Separable integer partition classes and partitions with congruence conditions
本文利用可分离整数分拆类研究模k同余分拆，引入(k,r)-过划分并建立其与部分第k次出现可加划线分拆的等数关系，进而推广可分离分拆类并给出满足同余条件的(k,r)-模过划分的生成函数。
2024-06-28 math.CO
Combinatorial proofs of some identities on overpartitions with repeated smallest non-overlined part
Tezpur University（特普尔大学）；Chongqing University（重庆大学）
本文通过组合方法证明了关于带有重复最小非重线部分的划分恒等式。
2026-02-01 math.CO
The Rogers-Ramanujan-Gordon Theorem for Overpartitions
设$B_{k,i}(n)$为$n$在某种差分条件下的划分数，设$A_{k,i}(n)$为$n$在某种同余条件下的划分数。Rogers-Ramanujan-Gordon定理指出，$B_{k,i}(n)=A_{k,i}(n)$。Lovejoy对$i=1$和$i=k$的情形得到了Rogers-Ramanujan-Gordon定理的一个过分割类比。在一般情况下，我们发现了Rogers-Ramanujan-Gordon定理的一个过度分割类似物。设$D_{k,i}(n)$为满足一定差分条件的$n$的超划分数，$C_{k,i}(n)$为满足一定同余条件的$n$的非上划线部分的超划分数.我们表明，$C_{k,i}(n)=D_{k,i}(n)$。利用Andrews引入的一个函数，我们得到了一个递推关系，它意味着$D_{k,i}(n)$的母函数等于$C_{k,i}(n)$的母函数.我们还发现了一个生成函数公式的$D_{k,i}(n)$通过使用戈登标记表示的超划分，它可以被认为是一个单位的安德鲁斯为普通分区的超划分模拟。
2011-08-30 math.CO math.NT
Overpartitions and Bressoud's conjecture, I
在1980年，Bressoud为$j=0$或$1$建立了一个组合恒等式$A_j=B_j$，其中函数$A_j$计算具有某些同余条件的划分的数目，函数$B_j$计算具有某些差分条件的划分的数目。Bressoud猜想是划分理论中一系列著名定理的特例。他的猜想的特殊情况已随后证明了Bressoud，安德鲁斯，金和Yee。最近，Kim解决了Bressoud对$j=1$的猜想。本文介绍了一种新的配分函数$\bar{B}_j$，它可以看作是Bressoud提出的配分函数$B_j$的过配分模拟.通过Gordon标记，我们建立了双射，得到了$\bar{B}_1$和$B_0$之间的关系以及$\bar{B}_0$和$B_1$之间的关系.在此基础上，我们进一步给出了许多经典的划分定理的过划分类似定理，包括Euler划分定理，Rogers-Ramanujan-Gordon恒等式，Bressoud-Rogers-Ramanujan恒等式，Andrews-Göllnitz-Gordon恒等式和Bressoud-Göllnitz-Gordon恒等式.
