Diagonal gates in the Clifford hierarchy
克利福德层次结构是容错量子计算理论中出现的一组门，但其精确结构仍然难以捉摸。我们给出了素维量子群Clifford层次中对角门的完整刻画。他们原来是$p^{m}$次单位根提高到多项式函数的基本状态，他们被应用，我们确定哪一级的Clifford层次的一个给定的门坐在$m$和次数的多项式的基础上。
2016-08-23 quant-ph
Implementation of Clifford gates in the Ising-anyon topological quantum computer
给出了Clifford门在Ising拓扑量子计算机中的存在性和可实现性的一般证明。我们证明了所有可以通过编织Ising任意子实现的量子门都是Clifford门。我们发现两个量子比特的编织门耗尽了整个两个量子比特的Clifford群。通过对n个\geq 3量子比特的Clifford群的结构分析，证明了辫子群的像是Clifford群的非平凡子群，从而证明了在Ising拓扑量子计算方案中，并非所有的Clifford门都可以通过辫子来实现.我们还指出，克利福德门一般不能实现的编织。
2008-12-12 cond-mat.mes-hall math-ph math.MP
Constructing all qutrit controlled Clifford+T gates in Clifford+T
对于许多有用的量子线路，已经发现量子比特构造与最佳已知或最佳可能的量子比特构造相比减少了资源需求。然而，在这些结构中的许多必要的quutrit门从来没有明确和有效地构造在一个容错的方式。我们展示了如何准确和unitarily构建任何qutrit多重控制的Clifford+T酉只用Clifford+T门，而不使用辅助。这样做的T计数是控件数量$k$的多项式，缩放为$O(k^{3.585})$。利用我们的结果，我们可以构造多重控制T门的无辅助Clifford+T实现以及qutrit多重控制Toffoli的所有版本，而量子位的类似结果是不可能的。作为我们的结果的一个应用，我们提供了一个程序来实现任何三元经典可逆函数$n$三元组作为一个辅助免费的四元组酉使用$O(3^n n^{3.585})$ T门。
2022-04-01 quant-ph
Clifford Gate Optimisation and T Gate Scheduling: Using Queueing Models for Topological Assemblies
Clifford门在Clifford+T电路的优化中起着重要作用。减少Clifford门的数量和深度，以及T门的最佳调度，影响执行量子线路的硬件和时间成本。本文主要研究表面量子纠错码保护电路。为表面码编译一个量子线路的结果被称为拓扑组装。我们使用排队论建模的编译程序集的一部分，评估模型，并作出经验观察，至少对于某些Clifford+T电路（例如加法器），该程序集的执行时间不会增加时，可用的硬件是有限的。这是一个有趣的属性，因为它表明T门调度和Clifford门优化有可能节省硬件和执行时间。
2019-06-14 cs.ET quant-ph
Cubic phase gates are not suitable for non-Clifford operations on GKP states
通过Gottesman-Kitaev-Preskill（GKP）编码，可以使用简单的高斯运算进行克利福德门和纠错。尽管如此，非克利福德门，所需的普遍性，需要非高斯元素。在他们最初的提议中，GKP提出了一种特别简单的方法，即使用立方相位门的单一应用来执行逻辑非Clifford T门。在这里，我们表明，这种立方相位门的方法执行非常差，即使在GKP状态的任意大量的压缩。因此，与通常的看法相反，立方相位门不适合实现具有GKP态的通用容错量子计算。
2020-09-15 quant-ph
Four qubits generated by Clifford gates
Clifford群是由受控非门、Hadamard门和P={{1，0}，{0，i}}门生成的门的集合。我们将说一个n量子比特态是克利福德态，如果它可以使用克利福德门来制备。在本文中，我们研究了所有4-qubit Clifford态的集合。我们证明了存在293760个态，它们的纠缠熵一定是0、2/3、1、4/3和5/3。我们还表明，任何对这些国家可以连接使用本地门和最多3 CNOT门。我们通过将293760个状态分成18组来实现这一点，其中一组中的每一对状态都可以与本地Clifford门连接。然后，我们研究了不同的CNOT门如何作用于18组。我们还研究了实项Clifford态在实项Clifford门的子群C_R作用下的情形。这一次我们证明了在C_R中，每对具有实项的Clifford态最多可以与5个CNOT门和局部门相连接。链接https://youtu.be/42MI6ks2_eU指向一个YouTube视频，解释了本文中最重要的结果。
