Orbits of Sylow subgroups of finite permutation groups

关于正规非交换Sylow子群的不存在性

On the Absence of a Normal Nonabelian Sylow Subgroup

设$G$是有限可解群.我们证明了当$G$的素特征标度图$Δ(G)$满足一个技术假设时，$G$不具有正规的非交换Sylow $p$ -子群.

具有NS-可补Sylow子群的有限群的超可解性

On the supersolubility of a finite group with NS-supplemented Sylow subgroups

一个群~ $G$的子群$A$被称为是$G$中的{ \sl NS-补充的}，如果存在一个$G$的子群~ $B$使得$G=AB$，并且只要$X$ ~是~ $A$和$p\in π(B)$的正规子群，就存在一个~ $B$的Sylow $p$ -子群~ $B_p$使得$XB_p=B_pX$。本文证明了具有NS-可补非循环Sylow子群的群的超可解性。得到了具有NS-可补极大子群的群的可解性。

Generation of finite groups with cyclic Sylow subgroups

Slattery (2007) described computational methods to enumerate, construct, and identify finite groups of squarefree order. We generalise Slattery's result to the class of finite groups that have cyclic Sylow subgroups and provide an implementation for the computer algebra system GAP.

对称群S_p^n的Sylow p-子群的Maschke性质

The Maschke property for the Sylow p-subgroups of the symmetric group S_p^n

对称群S_p^n的Sylow p-子群满足Maschke定理对p '-群作用于p-群（不一定是交换的）的适当推广。此外，给出了S_p^n的Sylow p-子群的一些已知结果，其形式对所有素数p都成立。

Suzuki和Ree群中Sylow子群的积

Products of Sylow subgroups in Suzuki and Ree groups

给出了Suzuki群和Ree群可分解为4个Sylow p-子群之积的初等证明，其中p是定义特征标.

关于无限线性群的有限Sylow子群共轭问题的一个注记

A note on conjugacy problem for finite Sylow subgroups of infinite linear groups

本文证明了在存在至少一个有限Sylow 2-子群的条件下，伪有限$\mathfrak{M}_c$群中Sylow 2-子群的共轭性，并通过Platonov的反例说明伪有限性假设不可或缺。

有限单群的Sylow $p$-子群

The Sylow $p$-subgroups of the finite simple groups

本文总结了经典Lie型有限单群的Sylow $p$-子群。

有限反射群中西罗子群的正规化子

Normalizers of Sylow subgroups in finite reflection groups

本文证明了有限反射群中西罗子群正规化子的半直积分解，并利用抛物子群与考克斯特图自同构给出实型情形的具体描述。

Fusion systems on a Sylow $p$-subgroup of $SU_4(p)$

We determine, for $p$ odd, all saturated fusion systems on a Sylow $p$-subgroup $S$ of the unitary group $SU_4(p)$ and we prove that they are all realizable by finite groups. In particular, we prove that $S$ does not support any exotic fusion systems.

On the generation of simple groups by Sylow subgroups

Let $G$ be a finite simple group of Lie type and let $P$ be a Sylow $2$-subgroup of $G$. In this paper, we prove that for any nontrivial element $x \in G$, there exists $g \in G$ such that $G = \langle P, x^g \rangle$. By combining this result with recent work of Breuer and Guralnick, we deduce that if $G$ is a finite nonabelian simple group and $r$ is any prime divisor of $|G|$, then $G$ is generated by a Sylow $2$-subgroup and a Sylow $r$-subgroup.

把雪拿起来！一个组曲“一个稳定的小组的小组时期”

Liftez les Sylows! Une suite à ``Sous-groupes periodiques d'un groupe stable''

如果$G$是一个具有正规可定义子群$H$的Ω稳定群，则$G/H$的Sylow- $2$ -子群是$G$的Sylow- $2$ -子群的像。

Fusion Systems on a Sylow $p$-subgroup of $\mathrm{G}_2(p^n)$ or $\mathrm{PSU}_4(p^n)$

For any prime $p$ and $S$ a $p$-group isomorphic to a Sylow $p$-subgroup of $\mathrm{G}_2(p^n)$ or $\mathrm{PSU}_4(p^n)$ with $n\in\mathbb{N}$, we determine all saturated fusion systems supported on $S$ up to isomorphism.