2022-05-08 math.CO
Strict Log-Subadditivity for Overpartition Rank
Bessenrodt和Ono最初发现了配分函数$p(n)$的严格对数次可加性，即$a,b>1$和$a+b>9$的$p(a+b)< p(a)p(b)$。许多其他重要的统计分区被证明享有类似的性质。Lovejoy从$q$系列的角度引入了过度分区等级，作为Dyson分区等级的模拟。令$\overline{N}(a,c,n)$表示秩与$a$模$c$全等的过划分的数目。Ciolan计算了$\overline{N}(a,c,n)$的渐近公式，并证明了对于$c\geq7$和$n$，$\overline{N}(a, c, n) > \overline{N}(b, c, n)$足够大。本文利用Ciolan的渐近性，对每个$c\geq3$，导出了$\overline{N}(a,c,n)$的上界和下界.因此，我们建立了严格的对数次加性的$\overline{N}(a,c,n)$类似的配分函数$p(n)$。
2022-06-26 math.CO
Extending Congruences for the number of smallest parts in overpartitions with smallest part even
本文扩展了超划分中最小部分为偶数的最小部分数量的同余式，证明了新的个体同余式，并给出了无限族拉马努金型同余式。
2025-10-23 math.CO math.NT
Arithmetic Properties of Overpartition Pairs
Bringmann和Lovejoy引入了一个rank为overpartition对，并研究了它的作用，在合同性质的$\bar{pp}(n)$，数overpartition对n。特别是，他们应用克莱因形式的理论来证明存在许多数量$\bar{pp}(n)$的拉马努金型同余。本文给出了$\bar{pp}(n)$的两个Ramanujan型恒等式和一些显式同余式。此外，我们发现三个等级的组合解释的事实，即$\bar{pp}(n)$是整除的三个任何n。我们还构造了$\bar{pp}(n)$模3，5和9的无穷族同余。
2010-09-25 math.CO math.NT
Asymptotic formula for the $M_2$-ranks of overpartitions
令$\overline{N}_2(a,c,n)$是其$M_2$秩与$a$模$c$全等的$n$的过划分的数目。本文利用Ingham Tauberian定理得到了$\overline{N}_2(a,c,n)$的渐近公式。作为应用，我们得到了关于$\overline{N}_2(a,c,n)$的不等式，包括它的严格代数和对数代数.
2022-06-05 math.CO math.NT
Anti-lecture Hall Compositions and Overpartitions
我们表明，反讲堂组成的第一个条目不超过k-2的n等于overpartition的数量n与非overlined部分不全等的$0,\pm 1$模k。这个恒等式可以被认为是Corteel和Savage的反讲堂定理的改进版本。为了证明这一结果，我们找到了两个Rogers-Ramanujan型恒等式，它们与Andrews的Rogers-Ramanjan型恒等式类似。当k是奇数时，我们给出了另一种证明，通过使用广义罗杰斯-拉马努金身份由于安德鲁斯，一个双射的Corteel和萨维奇和一个改进版本的双射也由于Corteel和萨维奇。
2010-06-21 math.CO math.NT
Ramanujan congruences for overpartitions with restricted odd differences
我们调查Ramanujan同余的功能，计数的超分区n限制奇差。特别是，我们证明了只有一个这样的同余存在。我们的方法涉及到使用理论的模形式证明了一个更一般的定理，该定理的界限的数量可能的Ramanujan同余在某些η-代数。这概括了Jonah Sinick所做的工作。我们还提供了这个函数的两个模5同余。
2022-04-05 math.CO math.NT
An Overpartition Analogue of Bressoud's Theorem of Rogers-Ramanujan Type
对于$k\geq i\geq 1$，令$B_{k,i}(n)$表示$n$的分区数，使得部分1最多出现$i-1$次，两个连续整数l和$l+1$最多出现$k-1$次，并且如果l和$l+1$恰好出现$k-1$次，则部分l和$l+1$的总和与$i-1$模2全等。令$A_{k,i}(n)$表示具有与$i$、$2k-i$和$2k$模不全等的部分的分区的数目。Bressoud定理指出，$A_{k,i}(n)=B_{k,i}(n)$。Corteel、Lovejoy和Mallet发现了一个类似于Bressoud定理的$i=1$的过分区，也就是说，对于不包含非上划线部分1的分区。在一般情况下，我们得到了Bressoud定理的一个过分割类似物。对于$k\geq i\geq 1$，令$D_{k,i}(n)$表示$n$的上分区数，使得对于任何整数$l$，非上划线部分1最多出现$i-1$次，$l$和非上划线的$l+1$出现的次数最多为$k-1$次数，并且如果部分$l$和非上划线的部分$l+1$恰好出现$k-1$次数，则部分$l$和非上划线的部分$l+1$的总和等于小于$l+1$加上$i-1$模2的上划线部分。令$C_{k,i}(n)$表示具有不全等于$\pm i$和$2k-1$模$2k-1$的非上划线部分的过划分的数目。我们表明，$C_{k,i}(n)=D_{k,i}(n)$。这个关系也可以被认为是Roger…