2020-04-18 math.DG quant-ph
Clifford algebras and universal sets of quantum gates
本文应用Clifford代数构造了$n$ -量子比特系统的计算通用量子门集。它是基于著名的应用李代数连同特别简单的交换律的克利福德代数，其中规定，所有的基本元素要么可换或反可换。
2001-04-04 quant-ph
Clifford Gates in the Holant Framework
我们证明了量子计算文献中的Clifford门和稳定器电路，它们允许有效的经典模拟，在酉条件下等价于仿射签名。后者是Holant框架下的一类已知的易处理函数。
2017-05-02 cs.CC quant-ph
Controlled Gates in the Clifford Hierarchy
该研究针对量子比特Clifford层级中的受控门，推导并证明了其需满足的一组强约束必要条件，将结论扩展至特定酉直和构成的门，还给出了该条件具备充分性的相关证据。
2025-03-22 quant-ph
Non-Clifford Gates are Required for Long-Term Memory
研究证明在去极化噪声下，仅用克利福德门无法长期存储信息，非克利福德门是必需的，这推翻了基于新量子比特供应的容错协议的可能性。
2025-10-09 quant-ph
Pseudo-Random Circuits from Clifford Plus T-Gates
我们探讨了单量子比特的伪随机旋转和多量子比特伪随机电路的实现，这些电路仅由Clifford门和相位旋转为π/4的T门构成。这样的门集合将适合于在容错设置中执行的计算。对于单量子比特旋转，从Clifford加T构造的幺正中发现的参数分布很快接近随机旋转的参数分布，并且需要比任意单量子比特旋转构造少得多的门。对于Clifford + T伪随机电路，我们发现其矩阵元分布的高阶矩的高斯收敛性和随机矩阵元分布的指数收敛性。这些收敛速率对量子比特的数量不敏感。
2013-09-16 quant-ph
A Classification of Transversal Clifford Gates for Qubit Stabilizer Codes
本文根据可横截实现的对角Clifford门集合对量子比特稳定子码进行分类，证明其门群必属于六个矩阵群族之一，并基于Rains的自同态矩阵代数理论给出了完整的对角Clifford对称性分类。
2025-07-14 quant-ph
Discrete Wigner Formalism for Qubits and Non-Contextuality of Clifford Gates on Qubit Stabilizer States
我们表明，量子比特稳定态可以表示为非负的准概率分布与Wigner-Weyl-Moyal形式主义，克利福德门是积极的状态独立的地图。这是通过将Wigner-Weyl-Moyal形式主义推广到三个生成器而不是两个生成器来实现的--产生外部或格拉斯曼代数--这导致量子位的Clifford群门，这些量子位充当与稳定状态自然相关的有限Weyl相空间点上的置换。因此，一个非负的概率分布可以与每个稳定子状态的三个生成器维格纳函数相关联，并且这些分布在克利福德门下确定性地相互演化。这对应于隐变量理论，其对于量子比特克利福德门是非上下文和局部的，而克利福德（泡利）测量具有上下文相关的表示。等价地，我们表明量子比特克利福德门可以表示为传播内的三个生成器Wigner-Weyl-Moyal形式主义，其半经典展开截断阶$\hbar^0$与有限数量的条款。$T$-门将Clifford门集扩展为能够进行通用量子计算的门，需要传播子的半经典展开以订购$\hbar^1$。我们将这种方法与以前依赖于两个生成器Wigner-Weyl-Moyal形式主义的量子比特的准概率描述进行比较，并发现稳定状态的两个生成器Weyl符号导致Clifford门下的演化描述是状态依赖的，与三个生成器形式主义相反。因此，我们将Wigner非负准概率分布从奇数$d$维情形扩展到$d=2$量子比特，它描述了Clifford门的非上下文性和量子比…
2017-06-07 quant-ph
Semi-Cliffordness of the Clifford hierarchy for a single qudit in composite dimensions
École polytechnique fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文证明单 qudit 的 Clifford 层级中每个门为半-Clifford 当且仅当维度无平方因子，并区分了四种门类型，指出在任意维度下第三级门均为广义半-Clifford。
2026-10-06 quant-ph