有限群的 Sylow 子群的 powerful 类

The powerful class of Sylow subgroups of finite groups

本文研究有限群中 Sylow p-子群的 powerful 类如何影响转移与融合控制，并给出 p-可解群 p-长度关于该 powerful 类的显式上界。

The permutability of $σ_i$-sylowizers of some $σ_i$-subgroups in finite groups

Let $σ=\{σ_{i}|i\in I\}$ be a partition of the set of all primes $\mathbb{P}$, $G$ a finite group and $σ(G)=\{σ_{i}|σ_{i}\cap π(|G|)\neq\emptyset\}$. A subgroup $S$ of a group $G$ is called a $σ_i$-sylowizer of a $σ_i$-subgroup $R$ in $G$ if $S$ is maximal in $G$ with respect to having $R$ as its Hall $σ_i$-subgroup. The main aim of this paper is to investigate the influence of $σ_i$-sylowizers on the structure of finite groups. We obtained some new characterizations of supersoluble groups by the permutability of the $σ_i$-sylowizers of some $σ_i$-subgroups.

关于酉群 Sylow 子群的 Oliver $p$-群猜想

On Oliver's $p$-group conjecture for Sylow subgroups of unitary groups

该研究针对 Oliver 的 $p$-群猜想，采用初等方法证明其对酉群的 Sylow $p$-子群成立。

具有因子为双圈Sylow子群的正规列的有限群

On a finite group having a normal series whose factors have bicyclic Sylow subgroups

考虑有限群的正规列的因子具有双圈Sylow子群的结构。特别地，我们研究了具有这个性质的奇阶群和$A_4$ -自由群。得到了这类群的导长和幂零长的精确估计。

生成Sylow子群均为d-生成的有限群的随机元期望个数的一个界

A bound on the expected number of random elements to generate a finite group all of whose Sylow subgroups are d-generated

设一个有限群$G$的所有Sylow子群都可以由$d$元素生成。那么在找到一组生成元之前，必须随机抽取的$G$的元素的期望数目，具有替换，至多是$d+η$ with $η\sim 2.875065.$

具有单个对合共轭类的有限群的西洛2-子群

Sylow $2$-Subgroups of Finite Groups with a Single Conjugacy Class of Involutions

本文解决Brauer问题33，确定具有单个对合共轭类的有限群的西洛2-子群，除表1中非阿贝尔单群对应的子群外，还包括同循环群等，用到有限单群分类。

融合系统与具有类二 Sylow $p$-子群的简单群

Fusion Systems and Simple Groups With Class Two Sylow $p$-subgroups

本文确定了支撑在幂零类二有限 $p$-群上的所有约化饱和融合系统，并由此给出了具有类二 Sylow $2$-子群的有限简单群分类的新证明。

交错群的Sylow 2-子群的结构、极小生成集及其换位子群的性质

Structure and minimal generating sets of Sylow 2-subgroups of alternating groups, properties of its commutator subgroup

本文研究了${{A}_{n}}$和${{S}_{n}}$的Sylows p-子群，这一研究工作始于U. Dmitruk，V. Suschansky“对称交错群的2-sylow子群的结构”和R.~ Skuratovskii“群S_n的Sylow p-子群的余表示”\cite{Dm, Sk, Paw}的推广.设$Syl_2{A_{2^k}}$和$Syl_2{A_{n}}$是相应的交错群$A_{2^k}$和$A_{n}$的Sylow 2-子群.我们找到了这样的子群$Sy{{l}_{2}}{{A}_{{{2}^{k}}}}$和$Syl_2{A_{n}}$的最小生成集和结构以及$Syl_2{A_{2^k}}$ \cite{Mur}的换位子宽度. \cite{Dm, Paw}的作者没有证明对$A_n$的Sylow 2-子群的生成元系的极小性，只是初步建立了生成元系的结构。本文研究了Sylow 2-子群的结构，并构造了这类子群的极小生成系。换句话说，问题不仅仅是证明$2^k $次交错群的Sylow 2-子群的元素生成集的存在性和证明其极小性。主要结果是证明了上述子群的生成集的极小性，并描述了它们的结构。