2012-03-20 math.CO math.NT
An overpartition analogue of $q$-binomial coefficients, II: combinatorial proofs and $(q,t)$-log concavity
在以前的论文中，我们研究了高斯多项式的过分割模拟作为过分割拟合在$m \times n$矩形内的生成函数。在这里，我们增加了一个参数计数的数量overlined部分，获得一个两个参数的推广$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的高斯多项式，这也是一个$(q,t)$ -模拟德兰诺伊数。首先，我们得到有限版本的经典$q$ -系列的身份，如$q$ -二项式定理和勒贝格身份，以及两个变量的推广的经典身份涉及高斯多项式。然后，通过构造对合，得到了一个涉及有限θ函数的恒等式，并证明了$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的$(q,t)$ -log恒等式.我们特别强调的作用，组合证明和后果，我们的结果Delannoy数。最后，我们对$\overline{m+n \brack n}_{q,t}$的单峰性进行了一些猜测。
2017-07-18 math.CO math.NT
Distribution of Andrews' Singular Overpartitions $\overline{C}_{p,1}(n)$
安德鲁斯介绍了分区功能$\overline{C}_{k, i}(n)$，称为奇异overpartition，它计数的数量overpartition的$n$，其中没有部分是整除的$k$和只有部分$\equiv \pm i\pmod{k}$可能是overlined。研究了$\overline{C}_{k,i}(n),$的奇偶性和分布结果，其中$k>3$和$1\leq i \leq \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor$。更具体地说，我们证明了对于依赖于$k$和$i$的每个整数$\ell\geq 2$，间隔$\left[\ell, \frac{\ell(3\ell+1)}{2}\right]$ $\Big($分别为$\left[2\ell-1, \frac{\ell(3\ell-1)}{2}\right] \Big)$包含整数$n$，使得$\overline{C}_{k,i}(n)$为偶数（分别为\奇数）。最后研究了$\overline{C}_{p,1}(n)$的分布，其中$p\geq 5$是素数.
2023-03-09 math.CO math.NT
The Unimodality of the Crank on Overpartitions
令$N(m,n)$表示具有秩$m$的$n$的分区的数量，并且令$M(m,n)$表示具有曲柄$m$的$n$的分区的数量。Chan和Mao证明了对任意非负整数$m$和$n$，$N(m,n)\geq N(m+2,n)$和对任意非负整数$m$和$n$使得$n\geq12$，$n\neq m+2$，$N(m,n)\geq N(m,n-1)$ .最近，Ji和Zang表明，对于$n\geq 44$和$1\leq m\leq n-1$，为$M(m-1,n)\geq M(m,n)$，对于$n\geq 14$和$0\leq m\leq n-2$，为$M(m,n)\geq M(m,n-1)$。本文将Ji和Zang的结果推广到了超分拆上。请注意，Bringmann，Lovejoy和Osburn在分区上引入了两种类型的曲柄，即第一剩余曲柄和第二剩余曲柄。因此，对于第一个残基曲柄$\overline{M}(m,n)$，我们表明，$\overline{M}(m-1,n)\geq \overline{M}(m,n)$为$m\geq 1$和$n\geq 3$和$\overline{M}(m,n)\geq \overline{M}(m,n+1)$为$m\geq 0$和$n\geq 1$。对于第二个残基曲柄$\overline{M2}(m,n)$，我们表明，$\overline{M2}(m-1,n)\geq \over…
2018-11-25 math.CO
Moments of the Crank Statistic for $t$-Core Partitions and Overpartitions
National Institute of Technology, Raipur（Raipur国家技术学院）
本文利用统一矩-迹框架，对$t$-核分拆和超分拆的曲柄统计量建立迹与逆迹公式，并借助完全Bell多项式导出分拆数的显式表达式。
2026-09-09 math.CO math.NT
Rank and crank moments for overpartitions