Experimental implementation of non-Clifford interleaved randomized benchmarking with a controlled-S gate
将量子线路硬件有效地转换为量子器件本机门集对于在有噪声的量子计算机上执行量子算法是必不可少的。典型的量子器件利用每对耦合量子位具有单个双量子位Clifford纠缠门的门集，然而，在一些应用中，对非Clifford双量子位门的访问可以导致更优化的电路分解，并且还允许在优化噪声方面更灵活。我们使用Qiskit Pulse框架在基于云的IBM量子计算上演示了低误差非Clifford控制的$\fracπ{2}$相位（CS）门的校准。为了测量校准的CS门的门误差，我们执行非Clifford hocT-Dihedral交错随机基准测试。我们能够在263 ns的门长度处获得$5.9(7) \times 10^{-3}$的门误差，这接近于相关量子位的相干极限，并且比后端标准校准的CNOT门的误差更低。
2021-03-14 quant-ph
C3, Semi-Clifford and Generalized Semi-Clifford Operations
容错量子计算是量子计算中的一个基本问题，而隐形传态是容错量子计算的主要技术之一。利用量子隐形传态对稳定子码、泡利门和Clifford算子进行容错处理。实际上，这种技术可以推广到一组扩展的门，即所谓的${\mathcal{C}}_k$层次门，由Gottesman和Chuang（Nature，402，390-392）介绍。${\mathcal{C}}_k$门是Clifford算子的推广，但我们对这些集合的知识并不像Clifford门那样丰富。Zeng等人在（Phys.Rev.A77，042313）中提出了${\mathcal{C}}_k$族与半Clifford算子和广义半Clifford算子集之间的关系问题。他们猜想任何${\mathcal{C}}_k$门都是广义半Clifford算子。本文证明了关于$k=3$的这个猜想。使用我们开发的技术，我们获得更多的洞察力如何表征${\mathcal{C}}_3$门。事实上，我们对${\mathcal{C}}_3$了解得越多，我们对${\mathcal{C}}_k$、$k\geq 4$的直觉就越多，然后我们就有了一种方法来攻击更大的$k$的猜想。
2009-10-02 quant-ph
Mutual transformations of arbitrary ternary qubit trees by Clifford gates
证明了节点数相同的三元量子比特树可通过自然定义的 Clifford 门序列相互变换，或转化为对应 Jordan-Wigner 变换的一维链标准表示。
2026-10-23 math-ph math.MP quant-ph
Five-qubit states generated by Clifford gates
本文研究了所有5比特Clifford态，通过穷举法确认共有19388160个态，并基于局域Clifford门等价关系将其划分为93个轨道，直观展示了受控Z门的作用。
2023-08-01 math-ph math.MP quant-ph
Permutation gates in the third level of the Clifford hierarchy
本研究探讨了 Clifford 层级第三层中的置换门，完整刻画了半 Clifford 置换门，并证明任意第三层置换门均为阶梯形式 Toffoli 门的乘积，同时确定存在非半 Clifford 置换门的最小量子比特数为 7。
2024-10-15 quant-ph
Clifford Gates by Code Deformation
拓扑子系统色码为拓扑码的优点增加了一个重要的功能：误差跟踪仅涉及在二维设置中测量2-局部算子。不幸的是，已知的计算方法是非常不实用的。我们给出了一种机制，实现所有的Clifford门代码变形在一个平面设置。特别是，我们使用扭曲编织和表达其影响的某些有色马约拉纳运营商。
2010-10-28 quant-ph
Climbing the Clifford Hierarchy
University of South Florida（南佛罗里达大学）；University of Tennessee at Chattanooga（田纳西大学查塔诺加分校）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文研究了平方根可攀登到第三层级的克莱因门，揭示了克莱因层级的结构与性质。
2026-03-12 quant-ph
Lattice Surgery with a Twist: Simplifying Clifford Gates of Surface Codes
提出了一种基于平面表面码的容错量子计算方案，该方案消除了单量子位Clifford门的时间开销，实现了长距离多目标CNOT门，其时间开销仅与控制目标分离成几何比例.这是通过用经典跟踪协议替换单量子比特Clifford门的硬件操作来完成的。通过采用表面码的扭曲缺陷的修改的晶格手术协议来添加量子位间通信。远程多目标CNOT门实现了幻态蒸馏，使方案具有容错性和通用性。