关于有限李型单群的第二大Sylow子群

On the second-largest Sylow subgroup of a finite simple group of Lie type

设$T$是特征$p$中的有限李型单群，$S$是$T$的最大阶Sylow子群.众所周知，$S$是一个Sylow $p$ -子群，除了在一个明确的例外列表中，而且$S$在$|T|^{1/3} < |S| \leqslant |T|^{1/2}$的意义上总是“大”的。此外，人们可能预期，$T$与$r \neq p$的Sylow $r$ -亚组通常显著小于$S$。我们通过证明对于每个$T$和具有$r \neq p$的$|T|$的每个素因子$r$，$T$的Sylow $r$ -子群的阶至多为$|T|^{2\lfloor\log_r(4(\ell+1) r)\rfloor/\ell}=|T|^{{\rm O}(\log_r(\ell)/\ell)}$，其中$\ell$是$T$的Lie秩来验证这个假设。

有界秩李型群的随机幂零Sylow子群

Random unipotent Sylow subgroups of groups of Lie type of bounded rank

该研究针对有界秩有限单李型群，证明其可表为11个随机幂零Sylow子群的乘积且概率随群阶趋于无穷趋近1，给出有限线性群应用，证明不依赖有限单群分类。

交错对称群的Sylow 2-子群的交换子和中心化子刻画

The commutator and centralizer description of Sylow 2-subgroups of alternating and symmetric groups

给定素数阶循环群的置换环积序列，研究了这类群的换位子宽及其换位子群的一些性质。建立了交替群$A_{2^{k}}$、置换群$S_{2^k}$和$C_p \wr B$的Sylow 2-子群的交换子宽度.将研究结果扩展到$(Syl_2 {A_{2^k}})'$、$p>2$亚组。给出了对称交错群的Sylow 2-子群的换位子群的一个构造.并建立了$A_{2^k}$的Sylow 2-子群的极小通格集.研究了$(Syl_2 {A_{2^k}})'$、$(Syl_2 {S_{2^k}})'$的元素表示。证明了循环群的离散圈积$C_p$的任意元素的换位子宽度\cite {Mur}为1.关键词：群的圈积，PDMATHAMV-Sylow子群的换位子宽度，换位子群，中心化子群，半直积.

Sylow $p$上的融合系统-$\mathrm{G}_2(p)$的子群

Fusion systems over a Sylow $p$-subgroup of $\mathrm{G}_2(p)$

对于$S$一个Sylow $p$ -子群的组$\mathrm{G}_2(p)$为$p$奇数，直到同构的融合系统，我们确定所有饱和的融合系统$\mathcal{F}$上的$S$与$O_p(\mathcal{F})=1$。对于$p \ne 7$，所有这样的融合系统都是由有限群实现的，而对于$p=7$，存在$29$饱和融合系统，其中$27$是奇异的。

菲舍尔和莫诺斯特奇奇异性群中3-子群的融合系统：I

Fusion Systems on Sylow $3$-subgroups of Fischer and Monster sporadic groups -- I

本文研究菲舍尔和莫诺斯特奇奇异性群中3-子群的无核融合系统分类，证明3-群不支持奇异融合系统，为后续奇素数p的奇异性群Sylow子群融合系统分类奠定基础。

极小生成系与交错群的Sylow 2-子群的性质

Minimal generating systems and properties of Sylow 2-subgroups of alternating group

本文的背景是：寻找这类群的极小生成元系，这类群的表示问题，寻找交错群的Sylow 2-子群$Syl_2{A_{2^k}}$和$Syl_2{A_{n}}$的生成元系，寻找这些子群的结构。本文研究了Sylow 2-子群的结构，并构造了这类子群的极小生成系。换句话说，问题不只是证明$2^k $次交错群的Sylow 2-子群的元生成集的存在性及其构造性证明和极小性证明。对于最小生成集的构造，我们使用了二叉树肖像的自同构表示群的元素。主要结果是证明了上述子群的生成集的极小性，并描述了它们的结构。关键词：极小生成元系，圈积，Sylow子群，群，半直积。

有限群中Abel Sylow子群的识别

Recognising Abelian Sylow Subgroups in Finite Groups

设p为素数。证明了：如果有限群G具有非交换的Sylow p-子群，且G中每个p-元的类大小与p互质，则G包含一个具有相同性质的单群作为子商.此外，我们提供了一个列表中的所有单群和素数，使西洛p-子群是非阿贝尔和所有p-元素类大小互质的p.这提供了一个解决方案的问题，这是左后留下的Tiep和纳瓦罗建立，即p不等于3或5，那么这永远不会发生[NT 14]。

