曲面上 $\mathrm{SL}_3$-网的 Tropical Fock-Goncharov 坐标 I：构造
Tropical Fock-Goncharov coordinates for $\mathrm{SL}_3$-webs on surfaces I: construction
AI总结：
本文研究了曲面上 $\mathrm{SL}_3$-特征簇正则函数代数的一个优选基，证明其可由非负整数坐标自然标定，并揭示了这些坐标与对偶特征簇无穷远处 tropical 点的关联。
摘要：
对于有限型曲面 $\mathfrak{S}$，我们研究 Sikora-Westbury 引入的 $\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$-特征簇上正则函数交换代数 $\mathbb{C}[\mathscr{R}_{\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})}(\mathfrak{S})]$ 的一个优选基。这些基元素来自于与嵌入曲面 $\mathfrak{S}$ 的某些三价图相关联的迹函数。我们证明该基可由非负整数坐标自然标定，这些坐标由 Knutson-Tao 菱形不等式和模 3 同余条件定义。根据 Fock 和 Goncharov 的几何理论，这些坐标与特征簇对偶版本在无穷远处的 tropical 点相关。
英文摘要：
For a finite-type surface $\mathfrak{S}$, we study a preferred basis for the commutative algebra $\mathbb{C}[\mathscr{R}_{\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})}(\mathfrak{S})]$ of regular functions on the $\mathrm{SL}_3(\mathbb{C})$-character variety, introduced by Sikora-Westbury. These basis elements come from the trace functions associated to certain tri-valent graphs embedded in the surface $\mathfrak{S}$. We show that this basis can be naturally indexed by non-negative integer coordinates, defined by Knutson-Tao rhombus inequalities and modulo 3 congruence conditions. These coordinates are related, by the geometric theory of Fock and Goncharov, to the tropical points at infinity of the dual version of the character variety.
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