2018-04-17 cond-mat.mes-hall quant-ph
Normal form for single-qutrit Clifford+T operators and synthesis of single-qutrit gates
我们研究了由Clifford门和$T$门组成的单qutrit门，使用Howard和Vala提出的$T$门的qutrit版本。我们提出了一个标准形式的单qutrit门类似的松本-天野标准形式的量子位。我们证明了规范形式是最佳的关于所使用的$T$门的数量和任何字符串的qutrit Clifford+ $T$运营商可以放入这个规范形式在多项式时间。我们还证明了这种形式是唯一的，并提供了一个算法的精确综合的任何单一quutrit Clifford+ $T$运营商。
2018-08-08 hep-th math.NT quant-ph
The Clifford hierarchy for one qubit or qudit
该研究针对单量子比特或素数维单量子 qudit 的 Clifford 层级，完全解决了层级门构成与高效门隐形传态子集两大问题，给出了层级门的唯一三简单门乘积分解、层级规模公式及可保证高效门隐形传态的表示形式，成果具广泛适用性。
2025-01-14 math-ph math.MP quant-ph
Quantum Accreditation with Non-Clifford Two-qubit Gates
School of Informatics, University of Edinburgh（爱丁堡大学信息学院）；Department of Physics, University of Warwick（华威大学物理系）；National Quantum Computing Centre, Rutherford Appleton Laboratory（拉瑟福德阿普尔顿实验室国家量子计算中心）
本文提出了一种适用于包含非Clifford双量子比特门的量子电路的量子认证协议家族，通过上界限制无误差与有误差计算概率分布的总变差距离，并增强了协议对小扰动的鲁棒性，同时将Pauli旋风推广到非Pauli单量子比特基。
2026-05-19 quant-ph
Scalable randomized benchmarking of non-Clifford gates
随机基准测试是一种广泛使用的实验技术，用于表征量子操作的平均误差。缩放以能够表征$n$ -量子位电路的基准测试过程依赖于用于操纵这些电路的有效过程，并且因此已经限于Clifford群的子组。然而，通用量子计算机需要额外的非Clifford门来近似任意的幺正变换。我们定义了一个可扩展的随机基准测试程序在$n$ -量子比特酉矩阵，对应于一类稳定码的保护非Clifford门。我们提出了有效的方法来表示和组成组元素，采样均匀，并合成相应的$\mathrm{poly}(n)$大小的电路。该程序提供了实验访问两个独立的参数，共同表征一组元素的平均门保真度。
2015-10-09 quant-ph
Benchmarking non-Clifford gates using only Pauli twirling group
Tsinghua University（清华大学）
本文提出了一种基于Pauli转移特征的基准测试方法，用于高效评估非Clifford门的保真度，通过局部Pauli操作估计量子通道的Pauli转移矩阵元素。
2025-10-17 quant-ph
Non-Clifford Fusion: T-Gate Optimization for Quantum Simulation
提出NCF编译框架，通过分组共轭泡利字符串来同时合成量子门，平均减少T门数量57.4%、T门深度49.1%和克利福德门数量49.0%，优化哈密顿模拟。
2025-10-15 quant-ph
Exact synthesis of single-qubit unitaries over Clifford-cyclotomic gate sets
推广了Kliuchnikov，Maslov和Mosca提出的Clifford + T门上单比特幺正的精确合成算法.他们的算法以一个可精确合成的单量子比特幺正（unitary）作为输入--一个可以毫无错误地表示为Clifford门和T门的乘积--并输出一个实现它的门序列。该算法是最优的，因为序列的长度（由T门的数量衡量）是尽可能最小的。本文对每一个正偶数$n$，考虑由Clifford群加上$\fracπ{n}$的z旋转构成的"Clifford分圆"门集.我们提出了一个有效的精确合成算法，输出的分解使用的最小数量的$\fracπ{n}$ z-旋转。对于Clifford + T情形$n=4$，证明了可精确综合的酉群等于环$\mathbb{Z}[e^{i\fracπ{n}},1/2]$上的元酉群。我们证明，这种特性适用于少数其他小值的$n$，但分数的积极甚至整数，它未能举行是100%。