对称群中Sylow 2-子群的交

Intersections of Sylow 2-subgroups in symmetric groups

本研究计算对称群$S_n$与交错群$A_n$中随机Sylow 2-子群平凡相交的渐近概率，补充了相关学者的近期研究成果。

不同素数的Sylow子群与 nilpotent 子群的交集

Sylow subgroups for distinct primes and intersection of nilpotent subgroups

研究不同素数的Sylow子群与nilpotent子群交集的性质，提出并验证了关于包含最小性的猜想，并在特定群类中得出了结论。

伪Sylow数

Pseudo Sylow numbers

其中一部分西洛的著名定理群论指出，一些西洛p-子群的有限群总是全等1模p.相反，马歇尔霍尔表明，不是每一个正整数$n\equiv 1\pmod{p}$出现的一些西洛p-子群的有限群。虽然霍尔的证明依赖于深厚的知识模表示理论，我们表明，通过初等手段，没有有限群有确切的35西洛17-子群。

特征标与几乎单群的Sylow 3-子群的生成

Characters and the Generation of Sylow 3-Subgroups For Almost Simple Groups

本研究针对几乎单群，证明其特征标表可算法判定Sylow 3-子群是否2生成，且该性质等价于主块特征标的Galois作用条件，是Alperin-McKay-Navarro猜想的推论。

对称群的Sylow $p$ -子群中元素的阶

The order of elements in Sylow $p$-subgroups of the symmetric group

通过随机选择$S_{p^n}$的Sylow $p$ -子群的共轭类$C$来定义随机变量$ξ_n$，并令$ξ_n$为$C$中元素阶的对数。我们发现，$ξ_n$有界方差和平均顺序$\frac{\log n}{\log p}+O(1)$，这显着不同的平均元素的阶选择等概率。

交错群的Sylow 2-子群的结构、极小生成系及其性质

Structure, minimal generating systems and properties of Sylow 2-subgroups of alternating group

本文的背景是：寻找这类群的极小生成元系，这类群的表示问题，寻找交错群的Sylow 2-子群$Syl_2{A_{2^k}}$和$Syl_2{A_{n}}$的生成元系，寻找这类子群的结构。本文作者U.~ Dmitruk，V.~ Suschansky没有证明$A_n$的这类Sylow 2-子群的生成元系的极小性，只是证明了它的结构。本文研究了Sylow 2-子群的结构，并构造了这类子群的极小生成系。换句话说，问题不只是证明$2^k$次交错群的Sylow 2-子群的元生成集的存在性及其构造性证明和极小性证明。对于最小生成集的构造，我们使用了二叉树肖像的自同构表示群的元素。本文的目的也是比U.~（1999）的文章更准确、更深入地研究交错群的2-sylow子群的结构。Dmitruk和V.~苏尚斯基。主要结果是证明了上述子群的生成集的极小性，并描述了它们的结构。关键词：极小生成元系;圈积; Sylow子群;群;半直积.

有限群中Sylow子群的个数

Number of Sylow subgroups in finite groups

用$ν_p(G)$表示Sylow $p$的数量-$G$的亚组。不难看出，$ν_p(H)\leqν_p(G)$用于$H\leq G$，然而$ν_p(H)$一般不划分$ν_p(G)$。在本文中，我们减少了问题是否$ν_p(H)$划分$ν_p(G)$为每个$H\leq G$几乎单群。这个结果基本上推广了G. Navarro定理，并给出了Navarro定理的另一种证明.

有限可约群的Sylow子群

The Sylow Subgroups of a Finite Reductive Group

当q $\not\equiv$ 0（mod { \ell }）时，我们描述了有限约化群G（Fq）的Sylow { \ell }-子群的结构，我们发现它们受一个附着在G上的复反射群和{ \ell }的支配，而{ \ell }仅通过G（Fq）的类属阶的分圆因子集依赖，其中q处的值可被{ \ell }整除.我们还解决了更一般的情况下G F F F是一个isoberos的权力是一个弗罗贝尼乌斯态射。

关于Sylow子群的生成元个数有界的有限群

On finite groups whose Sylow subgroups have a bounded number of generators

设G是有限非幂零群，使得G的每个Sylow子群至多由d个元生成，且p是除|G|的最大素数.我们证明了G有一个非幂零像G/N，使得N是特征的，且其指数由一个函数d和p有界.这个结果将被用来证明G的弗拉蒂尼子群的指数是有界的.对于可解群，我们将给出明确的上界.

