，则存在依赖于时间的算子$G_{t}$，使得$e^{-itH}P_{ac}(H)-G_{t}$满足$|t|^{-3/2}$ -色散估计。这里$F_{t}$和$G_{t}$满足$|t|^{-1/2}$ -色散估计。
2021-01-27 math.AP
A degenerate fourth-order parabolic equation modeling Bose-Einstein condensation. Part II: Finite-time blow-up
分析了一个退化的四阶抛物型方程，该方程模拟了玻色-爱因斯坦粒子的凝聚现象。该模型是Boltzmann-Nordheim方程的Fokker-Planck型近似，仅保留首阶项。它保持了动力学模型的一些主要特征，即质量和能量守恒以及零能量下的冷凝。证明了满足一定熵不等式的局部时间弱解的存在性。主要结果表明，如果初始数据的加权$L^1$范数足够大，且初始数据满足一定的可积性条件，则解在有限时间内关于$L^\infty$范数爆破.此外，所有这样的爆破强制初始功能的集合被证明是稠密的所有可接受的初始数据的集合。证明是基于加权索伯列夫空间中的逼近变元和插值不等式。利用熵不等式，证明了一个蕴含有限时间爆破性质的非线性积分不等式。
2014-01-05 math.AP
Prescribing a fourth order conformal invariant on the standard sphere, Part II: blow-up analysis and applications
本文对一个具有临界Sobolev指数的四阶椭圆型方程进行了精细的爆破分析，涉及到标准球面上某些共形不变量的规定.我们从这个分析中得出一些先验估计在5和6维。在五维球面上，这些先验估计与第一部分的扰动结果相结合，使我们得到了一些存在性结果。在六维球面上证明了当相关指数不为零时至少存在一个解。
2001-04-12 math.AP math.DG
A pointwise inequality for a biharmonic equation with negative exponent and related problems
受Fazly，Wei和Xu [ Anal.]的启发，得到了四阶Hénon方程$Δ^2 u = |x|^a u^p$在具有$a \geqslant 0$的${\mathbb R}^n$中的正有界解的一个点态微分不等式，$p > 1$，$n \geqslant 5$. PDE.，8（2015）1541--1563]，首先对于一些正常数$α$和$β$，我们在${\mathbb R}^n$中建立以下逐点不等式\[ Δu \geqslant αu^{-\frac{q-1}2} + βu^{-1} |\nabla u|^2 \]，其中$n \geqslant 3$用于四阶方程\[ Δ^2u=-u^{-q} \quad \text{ in } \mathbb R^n \]的正$C^4$ -解，其中$q > 1$。其次，我们证明了指数为混合符号的Lane-Emden系统的一个比较性质。最后，通过建立Lane-Emden型抛物方程组的比较性质，给出了抛物模型的一个类似结果。为了得到所有这些结果，我们引入了一个新的参数的最大值原理，它允许我们处理的解在无穷大的高增长。我们期望看到这种新方法在不同背景下的更多应用。
2017-06-11 math.AP
Improved equilibration rates to self-similarity for strong solutions of a thin-film and related evolution equations
本文针对薄膜方程等四阶演化方程，利用保持二阶矩的时间重标度方法，在相对 Rényi 熵意义下建立了比经典熵耗散更优的收敛速率，并严格证明了薄膜方程强解的结果。
2025-11-09 math.AP
Existence results for a fourth order partial differential equation arising in condensed matter physics
我们研究了凝聚态物理中出现的高阶抛物型偏微分方程。它是一个四阶半线性方程，其非线性度是解的黑塞矩阵的行列式。我们考虑这个模型在一个有界区域的实平面和研究其平稳的解决方案时，这个域的几何形状是任意的，当它是单位球和解决方案是径向对称的。我们还考虑了完全抛物型方程的初边值问题。我们总结了我们的结果在这些情况下的解决方案的存在性，并提出了一个开放的问题有关的自相似解决方案的存在性。
2015-03-23 math.AP math.CA
On an n-dimensional fourth-order system under a parametric condition
本文研究了有界域上的耦合四阶偏微分方程组，在参数满足与Laplace算子特征值相关约束及齐次Navier边界条件下，证明了其正解的存在性。
2023-05-19 math.AP
Scaling of the elastic energy of small balls for maps between manifolds with different curvature tensors