2015-10-06 quant-ph
Optimal number of parametrized rotations and Hadamard gates in parametrized Clifford circuits with non-repeated parameters
本研究提出一种低复杂度高效算法，可最优缩减参数不重复的参数化Clifford电路中的参数化旋转门数量，同时证明既有Hadamard门优化流程对该类电路的最优性，算法在少内部Hadamard门的电路中效率突出。
2024-07-10 quant-ph
Single T gate in a Clifford circuit drives transition to universal entanglement spectrum statistics
Clifford电路不足以用于通用量子计算或使用$t\ge 4$创建$t$ -设计。虽然纠缠熵并不能说明这一不足，但纠缠谱是：对于仅限于Clifford门集的电路，纠缠水平是泊松分布的，而当使用通用门时，纠缠水平遵循Wigner-Dyson统计。在本文中，我们表明，使用有限尺寸标度分析的不同措施的水平间距统计，在热力学极限，插入一个单一的T $(π/8)$门在中间的随机Clifford电路是足以改变纠缠谱从泊松到Wigner-Dyson分布。
2020-11-03 cond-mat.stat-mech quant-ph
The generalised semi-Clifford conjecture is false
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文构造了一个五量子比特门作为反例，证明广义半Clifford猜想错误，该门位于Clifford层级第五层但非广义半Clifford，并揭示层级在逆运算下不封闭。
2026-09-11 math-ph math.MP math.QA
Efficient encoding of the 2D toric code logical state using local Clifford gates
提出一种仅用局域 $CX$ 和 $H$ 门、深度 $2L+1$ 的电路高效编码二维环面码逻辑态的算法。
2025-10-16 quant-ph
Clifford+V synthesis for multi-qubit unitary gates
我们开发了一个通用的框架，通过使用一组有限的基本门，这是量子编译中的关键一步合成目标门。当在SU（$n$）中近似门时，朴素蛮力搜索需要$O(1/\varepsilon^{(n^2 - 1)})$的计算复杂度来实现具有误差$\varepsilon$的近似。相比之下，通过使用我们的方法，复杂度可以降低到$O(-n^2 \log\varepsilon/\varepsilon^{((n^2 - 1)/2)})$。该方法几乎不需要任何假设，可以应用于各种门集，包括Clifford+ $T$和Clifford+ $V$。此外，我们介绍了一个次优的，但运行时间短的算法，用于合成多量子比特控制门。这种方法突出了子群结构在降低合成复杂性方面的作用，并开辟了多量子比特门编译的新研究方向。该框架广泛适用于不同的通用门集，我们的分析表明，它可以作为近期架构中资源高效的量子编译的基础。
2025-10-09 quant-ph
A four-dimensional toric code with non-Clifford transversal gates
一个四维复曲面代码的设计进行了探讨，找到一个能够实现逻辑$\mathsf{CCCZ}$门横向晶格的目标。所建立的晶格是八重镶嵌，这是四维欧几里得空间的规则镶嵌，其基础4-胞是八重或超菱形。这不同于基于超三次曲面细分的常规4D复曲面代码点阵，超三次曲面细分相对于逻辑$X$和$Z$对称，并且仅允许实现横向Clifford门。这项工作进一步发展的拓扑维度和横向门的Clifford层次之间建立的连接，推广了已知的设计实现横向$\mathsf{CZ}$和$\mathsf{CCZ}$在二维和三维，分别。
2020-10-05 quant-ph
Semi-Clifford operations, structure of $\mathcal{C}_k$ hierarchy, and gate complexity for fault-tolerant quantum computation
