A note on Kakeya sets of horizontal and $SL(2)$ lines
我们考虑$\mathbb{R}^{3}$中$SL(2)$线的并集。这些是$$L = (a,b,0) + \mathrm{span}(c,d,1),$$形式的行，其中$ad - bc = 1$。证明了如果$\mathcal{L}$是$SL(2)$线的Kakeya集，则其并集$\cup \mathcal{L}$具有豪斯多夫维数$3$ .这回答了王和Zahl的一个问题。$SL(2)$线可以与第一海森堡群中的水平线等同，并且我们得到的主要结果是关于水平线并的更一般陈述的推论.这种说法是建立通过一个点线之间的对偶原则水平和圆锥线在$\mathbb{R}^{3}$，结合最近的工作限制家庭的投影到飞机，由于GAN，郭，古斯，哈里斯，马尔达格，王。我们的结果也有一个推论的Nikodym集与水平线，这回答了一个特殊情况下的问题金。
2022-10-18 math.CA math.CO math.MG
Note on divisible difference sets from Galois rings GR(9,n)
在${\Bbb F}_{3^n}$中存在斜Hadamard差集的假设下，利用Galois环$GR(3^2,n)$给出了${\Bbb Z}_{9}^n$中可分差集的一种新构造.
2012-12-13 math.CO
Dot-product sets and simplices over finite rings
本文研究了有限环上向量空间的点积集和$k$ -单形。证明了如果$E$足够大，则$E$的点积集覆盖整个环.在高维情况下，如果$E$足够大，则由$E$确定的单形集和点积单形集直到共轭都具有正密度。
2020-08-11 math.CO
Dynamical IP$^{\star}$-sets in weak rings
V. Bergelson和N. Hindman证明了IP $^{\star}$ -集包含$\mathbb{N}$中任意序列的求和子系统的所有可能的有限和与乘积。在最近的一项工作中，本文的第二作者证明了一个更强的结果保持动态IP $^{\star}$ -集。在这篇文章中，我们将建立一个非交换版本的结果。我们将证明在弱环中的动态IP $^{\star}$ -集包含更丰富的配置。
2021-10-14 math.CO
Some connections between Falconer's distance set conjecture, and sets of Furstenburg type
本文研究了几何组合学中三个未解的猜想，即Falconer距离集猜想、Furstenburg集的维数和Erdos环猜想。我们制定自然的$δ$离散版本的这些结构，并表明，在一定意义上，这些离散版本是等价的。特别是，它似乎是任何这些问题的进展必须证明一个定量的陈述存在的子环的$R$的1/2维。
2001-01-23 math.CA math.CO
Gröbner Bases for Increasing Sequences
令$q,n \geq 1$为整数，$[q]=\{1,\ldots, q\}$，$\mathbb F$为具有$|\mathbb F|\geq q$的字段。递增序列集合$$ I(n,q)=\{(f_1,f_2, \dots, f_n) \in [q]^n:~ f_1\leq f_2\leq\cdots \leq f_n \} $$可以经由内射映射$i: [q]\rightarrow \mathbb F $映射到仿射空间${\mathbb F}^n$的子集$J(n,q)$中。本文描述了$J(n,q)$上多项式消失理想的约化Gröbner基、标准单项式和Hilbert函数。作为应用，我们给出了$J(n,q)$的一个插值基，以及$J(n,q)$的递增Kakeya集、递增Nikodym集和仿射超平面覆盖的大小的下界.