我们研究了两种类型的曲柄力矩和两种类型的秩矩的超分区。我们表明，曲柄力矩及其衍生物，以及某些线性组合的秩矩及其衍生物，可以写在quasimodular形式。然后，我们使用这一事实来证明确切的关系，涉及的时刻，以及同余性质模3，5，和7的一些组合功能，可以表示在第二时刻。最后，我们建立了一个模3的同余关系，涉及一个这样的组合函数和Hurwitz类数H（n）。
2008-07-30 math.CO math.NT
A conjecture of Baruah and Begum on the smallest parts function of restricted overpartitions
在2017年，Andrews、Diary、Schultz和Yee引入了函数$\overline{\textrm{spt}}_ω(n)$，它表示$n$的超分区中最小部分的数量，其中最小部分总是上划线，并且所有奇数部分都小于最小部分的两倍。最近，Baruah和Begum建立了$\overline{\textrm{spt}}_ω(n)$的$5$的几个内同余和模小幂同余。此外，还证明了$5$的模任意幂的一类内同余和$5$的模任意偶幂的两类同余.在本文中，我们确认了三个家庭的同余由于Baruah和Begum。
2022-01-05 math.CO math.NT
Block-Separated Overpartitions: Fibonacci Structure and Euler Factorization
Mines Saint-Étienne（圣艾蒂安国立高等矿业学院）
本文研究了块分离的超划分，揭示其与斐波那契数列的关联，并通过生成函数和转移矩阵方法推导了相关递推关系和渐进行为。
2026-03-06 cs.DM math.CO math.NT
$M_2$-Ranks of overpartitions modulo $6$ and $10$
本文得到了模$6$的超划分的$M_2$ -秩的不等式.令$\overline{N}_2(s,m,n)$为$M_2$ -秩与$s$模$m$全等的$n$的过分区数。对于$M_2$ -秩模$3$，Lovejoy和Osburn导出了$\overline{N}_2(s,3,n)-\overline{N}_2(t,3,n)$的生成函数，它包含了不等式$\overline{N}_2(0,3,n)\geq\overline{N}_2(1,3,n)$ .对于$\ell=6, 10$，我们考虑$M_2$的生成函数$\overline{R}_{s,t}(d,\ell)$-秩差$\overline{N}_2(s,\ell,\ell n/2+d) + \overline{N}_2(s+1,\ell,\ell n/2+d) - \overline{N}_2(t,\ell,\ell n/2+d) - \overline{N}_2(t+1,\ell,\ell n/2+d)$。利用Lovejoy和Osburn的方法，我们导出了$\overline{R}_{0,2}(d,6)$的一个公式.这导致了$n\geq0$、$\overline{N}_2(0,6,3n)\geq\overline{N}_2(2,6,3n)$和$\overline{N}_2(0,6,3n+1) \geq \overline{N}_2(2,6,3n…
2018-05-10 math.CO
Arithmetic properties for generalized cubic partitions and overpartitions modulo a prime
本文引入广义三次分拆概念，用初等（函数方程）和模形式两种方法证明了若干类似拉马努金型的新同余式，并得到广义超三次分拆的相关类似结果，丰富了分拆数论的算术性质研究。
2024-06-15 math.CO math.NT
Restricted k-color partitions, II
我们考虑$(k,j)$ -着色分区，其中存在$k$颜色，但最多可以根据零件尺寸选择$j$颜色的分区。特别是这些一般化的超划分。推进以前的工作，我们发现新的同余，包括在以前未探索的情况下，$k$和$j$是不是互质的，以及一些noncongruences。作为一个有用的一面，我们显然是新的生成函数的分区数在$N \times M$框与给定数量的部分大小，并扩展到多个颜色的猜想杜斯和金单峰overpartitions。
2020-01-23 math.CO
Proof of a Conjecture of Hirschhorn and Sellers on Overpartitions
令$\bar{p}(n)$表示$n$的过分区数。由Hirschhorn和Sellers证实，$\bar{p}(40n+35)\equiv 0\ ({\rm mod\} 40)$为$n\geq 0$。利用Ramanujan，Hirschhorn和Sellers关于θ函数的导数的2-剖分公式，得到了$\bar{p}(40n+35)$模5的生成函数.利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p, k)$参数化，给出了同余式$\bar{p}(40n+35)\equiv 0\ ({\rm mod\} 5)$的一个证明.将这个同余式与Hirschhorn和Sellers，以及Fortin，Jacob和Mathieu得到的同余式$\bar{p}(4n+3)\equiv 0\ ({\rm mod\} 8)$相结合，给出了Hirschhorn和Sellers猜想的一个证明.