有限群Sylow子群的极大超群研究

On the maximal overgroups of Sylow subgroups of finite groups

该研究确定了Sylow r-子群含于唯一极大子群的有限群，通过约化到殆单群完成证明，推广了Aschbacher关于r=2的早期结果，并给出弱次正规子群新结果以研究Baer-Suzuki定理变体。

全不连通的的局部紧群的局部Sylow理论

Local Sylow theory of totally disconnected, locally compact groups

定义了全不连通的局部紧群G的局部Sylow子群为G的开紧子群的极大pro-p子群.我们利用这些子群定义了G的p-局部化，G是一个局部虚亲p群，它以稠密象连续地内射映射到G上，并描述了G的标度函数和模函数与G的p-局部化的标度函数和模函数之间的关系.在局部虚拟prossoluble群的情况下，我们认为所有的素数同时使用当地的Sylow基地。

关于冗余 Sylow 子群

On redundant Sylow subgroups

本文推广 Maróti–Martínez–Moretó 的定理，证明每个非循环 p-群都可作为某个可解群中的冗余 Sylow p-子群，并回答相关公开问题。

关于具有TI Sylow $p$-子群的有限群块的一个注记

A note on blocks of finite groups with TI Sylow $p$-subgroups

本文针对特征零代数闭域上的有限群块，构造了一个函子等价但不完全等距的具体例子，从而说明函子等价并不蕴含完全等距。

分解一个Sylow子群的中心

Splitting the center of a Sylow subgroup

本文研究了Sylow子群中心的分解问题，证明了在某些条件下Sylow子群中心的结构，并扩展到融合系统。

费歇尔和魔群散在群的西罗3-子群上的融合系统——II

Fusion Systems on Sylow $3$-subgroups of Fischer and Monster sporadic groups -- II

该研究对散在群$\mathrm{Fi}_{24}'$和$\mathrm{M}$的西罗3-子群上的无核融合系统进行分类，完成了奇数$p$时散在群西罗$p$-子群无核融合系统分类项目，还扩展理论并描述算法，大幅加快找$p$-群无核融合系统的过程。

Wamsley 群及其 Sylow 子群的研究

A study of the Wamsley group and its Sylow subgroups

本文研究一类由三个生成元定义的 Wamsley 群及其 Sylow 子群，在参数满足特定非平凡条件下分析其结构，并在 α=β 时取得最精确的结果。

2参数Macdonald群的Sylow子群

Sylow subgroups of the Macdonald group on 2 parameters

本文研究2参数Macdonald群 $G(α,β)$，填补了其幂零性原始证明中的漏洞，并确定了该群所有Sylow子群的阶与幂零类。

具有Sylow子群的$\mathfrak{F}$ -次正规化子的有限群

Finite groups with $\mathfrak{F}$-subnormal normalizers of Sylow subgroups

设$π$是素数集，$\mathfrak{F}$是一个群系.本文研究了所有群$G$的类${\rm w}^{*}_π\mathfrak{F}$的一个性质，使得对于每个$p\inπ\capπ(G)$，$π(G)\subseteq π(\mathfrak{F})$和$G$的所有Sylow $p$ -子群的正规化子在$G$中是$\mathfrak{F}$ -次正规的.已确定${\rm w}^{*}_π\mathfrak{F}$是一个地层。建立了几个遗传饱和地层$\mathfrak{F}$和${\rm w}^{*}_π\mathfrak{F}=\mathfrak{F}$。

$Ω^+_8(2)$的一个Sylow 2-子群上的饱和融合系统

The saturated fusion systems on a Sylow 2-subgroup of $Ω^+_8 (2)$

研究$Ω^+_8(2)$的Sylow 2-子群上的饱和融合系统，其中$O_2(\mathcal F)=1$，探讨其结构与性质，包括例子分析。

Sylow子群的中心与自同构

Centers of Sylow Subgroups and Automorphisms

设p是奇素数，G是一个有限群，不含正规非平凡p '-子群.证明了如果a是G的一个p幂阶自同构，且集中于G的一个Sylow p-群，则a是内部的.这回答了格罗斯的一个猜想。一个简单的推论是，如果p是奇素数，且P是G的Sylow p-子群，则P的中心包含在G的广义Fitting子群中。我们给出了两个证明，这两个证明都需要有限单群的分类。对于p=2，结果失败，但Glauberman在1968年证明，平方的一个是内。这回答了Kourovka在1999年提出的一个问题。