2022-07-31 math.AC math.CO
Kakeya sets over non-archimedean local rings
在Ellenberg，Oberlin和Tao最近的一篇论文中，作者提出了F_q[[t]]^n中是否存在贝西科维奇现象的问题。本文通过在测度为0的F_q[[t]]^n中明确构造一个Kakeya集来肯定地回答他们的问题。进一步证明了F_q[[t]]^2或Z_p^2中的Kakeya集的Minkowski维数为2。
2011-12-14 math.CO
Building sets, Chow rings, and their Hilbert series
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Università di Pisa（比萨大学）；North Carolina State University（北卡罗来纳州立大学）；Università di Bologna（博洛尼亚大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文通过任意构建集建立多项式环的Hilbert级数公式，针对Braid matroids和最小构建集，推导出稳定有理曲线模空间的Poincaré多项式新公式，并验证了Keel等人的先前结果。
2026-03-30 math.CO
Schur Ring over Group $\Z_{2}^{n}$, Circulant $S-$Sets Invariant by Decimation and Hadamard Matrices
本文讨论了Schur环、$S$ -集、循环轨道、抽取算子和Hadamard矩阵等问题，并给出了它们之间的关系。首先定义了完备$S$ -集。其次，研究了$\Z_{2}^{n}$上具有循环基集的Schur环的结构，定义了自由和非自由循环$S$ -集，对称、非对称和反对称循环$S$ -集。我们证明了所有这些$S$ -集在抽取下都是不变量。最后，证明了如果Hadamard矩阵存在，则它包含在完备的$S$ -集合中.同时证明了不存在具有某种特殊结构的循环单核Hadamard矩阵。这些定理包括已知的结果对称循环Hadamard矩阵的顺序$4n$只有当$n$是一个奇数。
2019-04-11 math.CO math.GR
On algebras associated to partially ordered sets
我们继续研究有限偏序集上环的层。我们提出的例子，其中的环的整体瓣符合复曲面的面孔环，由单项式理想和代数的多项式环与拉直法律。我们证明了一个秩选择定理，它推广了著名的Stanley-Reisner环的秩选择定理。最后，我们确定了一个明确的介绍某些全球环的部分。
2005-07-18 math.AC math.CO
A combinatorial model for the decomposition of multivariate polynomial rings as $S_n$-modules
本文研究了具有$n$交换变量的$m$集和$n$反交换变量的$m'$集的多项式环的对称群$S_n$ -模，并证明了由划分$λ$（$n$的一个划分）索引的不可约的重数是满足一定列和行严格条件的形状为$λ$的多集表的个数.给出了该环的$S_n$不变多项式环的有限生成集。
2020-07-04 math.CO
Cohomology of partially ordered sets and local cohomology of section rings
研究了偏序集的Alexandrov空间上的层整体瓣环的局部上同调。给出了局部上同调群分裂为由偏序集的上同调和茎的局部上同调所决定的和数的一个判别准则。有理尖扇的面环可以看作是扇的面偏序集上的半透明层的整体瓣的环。从而得到了这类面环的局部上同调的一个分解。由于单纯复形的Stanley-Reisner环是有理尖扇的面环，我们的主要结果可以解释为Stanley-Reisner环的局部上同调的Hochster分解的推广.
2006-03-02 math.AC math.CO
Value sets of non-permutation polynomials over the residue class rings of integers
本文研究整数剩余类环上非置换多项式的值集大小，给出素数幂情形下的上界并证明其可达性，进而推广到任意正整数模数。
2023-10-31 math.CO math.NT
Independent sets of some graphs associated to commutative rings
设$G=(V,E)$是一个简单图。一个集合$S\subseteq V$是$G$的独立集合，如果$S$的两个顶点不相邻。独立数$α(G)$是图中最大独立集的大小。设$R$是一个具有非零单位元的交换环，$I$是$R$的理想. $R$的零因子图，记作$Γ(R)$，是一个无向图，其顶点是$R$的非零零因子，且两个不同的顶点$x$和$y$相邻当且仅当$xy = 0$ . $R$的理想基零因子图$Γ_I(R)$是顶点为集合${x\in R\backslash I | xy\in I \quad for some \quad y\in R\backslash I\}$且两个不同顶点$x$和$y$相邻的图当且仅当$xy \in I$。本文研究了$Γ(R)$和$Γ_I(R)$的独立集和独立数。
2013-01-08 math.CO
Constructing linked systems of relative difference sets via Schur rings
本文研究相对差集（RDSs）及其链接系统，证明闭合RDS链接系统由群分次，定义同分次群RDS链接系统的乘积，推广Davis-Polhill-Smith构造法，借助分圆Schur环在Heisenberg群和超特殊$p$-群中构造新的RDS及链接系统。
2023-12-13 math.CO math.GR
Polynomial Criterion for Abelian Difference Sets
差集是一个群的子集，它满足关于群运算的某种组合性质。它们可以用相应群的群环中的等式来表征。本文利用阿贝尔群的群环的特殊结构，建立了阿贝尔群中具有特定参数的差集类与特定多项式方程组的所有复解集的一一对应关系.该通信还开发了布尔函数是弯曲函数的一些测试。
2018-12-21 math.CO
Combined Algebraic Properties in Gaussian and Quaternion Ring