2013-07-16 math.CO math.NT
Some Comments on Regular Overpartitions modulo $2^k$
University of Tabuk（塔布克大学）；Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）
研究\(\overline{R}_{\ell,\mu}(n)\)及单模类似物\(\overline{R}_{\ell}(n)\)，记录根据基础普通分割不同部分大小数量确定这两个函数模\(2\)各幂次的组合机制，还根据完全平方数推导其模\(4\)的简洁特征。
2026-07-09 math.CO math.NT
Combinatorial identities associated with a bivariate generating function for overpartition pairs
我们得到了一个三参数$q$ -级数恒等式，推广了Chan和Mao的两个结果.通过专门化我们的身份，我们得出新的结果，组合的意义与$N(r, s, m, n)$，功能计数某些overpartition对最近推出的布林曼，洛夫乔伊和奥斯本。例如，我们的一个恒等式给出了二重级数在第二类切比雪夫多项式中的封闭形式的估值，从而导致了欧拉五边形数定理的模拟。我们的另一个结果表达了一个涉及$N(r, s, m, n)$的多重和，仅用分拆函数$p(n)$表示。利用Shimura的一个结果，我们还将某个二重级数与一个权7/2 θ级数联系起来。
2022-01-18 math.CO math.NT
Enumeration modulo 4 of overpartitions wherein only even parts can be overlined
本文为Munagi和Sellers关于仅偶数部分可加上划线的overpartition数量 $d_2(n)$ 的奇偶性特征提供了组合证明，并将其扩展至模4特征，结合经典对合与全新方法给出了生成函数和组合双重证明。
2024-11-05 math.CO math.NT
Residue class biases in unrestricted partitions, partitions into distinct parts, and overpartitions
本文证明了无限制分拆、相异部分分拆与过度分拆中模固定整数下不同剩余类部分出现次数的特定偏差，基于剩余加权分拆函数不等式推导，并建立了具有对称剩余类偏差的分拆数量的渐近公式。
2025-01-31 math.CA math.CO math.NT
Arithmetic Properties of Overpartition Triples
令${\overline{p}_{3}}(n)$为$n$的过划分三元组的数目。通过初等级数运算，我们建立了${\overline{p}}_{3}(n)$模2的小幂的一些同余，如\[{\overline{p}_{3}}(16n+14)\equiv 0 \pmod{32}, \quad {\overline{p}_{3}}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}.\]。我们还发现了${\overline{p}_{3}}(n)$模7，9和11的许多算术性质，涉及下列Ramanujan型同余的无限族：对任意整数$α\ge 1$和$n \ge 0$，我们有${\overline{p}_{3}}\big({{3}^{2α+1}}(3n+2)\big)\equiv 0$（mod $9\cdot 2^4$），$\overline{p}_{3}(4^{α-1}(56n+49)) \equiv 0$（mod 7）和\[{\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+3)\big)\equiv {\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+5)\big)\equiv {\overline{p}_{3}}\big({{7}^{2α+1}}(7n+6)\big)\equiv 0 \pmod{7}.\]
2015-05-12 math.CO math.NT
Elementary proofs of congruences modulo 5 for overpartitions with restricted odd differences
University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
本文针对Hanson和Smith在2023年利用模形式证明的关于重分拆函数$\overline{t}(n)$的两个模5同余式，给出了一个完全初等的证明方法。
2026-09-16 math.CO math.NT
Elementary Proofs of Recent Congruences for Overpartitions Wherein Non-Overlined Parts are Not Divisible by 6
本文用初等方法证实了Nath等人关于超分拆数$\overline{R_6^*}(n)$模128的无限同余式族猜想，并给出了两个先前用模形式证明的同余式的初等证明。
2025-08-05 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 16
