曲面上 $\mathrm{SL}_3$-网的热带 Fock-Goncharov 坐标 II：自然性
Tropical Fock-Goncharov coordinates for $\mathrm{SL}_3$-webs on surfaces II: naturality
AI总结：
本文证明 $\mathrm{SL}_3$-网的非负整数坐标在不同理想三角剖分之间的变换是热带 $\mathcal{A}$-坐标簇变换，从而将网实现为 Fock-Goncharov-Shen 正整数热带点的具体拓扑模型。
摘要：
在伴随论文（arXiv 2011.01768）中，我们为有限型穿孔曲面 $\hat{S}$ 上的约化 $\mathrm{SL}_3$-网集合 $\mathscr{W}_{3, \hat{S}}$ 构造了非负整数坐标 $Φ_\mathscr{T}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}}) \subset \mathbb{Z}_{\geq 0}^N$，该坐标依赖于 $\hat{S}$ 的一个理想三角剖分 $\mathscr{T}$。我们证明这些坐标关于三角剖分的选择是自然的，其含义是：若选取另一个三角剖分 $\mathscr{T}^\prime$，则联系 $Φ_\mathscr{T}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}})$ 与 $Φ_{\mathscr{T}^\prime}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}})$ 的坐标变换映射是一个热带 $\mathcal{A}$-坐标簇变换。因此，我们可以将网 $\mathscr{W}_{3, \hat{S}}$ 视为 Fock-Goncharov-Shen 正整数热带点 $\mathcal{A}_{\mathrm{PGL}_3, \hat{S}}^+(\mathbb{Z}^t)$ 的一个具体拓扑模型。
英文摘要：
In a companion paper (arXiv 2011.01768), we constructed nonnegative integer coordinates $Φ_\mathscr{T}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}}) \subset \mathbb{Z}_{\geq 0}^N$ for the collection $\mathscr{W}_{3, \hat{S}}$ of reduced $\mathrm{SL}_3$-webs on a finite-type punctured surface $\hat{S}$, depending on an ideal triangulation $\mathscr{T}$ of $\hat{S}$. We show that these coordinates are natural with respect to the choice of triangulation, in the sense that if a different triangulation $\mathscr{T}^\prime$ is chosen, then the coordinate change map relating $Φ_\mathscr{T}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}})$ to $Φ_{\mathscr{T}^\prime}(\mathscr{W}_{3, \hat{S}})$ is a tropical $\mathcal{A}$-coordinate cluster transformation. We can therefore view the webs $\mathscr{W}_{3, \hat{S}}$ as a concrete topological model for the Fock-Goncharov-Shen positive integer tropical points $\mathcal{A}_{\mathrm{PGL}_3, \hat{S}}^+(\mathbb{Z}^t)$.
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