It is known that for an IP^{*} set A in ( \mathbb{N} ,+) and a sequence \left \langle x_{n} \right \rangle _{n=1}^{ \infty } in \mathbb{N} , there exists a sum subsystem \left \langle y_{n} \right \rangle _{n=1}^{ \infty } of \left \langle x_{n} \right \rangle _{n=1}^{ \infty } such that FS \left ( \left \langle y_{n} \right \rangle _{n=1}^{ \infty } \right ) \cup FP \left ( \left \langle y_{n} \right \rangle _{n=1}^{ \infty } \right ) \subseteq A. Similar types of results have also been proved for central^{*} sets and C^{*}-sets where the sequences have been considered from the class of minim…
2020-10-18 math.CO
A generalization of Croot-Lev-Pach's Lemma and a new upper bound for the size of difference sets in polynomial rings
本文推广Croot-Lev-Pach多项式引理，结合陶哲轩切片秩估计与Gröbner基技术，改进Green的结果，给出多项式环中差集大小及无等差数列集合大小的新上界。
2024-05-22 math.CO math.NT
Domination and Total Domination Numbers in Zero-divisor Graphs of Commutative Rings
本文研究交换环零因子图的支配数与全支配数，证明除 $\mathbb{Z}_2 \times D$（$D$ 为整环）外二者均相等，并给出例外情形的精确值。
2025-06-03 math.CO
Standard pairs for monomial ideals in semigroup rings
本文将标准对的概念推广到半群环中的单项式理想的情形。标准对可以作为一种数据结构来编码这种单项式理想，提供了一种替代生成集，非常适合计算交集，分解和多重性。我们给出了从生成集计算标准对和从生成集计算标准对的算法，并使我们的结果有效。我们假设基础半群环是正分次的，但不一定正规。缺乏正常性是这项工作中大多数挑战、微妙和创新的根源。
2022-01-15 math.AC math.CO
Hamming weights and Betti numbers of Stanley-Reisner rings associated to matroids
对于有限域上的每个线性码，我们将其奇偶校验矩阵的拟阵联系起来。我们展示了在何种程度上可以确定广义汉明重量的代码（或定义为一般的拟阵）从各种各样的贝蒂数的斯坦利-Reisner环的单纯复形相关联的拟阵。
2013-01-02 math.CO
Domination polynomial and total domination polynomial of zero-divisor graphs of commutative rings
本文研究环 $\mathbb{Z}_n$ 的零因子图的支配多项式与全支配多项式，其中 $n$ 取特定素数乘积形式，并给出这些多项式的生成函数表达式。
2024-04-21 math.CO
Group rings and character sums: tricks of the trade
群环设置与特征标理论的方法相结合，可以通过其特征标和对各种组合结构进行优雅而强大的分析。这些组合结构包括差集、相对差集、偏差集、弯曲函数、超平面、展开和LP-填充。然而，关于这些技术的文献往往依赖于特殊的惯例和隐含的理解，这些惯例和理解并不总是容易被新的人所理解。虽然有许多优秀的先进的来源描述这些技术，我们不知道一个临时文件在介绍性的水平，阐明了常用的“技巧的贸易”。我们试图补救这种情况的说明性的例子，明确的讨论公约，和指导性的证明的基本结果。
2023-02-09 math.CO math.GR math.HO
The Ring of Graph Invariants - Graphic Values
图不变量环由基本图不变量构成，基本图不变量计算与给定图同构的子图在其它图中的个数。这些子图计数不变量不是代数独立的。在我们看来，无标号图的图论中最重要的问题是确定任意图不变量集的图值的问题。这对应于解释当顶点数无界时图不变量的合合。我们介绍两种方法来探索这个复杂的结构。具有少量顶点的图的集合对较大的集合施加约束。我们描述家庭的不变量图的不等式。这些不等式允许循环所有的图不变量的值，这些不变量从小集合的角度来看看起来像图形。我们还开发了强有力的概念，图形值的存在相应的图形是保证一旦满足基本图形不变量的约束。对于局部邻域由局部连通图的有限集生成的图，这些约束是必要且充分的。图的重建从基本的图不变量示出在这种限制的情况下是NP完全的。最后，我们应用这些结果制定的问题拉姆齐数的整数多面体问题的适度和可调的维数。
2008-12-11 math.AC math.CO
Grothendieck rings of polytopes and non-archimedean semi-algebraic sets
本文通过显式描述 Grothendieck 群，证明了 $Γ$-有理多面体在两类仿射变换下的分类等价性，肯定回答了 Hrushovski 和 Kazhdan 的基本问题，并给出了非阿基米德半代数集动机体积核的简单描述。
2024-02-18 math.AG math.CO math.LO
The $λ$-chain condition for unit interval determinantal fiber rings
The University of Osaka（大阪大学）
该研究证明了由有限分配格上直化律代数导出的有限偏序集满足λ-链条件，并简要探讨了其在交换代数中的应用
2026-10-16 math.AC math.CO
A basis for the diagonally signed-symmetric polynomials
设n>0为整数，B_{n}表示秩为n的超八面体群。群B_{n}作用于多项式环Q[ x_{1}，.，x_{n}，y_{1}，.，y_{n} ]通过同时对两组变量x_{1}，.，x_{n}和y_{1}，.，y_{n}。不变环M^{ B_{n} }：=Q[ x_{1}，.，x_{n}，y_{1}，.，^y_{n}}是对角符号对称多项式的环。在这篇文章中，我们提供了一个明确的自由基M^{ B_{n} }作为一个模块上的对称多项式环上的两个变量集x_{1} ^{2}，.，x^{2}_{n}和y_{1} ^{2}，.，y^{2}_{n}使用有符号下降单项式。
2013-03-20 math.CO math.RT