受物理学文献中实验和形式渐近展开的启发，Maor和Shachar（J. Elasticity 134（2019），149-173）研究了具有不相容度量的流形之间映射的模型弹性能量的行为。对于薄的物体，他们分析了最小弹性能量作为厚度的函数的比例。特别是他们表明，从一个球的半径h在一个定向黎曼流形欧几里得空间的地图，下确界的模型弹性能量每单位体积的规模一样的四次幂h和重新缩放后得到收敛到二次表达式的曲率张量R（p），其中p表示中心的球。本文对一般的紧致定向黎曼目标证明了同样的结果，其中R（p）由目标和区域中的曲率张量的适当差代替，从而回答了Maor和Shachar文章中的公开问题1.这一结果推广了非紧目标，只要它们满足一致正则性条件。证明中的一个关键思想是使用Lipschitz近似来定义一个合适的收敛概念。
2022-12-09 math.AP
Global results for a Cauchy problem related to biharmonic wave maps
本文在尺度临界 Besov 空间中证明了一类带非泛型二次非线性项的导数双调和波方程对小初值的全局存在性，并由此得到双调和波映射方程在包括球面在内的一类目标流形上的小数据全局正则性。
2021-02-25 math.AP
On the Positive Energy Theorem for Stationary Solutions to Fourth-Order Gravity
本文证明了一个与四阶引力理论有关的正能量定理，它是广义相对论经典ADM正能量定理的高阶类比。我们还将表明，与广义相对论中的相应情况平行，这个结果与几何分析中的几个重要问题相交。例如，它是与Paneitz算子相关的正质量定理的基础，在正$Q$曲率保形处方问题中扮演着类似的角色，就像Schoen-Yau正能量定理在Yamabe问题中所扮演的角色一样。其他几个链接到$Q$ -曲率分析和刚性现象建立。
2021-11-29 math-ph math.AP math.DG
Constraint Maps: Insights and Related Themes
本文探讨了约束映射的最新进展，清晰阐述主要结果背后的复杂论证，提出目标流形最优几何条件以保证投影像映射的唯一延拓，证明极小化约束映射梯度为$A_\infty$-权重并满足强唯一延拓原理，同时概述了未来研究方向与开放问题。
2025-06-30 math.AP
Feedback stabilization of some fourth-order nonlinear parabolic equations with saturated controls
本文研究了四阶非线性抛物型方程在饱和反馈控制下的稳定化问题，通过谱分析和模态分解等方法实现局部指数稳定化。
2025-12-18 cs.SY eess.SY math.AP
Partial regularity for harmonic maps, and related problems
利用规范理论，给出了m>2维调和映射到任意目标的部分正则性的一个新证明.这个证明避免了使用自适应框架，并允许考虑“最小”C^2正则性的目标。此外，我们提出的证明扩展到一个大类的椭圆型系统的二次增长。
2006-04-28 math.AP math.DG
Differentiability of monotone maps related to non-quadratic costs
本文研究非二次齐次成本下单调映射的正则性，通过建立局部 $L^\infty$ 估计证明其几乎处处可微，并揭示其与有界形变映射的联系及 Hölder 连续性。
2024-09-27 math.AP math.FA
Liouville-type results for stationary maps of a class of functional related to pullback metrics
我们研究了一个与拉回度量相关的广义泛函（3）。我们导出了产生平稳映射的一阶变分公式。通过黎曼几何中的余面积公式和比较定理，引入了与守恒律和屈服单调性公式有着天然联系的应力-能量张量。这种单调性不等式的一个版本使我们能够得到一些刘维尔型结果。同时，我们还研究了张力场方程关于该泛函的常Dirichlet边值问题和广义Chern型结果.
2017-07-08 math.AP math.DG
Stable soliton resolution for exterior wave maps in all equivariance classes
本文考虑从原点单位球外的1+3维Minkowski空间到3-球面的有限能量\ell -等变波映射.我们在r=1处施加狄利克雷边界条件，这意味着域中单位球的边界被映射到北极。每个这样的\ell -等变波映射都有一个固定的整数值拓扑度，并且在每个度类中存在唯一的调和映射，它使相同度的映射的能量最小化。证明了任意具有有限能量的\ell -等变外波映射在其度类中散射到唯一的调和映射，即，孤子分辨率这将第一、第二和第四作者关于1-等变方程的最新结果推广到更高的等变类，从而完全解决了Bizon、Chmaj和Maliborski的一个猜想，他们在数值上观察到了这种渐近行为。证明的关键依赖于外部能量估计的自由径向波动方程的尺寸d = 2 \ell +3，这是建立在一个配套文件。
2015-08-18 math-ph math.AP math.MP
