曲面 ${\rm SL}_3$ 量子迹映射的自然性
Naturality of ${\rm SL}_3$ quantum trace maps for surfaces
AI总结：
本文开发了不同三角剖分的立方根量子环面代数间的量子突变映射，证明了 ${\rm SL}_3$ 量子迹映射在这些映射下的自然性，并由此得出量子 ${\rm SL}_3$-${\rm PGL}_3$ 对偶映射独立于理想三角剖分的选择。
摘要：
Fock-Goncharov 的穿孔曲面 $\frak{S}$ 上带标架的 ${\rm PGL}_3$-局部系统的模空间 $\mathscr{X}_{{\rm PGL}_3,\frak{S}}$ 提供了 cluster $\mathscr{X}$-簇和高阶 Teichmüller 空间的著名例子。在作者之前的论文（arXiv:2011.14765）中，基于他人的工作，为每个可三角剖分的穿孔曲面 $\frak{S}$ 及其理想三角剖分 $Δ$ 构建了所谓的 ${\rm SL}_3$ 量子迹映射，作为从该曲面的带状态 ${\rm SL}_3$-skein 代数到量子环面代数的同态，后者变形了与 $Δ$ 关联的 $\mathscr{X}_{{\rm PGL}_3,\frak{S}}$ 的 cluster $\mathscr{X}$-图的簇坐标变量的立方根中的洛朗多项式环。我们开发了不同三角剖分的立方根量子环面代数的特殊子代数之间的量子突变映射，并证明了 ${\rm SL}_3$ 量子迹映射是自然的，即它们在这些量子突变映射下是兼容的。作为应用，证明了之前论文中构建的量子 ${\rm SL}_3$-${\rm PGL}_3$ 对偶映射独立于理想三角剖分的选择。
英文摘要：
Fock-Goncharov's moduli spaces $\mathscr{X}_{{\rm PGL}_3,\frak{S}}$ of framed ${\rm PGL}_3$-local systems on punctured surfaces $\frak{S}$ provide prominent examples of cluster $\mathscr{X}$-varieties and higher Teichmüller spaces. In a previous paper of the author (arXiv:2011.14765), building on the works of others, the so-called ${\rm SL}_3$ quantum trace map is constructed for each triangulable punctured surface $\frak{S}$ and an ideal triangulation $Δ$ of $\frak{S}$, as a homomorphism from the stated ${\rm SL}_3$-skein algebra of the surface to a quantum torus algebra that deforms the ring of Laurent polynomials in the cube-roots of the cluster coordinate variables for the cluster $\mathscr{X}$-chart for $\mathscr{X}_{{\rm PGL}_3,\frak{S}}$ associated to $Δ$. We develop quantum mutation maps between special subalgebras of the cube-root quantum torus algebras for different triangulations and show that the ${\rm SL}_3$ quantum trace maps are natural, in the sense that they are compatible under these quantum mutation maps. As an application, the quantum ${\rm SL}_3$-${\rm PGL}_3$ duality map constructed in the previous paper is shown to be independent of the choice of an ideal triangulation.
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