投射有限群Sylow子群的交换概率

Commuting probability for the Sylow subgroups of a profinite group

该研究探讨投射有限群的子群交换概率，证明若投射有限群的Sylow 2-子群与Sylow 3、5-子群的交换概率为正则群是虚投射可解的，还给出投射可解群为虚投射幂零的概率判据。

有限群的Sylow子群的交换概率

Commuting probability for the Sylow subgroups of a finite group

本文研究有限群中Sylow子群间的交换概率，证明在交换概率有下界时，Fitting子群具有有界指数，并给出幂零性与可解性的阈值判据。

由$d$生成的Sylow子群生成有限群的期望元素数

The expected number of elements to generate a finite group with $d$-generated Sylow subgroups

给定一个有限群$G,$，令$e(G)$是在找到一组生成元之前随机抽取的$G$元素的期望个数，如果$G$的所有Sylow子群都可以由$d$元素生成，则$e(G)\leq d+κ$与$κ\sim 2.75239495.$ $κ$的个数用黎曼zeta函数明确描述，并且是最佳可能的。如果$G$是次数为$n,$的置换群，则$G=S_3$和$e(G)=2.9$或$e(G)\leq \lfloor n/2\rfloor+κ^*$和$κ^* \sim 1.606695.$

交错和对称群的Sylow子群的交换子，群的圈积的交换子宽度

Commutators of Sylow subgroups of alternating and symmetric groups, commutator width in the wreath product of groups

本文研究了两个群的圈积的换位子宽度\cite {Mur}的界.给出了循环群的圈积的正极限的换位子宽度，对给定的循环群的置换圈积序列，研究了它的换位子宽度及其换位子群的一些性质.证明了循环群$C_{p_i}, \, p_i\in \mathbb{N} $的圈积的任意元素的换位子宽度等于1。作为推论，证明了对称和交错群$p \geq 2$的Sylows $p$ -子群的换位子宽度也等于1.研究了对称群和交错群的SylowsPDMATHABMQ-子群的换位子和第二换位子的结构。对于任意群$B$，建立了$C_p \wr B$的换位子宽度的上界.对于任意群，得到了换位子宽度为$C_p \wr B$的$B$换位子.并建立了交错群${A_{2^{k}}}$、置换群${S_{2^{k}}}$的Sylow 2-子群的交换子宽度.将研究结果推广到子群$(Syl_2 {A_{2^{k}}})'$，$p\geq2$上.研究了对称交错群的Sylow 2-子群的换位子群的结构。研究了$(Syl_2 {A_{2^{k}}})'$、$(Syl_2 {S_{2^{k}}})'$的纵向表征。

对称群$S_{2^n}$的Sylow 2-子群的Cayley图的围长

The Girth of Cayley graphs of Sylow 2-subgroups of symmetric groups $S_{2^n}$ on diagonal bases

对称群$S_{2^n}$的Sylow 2-子群$P_n(2)$的一个对角基是该子群的一个极小生成集，它由多项式表示中只有一个非零坐标的元素组成。对于不同的对角基，$P_n(2)$的Cayley图可以具有不同的围长（即最小圈长），因此是非同构的。本文计算了$P_n(2)$的Cayley图在对角基上的围长的所有可能值。给出了这类Cayley图围长为4的一个判别准则。给出了对角基上$P_n(2)$的不同非同构Cayley图个数的一个下界.

关于与具有阿贝尔2-子群的群等谱的有限群

On finite groups isospectral to groups with abelian Sylow $2$-subgroups

研究了与非阿贝尔单群与阿贝尔2-子群的直积具有相同谱的有限群，证明了存在无限多个具有相同谱的有限群。

具有循环西罗子群的简单斜括号

Simple Skew Braces with Cyclic Sylow Subgroups

研究有限斜括号在西罗子群循环性假设下的单性与分裂现象，先分类乘法群为\(Z\)-群的有限单斜括号，再考虑更一般情况，证明相关结论并验证拜奥特可解性猜想。