隐形传态是容错量子计算中的一个关键环节，对其容量的全面理解对于实现最优容错体系结构是非常重要的。众所周知，稳定器码支持一组自然的门，这组门比任何其他门都更容易通过隐形传态实现。这些门属于Gottesman和Chuang（Nature \textbf{402}，390）提出的所谓的$\mathcal{C}_k$层次。此外，一个子集的$\mathcal{C}_k$门，称为半克利福德操作，可以实现一个更简单的架构比传统的隐形传态设置（物理修订\textbf{A62}，052316）。然而，$\mathcal{C}_k$中门的精确设置仍然未知，即使是对于固定数量的量子位$n$，这也使我们无法确切地知道隐形传态的能力。本文从半Clifford运算的角度研究了$\mathcal{C}_k$的结构，该运算通过共轭将$n$ -量子位泡利群的至少一个极大阿贝尔子群发送到另一个极大阿贝尔子群中。我们发现，对于$n=1,2$，所有的$\mathcal{C}_k$门是半Clifford，这也是正确的$\{n=3,k=3\}$。但是，对于$\{n>2,k>3\}$来说，情况不再如此。为了衡量这种传送原语的能力，我们引入了一个称为“传送深度”的量，它表征了平均需要多少传送步骤来实现给定的门。通过将门分解为半Clifford $\mathcal{C}_k$门和半Clifford操作之外的$\mathcal{C}…
2008-01-15 quant-ph
Transversal Clifford gates on folded surface codes
表面码和色码是两种具有互补性质的二维拓扑量子纠错形式。表面码具有较低深度的错误检测电路和开发良好的解码器来解释和纠正错误，而颜色码具有横向Clifford门，并且在实现给定码距离所需的物理量子位数量方面具有更好的编码效率。在颜色码和折叠表面码之间存在形式等价性，但它并不保证这些有利性质中的任何一个的可传递性。然而，等价性确实意味着折叠表面码上逻辑Clifford门的恒定深度电路实现的存在。我们通过构造两类具有横向Clifford门的折叠表面码来实现和改进这一结果。这种构造一般适用于任何维数的量子。最后讨论了这些编码在基于量子比特融合的通用量子计算中的具体应用。
2016-10-15 quant-ph
Quantum gates and quantum algorithms with Clifford algebra technique
我们使用我们的Clifford代数技术，即幂零和投影，这是二项式的Clifford代数对象$γ^a$与性质$\{γ^a,γ^b\}_+ = 2 η^{ab}$，用于表示量子门和量子算法中所需要的量子计算机在一个优雅的方式。我们确定了$n$ -量子比特的自旋表示的SO（1，3）的$n$旋量系统。表示用投影器和幂零体的乘积来表示。提出了一种从$2^n$量子比特态的一般叠加态中提取特定信息的算法。它再现了一个特定的选择的初始状态的格罗弗的算法。
2008-01-21 quant-ph
Non-Clifford gate on optical qubits by nonlinear feedforward
在连续变量光学系统中，Gottesman-Kitaev-Preskill（GKP）量子比特是容错量子计算的一个很有前途的候选者。为了在GKP量子比特上实现非Clifford操作，需要非高斯操作。在这种背景下，通过将非线性前馈与辅助状态相结合来实现三次相位门已经得到了广泛的研究。然而，最近有人指出，立方相位门并不是最适合于GKP量子比特上的非Clifford操作。在这项工作中，我们表明，我们可以实现线性光学实现非Clifford操作的GKP量子比特高保真度，通过应用非线性前馈最初开发的立方相位门和使用GKP编码的辅助状态。我们的工作表明，非线性前馈技术的容错连续变量量子计算的光学实现的重要性的通用性。
2021-08-27 quant-ph
Experimental Estimation of Average Fidelity of a Clifford Gate on a 7-qubit Quantum Processor
实验中的量子门固有地容易出现错误，这些错误需要在它们可以被校正之前被表征。通过量子过程层析成像进行全面表征是不切实际的，而且往往是不必要的。对于大多数实际目的，估计更一般的量（如平均保真度）就足够了。在这里，我们使用酉2-设计和旋转协议，有效地估计Clifford门的平均保真度，以证明一个7量子比特纠缠门在核磁共振量子处理器。与全过程层析成像所需的多个$10^8$实验相比，我们进行了1656次实验，以满足99%的统计置信水平。实验中Clifford门的平均保真度为55.1%，如果去除退相干引起的失真，则可提高到87.5%。整个证明Clifford门的协议是有效的和可扩展的，并且可以很容易地扩展到任何一般的量子信息处理器，只需很小的修改。
2014-11-28 quant-ph
Clifford synthesis via generalized S and CZ gates
Microsoft Quantum（微软量子）；NVIDIA（英伟达）
本文展示通过最多2n个多量子比特联合测量实现任意n量子比特克莱因群单元ary，且测量可分成两个互不干扰的集合，为实现克莱因群单元ary提供了灵活的空间时间权衡。
2026-03-25 quant-ph