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。最近，Fortin-Jacob-Mathieu和Hirschhorn-Sellers分别得到了$\overline{p}(n)$的生成函数的2-、3-和4-剖分，并导出了$\overline{p}(n)$模$4$、$8$和$64$的一系列同余式，包括$\overline{p}(5n+2)\equiv 0 \pmod{4}$、$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$和$\overline{p}(8n+7)\equiv 0 \pmod{64}$ . Yao和Xia利用剖分技术得到了$\overline{p}(n)$模$8, 16$和$32$的同余式，如$\overline{p}(48n+26) \equiv 0 \pmod{8}$，$\overline{p}(24n+17)\equiv 0 \pmod{16}$和$\overline{p}(72n+69)\equiv 0 \pmod{32}$ .本文给出了$\overline{p}(n)$模16的生成函数的16-剖分，并证明了$n\ge 0$的生成函数为$\overline{p}(16n+14)\equiv0\pmod{16}$.利用Mahlburg对$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$ -adic展开式，得到了$\overlin…
2014-08-07 math.CO math.NT
An Elementary Proof of a Conjecture of Saikia on Congruences for $t$--Colored Overpartitions
本文用初等生成函数操作、剖分和归纳法，证明了 Saikia 关于 $t$ 色超分拆函数 $\overline{p}_{-t}(n)$ 模 2 幂同余的猜想对所有奇数 $t$ 成立。
2023-07-03 math.CO math.NT
Ramanujan-type Congruences for Overpartitions Modulo 5
令$\overline{p}(n)$表示$n$的过分区数。Hirschhorn和Sellers表明，$\overline{p}(4n+3)\equiv 0 \pmod{8}$适用于$n\geq 0$。他们还证实了$n\geq 0$的$\overline{p}(40n+35)\equiv 0 \pmod{40}$。Chen和Xia利用Alaca，Alaca和Williams给出的θ函数的$(p,k)$ -参数化证明了这个猜想.本文利用Treneer发现的$\overline{p}(5n)$模$5$的生成函数之间的关系和Mahlburg给出的$\overline{p}(n)$的生成函数的$2$-adic展开式，证明了$n \geq 0$的$\overline{p}(5n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4\cdot 5n) \pmod{5}$和$n \geq 0$的$\overline{p}(n)\equiv (-1)^{n}\overline{p}(4n)\pmod{8}$.因此，我们推断，PDMATHAMBMZ的$\overline{p}(4^k(40n+35))\equiv 0 \pmod{40}$。利用$ϕ(q)^3$上的Hecke算子和$ϕ(q)^3$是Hecke本征形的事实，我们得到了一个无穷族的正整数$\overline{p}(4^k \cdot5…
2014-06-15 math.CO math.NT
On extremal results of multiplicative Zagreb indices of trees with given distance $k$-domination number
图$G$的第一乘性Zagreb指标$Π_1$是每个顶点度的平方的乘积，而第二乘性Zagreb指标$Π_2$是邻顶点对的度的乘积。本文给出了具有给定距离$k$ -控制数的树的$Π_1$的精确下界和$Π_2$的精确上界，并刻画了达到该界的树.
2019-06-28 math.CO
On extremal multiplicative Zagreb indices of trees with given number of vertices of maximum degree
图$G$的第一乘性Zagreb指标是每个顶点度的平方的乘积，而第二乘性Zagreb指标是邻顶点对的度的乘积。在本文中，我们探讨了树的最大程度的顶点数给定。给出了任意最大度数的树的最大值和最小值$\prod_1(G) $和$\prod_2(G) $。此外，还刻画了相应的极图。
2017-04-20 math.CO
On the maximum and minimum multiplicative Zagreb indices of graphs with given number of cut edges
对于一个分子图，第一个乘法Zagreb指数$Π_1$等于顶点度的平方的乘积，而第二个乘法Zagreb指数$Π_2$等于所有边上每个边的端顶点度的乘积.用$\mathbb{G}_{n,k}$表示具有$n$顶点和$k$割边的图的集合。在本文中，我们探讨图的一些切割边缘。此外，给出了具有给定割边数的图的最大和最小乘性Zagreb指标。此外，我们还刻画了在$\mathbb{G}_{n,k}$中具有最大和最小$Π_1(G)$和$Π_2(G)$的图，推广和丰富了一些已知的结论.