Universal Fault Tolerance with Non-Transversal Clifford Gates
我们提出一个通用框架，通过标志小工具实现任意克利福德电路的容错，允许横向T门与非横向克利福德门结合，以O(d^2 log(nd^2 log n))辅助比特实现距离d容错，并在[[15,1,3]]码上演示了非横向Hadamard门。
2025-10-09 quant-ph
Characterization of permutation gates in the third level of the Clifford hierarchy
本研究表征了Clifford层级第三层的置换门，证明其可表示为阶梯形式Toffoli门的乘积（左右乘Clifford置换），给出了充要条件，并构造出逆元不在对应高层的非半Clifford置换门族。
2025-10-06 quant-ph
Theory of quantum error mitigation for non-Clifford gates
IBM Research（IBM研究院）
本文提出针对非Clifford门的量子误差缓解方法，通过随机Pauli门和测量处理实现通道转换，以应对非Clifford门的复杂噪声特性。
2026-02-06 quant-ph
Quantum Merlin-Arthur with Clifford Arthur
我们表明，类QMA不改变，即使我们限制阿瑟的计算能力，只有Clifford门操作（加上经典的XOR门）。这个想法是利用这样一个事实，即某些单量子比特状态的制备，所谓的魔术状态，加上任何克利福德门操作是通用的量子计算。如果梅林是诚实的，他会把证人和魔法状态发送给亚瑟。如果梅林有恶意，他可能会发送其他状态给亚瑟，但亚瑟可以自己验证魔法状态的正确性。我们还将结果推广到QIP[3]：我们证明了即使验证者的计算能力仅限于Clifford门运算（加上经典的XOR门），类QIP[3]也不会改变。
2015-06-22 quant-ph
Hybrid Lattice Surgery: Non-Clifford Gates via Non-Abelian Surface Codes
University of Oxford（牛津大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）
本文提出通过混合晶格手术在标准表面码中实现非Clifford门和魔法态的方法，并扩展至更高层级的Clifford层级及超限门。
2026-09-17 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
The Classification of Clifford Gates over Qubits
我们研究以下问题：给定一个Clifford门的集合，描述由这些门组成的电路所生成的酉集。具体来说，我们允许合成和张量积的标准电路操作，以及辅助工作空间量子位，只要它们开始和结束于与输入不相关的状态，这排除了使Clifford电路通用的常见“魔态注入”技术。我们表明，有确切的57类克利福德酉和提出一个完整的分类特征的门集，产生它们。这是Aaronson等人提出的可逆经典门分类的量子扩展的第一次尝试，这是一项雄心勃勃的计划的另一部分，该计划旨在对所有量子门进行分类。分类使用，在其中心，重新解释的Tableau表示的克利福德门电路分解，从中可以很容易地提取基本发电机。57个不同的类是以这种方式产生的，其中30个来自克利福德群的单量子比特子群。在高层次上，其余的类根据它们所保留的基来排列。例如，CNOT门保留X和Z基，因为它将X基元素映射到X基元素，将Z基元素映射到Z基元素。其余的类的特点是更微妙的画面不变量;例如，T_4和相位门产生一个适当的子类Z-保持门。
2022-06-07 cs.CC quant-ph
Clifford Circuit Optimization with Templates and Symbolic Pauli Gates
Clifford群是由Hadamard、CNOT和相位门生成的酉群的有限子群。这个小组在量子纠错、随机基准测试协议和纠缠研究中发挥着重要作用。在这里，我们考虑的问题，找到一个短的量子线路实现一个给定的克利福德群元素。我们的方法旨在最大限度地减少纠缠门数，假设所有对所有量子位连接。首先，我们考虑基于模板匹配的电路优化，并设计Clifford特定的模板，这些模板利用Pauli和SWAP门的能力。其次，我们介绍了一种符号窥视孔优化方法。它的工作原理是将整个电路投影到量子比特的一个小子集上，并通过动态编程优化重新编译投影的子电路。将所选量子位子集与剩余量子位耦合的CNOT门使用符号泡利门表示。与Aaronson-Gottesman规范形式相比，这些方法的软件实现发现电路距离6个量子位的最佳值仅0.2%，并且将电路中的两个量子位门数平均减少了64.7%。
2021-11-11 cs.ET quant-ph