2017-05-06 math.CO
On extremal multiplicative Zagreb indices of trees with given domination number
对于图$G$，第一乘法Zagreb指标$\prod_1$等于顶点度数的平方的乘积，并且第二乘法Zagreb指标$\prod_2$等于邻顶点对的度数的乘积的乘积。（乘法）萨格勒布指数一直是计算化学中大量研究的焦点，可以追溯到1972年的古特曼和特里纳伊斯蒂奇。本文研究了任意控制数下的乘性Zagreb指数。给出了$\prod_1(G)$和$\prod_2(G)$的精确上、下界.此外，还对相应的极图进行了刻画.
2016-11-18 math.CO
Solymosi's multiplicative energy bound for complex numbers
我们将最近Solymosi的和-积估计推广到复数情形。
2014-07-02 math.CO
Multiplicative and mining property for stability numbers of graphs
本文针对图的乘法与挖掘不变量$f$，研究$f$-顶点与$f$-边稳定数，给出其通用界及与图分量的关系，为图稳定数分析提供一般性理论结果。
2025-05-17 math.CO
A super-multiplicative inequality for the number of finite unlabeled arbitrary and $T_0$ topologies
Imam Mohammad Ibn Saud Islamic University (IMSIU)（伊玛目穆罕默德·本·沙特伊斯兰大学）；Jouf University（朱夫大学）
本文证明了有限无标拓扑数量的超乘不等式，并扩展到T₀拓扑的情况。
2025-11-21 math.CO
The multiplicative Zagreb indices of graphs with given connectivity or number of pendant vertices
对于图$G$，第一乘法Zagreb指标$\prod_1(G) $是顶点度的平方的乘积，并且第二乘法Zagreb指标$\prod_2(G) $是邻顶点对的度的乘积。在本文中，我们探讨了图的极值$Π_{1}(G)$和$Π_{2}(G)$的（边）连通性和悬挂点。相应的极图在最多$k$和$p$悬挂点处具有给定的连通性.此外，还提供了$\prod_1(G) $和$\prod_2(G) $的最大值和最小值。我们的结果推广和丰富了一些已知的结论。
2021-08-06 math.CO
Identities involving the number of missing integers in partitions - combinatorial proofs
St. Mary’s University（圣玛丽大学）；College of the Holy Cross（圣十字学院）
针对Bhoria等人关于分拆中缺失整数个数的相关结果，本文提供了组合证明，丰富了分拆组合学领域的研究内容。
2026-08-04 math.CO math.NT
Two truncated identities of Gauss
给出了高斯三角级数与平方级数部分和的两个新的展开式。因此，我们得到了一族不等式的过划分函数$\bar{p}(n)$和分拆函数$p_1(n)$计数分区的$n$不同的奇数部分。作为证明，进一步提出了关于分拆函数变分的不等式.