Constant-cost implementations of Clifford operations and multiply controlled gates using global interactions
我们考虑由单比特操作和伊辛型哈密顿产生的全局纠缠门组成的量子线路。它表明，这样的电路可以实现一个大类的酉算子通常用于量子算法在一个非常低的成本-使用一个恒定的或有效的恒定数量的全球纠缠门。具体而言，我们报告的恒定成本的克利福德操作的实现和不带辅助，恒定成本的实施的多控制门线性许多辅助，和$O(\log^*(n))$成本的实施的$n$控制的单目标门使用cummically许多辅助。这表明了全局纠缠门电路的显著渐近优势。
2022-12-01 cs.CC cs.ET quant-ph
Transversal Injection: A method for direct encoding of ancilla states for non-Clifford gates using stabiliser codes
容错、纠错的量子计算通常被认为是实现大规模量子算法的关键，这些算法可能会带来极具影响力的科学或商业结果。在容错纠错框架中实现一组通用的量子门操作会受到“不愉快守恒”的影响。一般来说，无论采用什么纠错技术，通用门集合中总是有一个元素携带显著的资源开销-无论是物理量子位，计算时间，还是两者。具体来说，这是由于非Clifford门的应用。一个常见的方法来实现这些门的稳定器代码，如表面码是一个组合的三个协议：状态注入，蒸馏和门隐形传态。这些协议与逻辑运算（如CNOT门）相比会增加资源开销，并为任何纠错量子算法提供量子位资源。在本文中，我们介绍了一个非常简单的协议，以潜在地减少这种开销的非克利福德门：transmittance注入。横向注入在标准编码之前修改稳定器代码中所有数据量子位的初始物理状态，并导致直接准备一大类单量子位状态，包括非克利福德逻辑门的资源状态。初步结果表明，在更大的距离高质量的结晶，并激励对这项技术的进一步研究。
2022-11-22 quant-ph
Characterising semi-Clifford gates using algebraic sets
本文研究容错量子计算中的 Clifford 层级门，证明任意素数维度下最多两个 qudit 的第三层门均为半 Clifford 门，并利用代数几何构造概形，证明其模 $d$ 约化后的代数集有理点相同，推广了早期结果。
2024-05-28 math-ph math.AG math.MP
Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates
Peres/Mermin关于量子力学中无隐变量的论证被用来显示作用于两个量子比特的一对（R，S）纠缠Clifford量子门。由此，Coxeter/Weyl群W（D5）和W（F4）的自然酉表示出现，这也反映在n量子比特克利福德群Cn分裂成偶极子C $\pm$ n中。三量子比特实Clifford群C+ 3和Toffoli门的联合确保了Weyl/Coxeter群W（E8）及其相关群的正交表示。其他涉及的概念是复杂的反射群，BN对，酉群设计和纠缠态的GHZ家庭。
2009-09-29 math-ph math.GR math.MP
Fold-Transversal Clifford Gates for Quantum Codes
该研究将折叠概念从表面码推广到CSS码，提出仅用横向门和量子比特置换实现LDPC量子码逻辑操作的通用方法，并在Bring's code上验证，限制其4比特逻辑子空间可得到完整Clifford群。
2024-06-10 quant-ph
Efficient quantum gate teleportation in higher dimensions
Clifford层次结构是实现容错量子计算的关键量子门集合的嵌套序列。Clifford层次的对角门和“近对角”半Clifford门是特别重要的：他们承认有效的门隐形传态协议，实现这些门与更少的辅助量子资源，如魔术状态。尽管这些门的实际重要性，许多关于它们的结构的问题仍然是开放的;这在更高维度的量子点设置中尤其如此。我们的贡献是利用离散的Stone-von Neumann定理和量子稳定器力学的辛形式主义，以统一的方式将Zeng-Cheng-Chuang（2008）和Beigi-Shor（2010）的结果扩展到更高的维度。我们进一步给出了一个递归枚举Clifford层次所有门的简单算法，一个识别和对角化半Clifford门的简单算法，以及Cui-Gottesman-Krishna（2016）对单量子点情况下对角Clifford层次门分类的简明证明。我们推广的半克利福德门的有效的门隐形传态协议的qudit设置，并证明，每三个级别的门的一个qudit（任何素数维）和两个qutrits可以有效地实现。通过上述算法收集的数值证据支持更高级别的门可以有效地实现的猜想。
2020-10-30 math-ph math.MP math.RT