2013-01-13 math.CO math.NT
Law of Large Numbers for Roots of Finite Free Multiplicative Convolution of Polynomials
给出了只有非负实根的多项式的有限自由乘卷积的根的大数定律。此外，我们还研究了有限自由乘卷积的大数定律所得到的极限多项式在次数趋于无穷大时的经验根分布。
2023-01-14 math.CO math.PR
The number of multiplicative Sidon sets of integers
一个自然数集合$S$是乘法西顿，如果$S$中所有对的乘积是不同的。1938年，Erdens研究了$\{1,\ldots, n\}$的乘法Sidon子集的最大尺寸，后来确定为低阶项：$π(n)+Θ(\frac{n^{3/4}}{(\log n)^{3/2}})$。我们证明了对于我们指定的函数$T(n)\approx 2^{1.815π(n)}$，$\{1,\ldots, n\}$的乘法Sidon子集的个数是$T(n)\cdot 2^{Θ(\frac{n^{3/4}}{(\log n)^{3/2}})}$.这是一个罕见的例子，其中的数量级较低的次项的指数是确定的。它解决了Cameron和Erdens在80年代提出的乘法Sidon集的计数问题。我们还研究了它的推广广义乘法西顿集。用$S_k$，$k\ge 2$表示$\{1,\ldots, n\}$的乘法$k$-Sidon子集的数目.我们表明，$S_k(n)=(β_k+o(1))^{π(n)}$的一些$β_k$，我们明确定义。我们的证明是基本的。
2018-08-19 math.CO math.NT
On the number of monochromatic solutions to multiplicative equations
本文研究区间 $\{2,\dots,N\}$ 的 $r$-着色中乘法方程 $xy=z$ 的单色解最小数量，对 $r=2$ 确定了渐近精确的常数，对 $r=3,4$ 给出相差对数因子的紧界，并推广到更多颜色和其他乘法方程。
2024-08-10 math.CO math.NT
Simplicial complexes associated to certain subsets of natural numbers and its applications to multiplicative functions
我们称一组在取酉因子下闭的正整数为酉理想。它可以看作是一个单纯复形。此外，在这样的集合上的乘法算术函数对应于在单纯复形上的函数，该函数具有面上的值是该面的顶点处的值的乘积的性质。我们利用这一观测值解决了以下问题：1）设r为正整数，c为实数。当S是恰好包含r个素幂的酉理想时，\sum_{s \in S} g（s）能得到的最大值是多少？当s \in S是一个素幂时，g是由g（s）=c确定的乘性函数？2)假设g是一个乘性函数，它是\ge 1，我们想找到当1 \le i \le n时g（i）的最大值。我们需要多少个整数来计算g？
2002-11-13 math.CO math.NT
A note on multiplicative automatic sequences
我们证明了任何$q$ -自动完全乘性函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$本质上与一个Dirichlet特征标一致。这回答了J. P. Allouche和L. Goldmakher的一个猜想，证实了J. Bell，N. Bruin和M.完全乘性函数的Coons。此外，假设在数论中有两个标准假设，这些方法允许去除完备性的假设。
2019-04-08 math.CO math.NT
On the number of missing integers in partitions
Pt. Chiranji Lal Sharma Government College（Pt. Chiranji Lal Sharma 政府学院）；Birla Institute of Technology and Science Pilani（比拉理工科学研究所皮拉尼分校）
本文研究了分区中缺失正整数的整体情况，探讨了给定缺失整数数量的分区数目，并提出了三个关于相关函数的偏差不等式猜想。
2026-04-14 math.CO math.NT
Colourings of the Cartesian Product of Graphs and Multiplicative Sidon Sets
设$F$是一类连通二部图，每个图至少有三个顶点。若图$G$中没有双色子图，则它的真点染色是$\F$ -free的.图$G$的$F$ -自由色数$χ(G,F)$是$G$的$F$ -自由着色中的最小颜色数.对于$F$的适当选择，几种众所周知的着色类型适合这个框架，包括非循环着色，星形着色和距离-2着色。本文研究了图的笛卡儿积的$F$ -自由染色.令$H$是图$G_1,G_2,...,G_d$的笛卡儿积。我们的主要结果建立了一个上界的$F$ -自由色数的$H$的最大$F$ -自由色数的$G_i$和以下数论概念。一个自然数集合$S$是$k$ -乘法西顿，如果$ax=by$蕴含$a=b$和$x=y$，只要$x,y\in S$和$1\leq a,b\leq k$。设$χ(G_i,F)\leq k$和$S$是基数为$d$的$k$ -乘法Sidon集.证明了$χ(H,F) \leq 1+2k\cdot\max S$ .证明了$k$ -乘法Sidon集的最大密度为$Θ(1/\log k)$ .因此，$χ(H,F) \leq O(dk\log k)$。我们用大量的例子说明了该方法，其中一些概括或改进现有的文献中的结果。
2008-10-20 math.CO math.NT
Multiplicative congruences for Andrews's even parts below odd parts function and related infinite products
本文证明了Andrews的奇部之下偶部分拆函数$\overline{\mathcal{EO}}(n)$及相关无穷乘积模$2^{12}$的乘法同余，核心方法结合了Fricke对合与Newman的半整数权Hecke算子技术。
2025-05-02 math.CO math.NT
