Dot-product sets and simplices over finite rings

简单凸多胞体的复曲面上同调刚性

Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes

一个简单凸多胞体$P$是\emph{cohomologically rigid}，如果它的组合结构由$P$上的拟流形的上同调环决定。不是每个$P$都有这个性质，但是一些重要的多面体如单形或立方体是上同调刚性的。本文研究了多胞形的上同调刚性，并对几类新的多胞形，包括单形的乘积，建立了上同调刚性。$P$的上同调刚性与它的\emph{Stanley--Reisner ring}的\emph{bigraded Betti numbers}有关，后者是组合交换代数中的另一个重要不变量.

Coloring rings

A ring is a graph $R$ whose vertex set can be partitioned into $k \geq 4$ nonempty sets, $X_1, \dots, X_k$, such that for all $i \in \{1,\dots,k\}$, the set $X_i$ can be ordered as $X_i = \{u_i^1, \dots, u_i^{|X_i|}\}$ so that $X_i \subseteq N_R[u_i^{|X_i|}] \subseteq \dots \subseteq N_R[u_i^1] = X_{i-1} \cup X_i \cup X_{i+1}$. A hyperhole is a ring $R$ such that for all $i \in \{1,\dots,k\}$, $X_i$ is complete to $X_{i-1}\cup X_{i+1}$. In this paper, we prove that the chromatic number of a ring $R$ is equal to the maximum chromatic number of a hyperhole in $R$. Using this result, we give a po…

On the dot product graph of a commutative ring, II

In this paper, we study the unit dot graph of product of commutative rings

Dot Product Bounds in Galois Rings

We consider a problem related to the Erdoős Unit Distance Conjecture: How often can a single dot product configuration or a multiple dot product configuration occur over a Galoi Ring? We also find a bound on an inverse vector matrix multiplication problem.

有限域中的Pinned距离集、k-单形、Wolff指数及和积估计

Pinned distance sets, k-simplices, Wolff's exponent in finite fields and sum-product estimates

在有限域上的向量空间中的Falconer距离问题的一个模拟要求阈值$α>0$，使得当$|E| \gtrsim q^α$时，$|Δ(E)| \gtrsim q$，其中$E \subset {\Bbb F}_q^d$，具有$q$元素（不一定是素数）的有限域上的$d$维向量空间。这里是$Δ(E)=\{{(x_1-y_1)}^2+...+{(x_d-y_d)}^2: x,y \in E\}$。在二维空间中，我们将已知的指数改进为$\tfrac{4}{3}$，与Wolff在欧氏空间中得到的相应指数一致。在欧几里德设置中研究了引脚$y\in E$的引脚距离集$Δ_y(E)=\{{(x_1-y_1)}^2+...+{(x_d-y_d)}^2: x\in E\}$。Peres和Schlag证明，如果一个集合$E$的Hausdorff维数大于$\tfrac{d+1}{2}$，那么$Δ_y(E)$的Lebesgue测度几乎对每个引脚$y$都是正的。本文在有限域上得到了类似的结果。此外，同样的结果被证明是真的固定点积集$Π_y(E)=\{x\cdot y: x\in E\}$。在集合$E$具有叉积结构的附加假设下，我们将距离和点积的固定阈值改进为$\frac{d^2}{2d-1}$。Falconer距离问题的推广是确定最小$α>0$，使得$E$包含每个$k$维单形的全等副本，无论何时$|E| \gtrs…

On Weighted Simplicial Homology

We develop a framework for computing the homology of weighted simplicial complexes with coefficients in a discrete valuation ring. A weighted simplicial complex, $(X,v)$, introduced by Dawson [Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 31 (1990), pp. 229--243], is a simplicial complex, $X$, together with an integer-valued function, $v$, assigning weights to simplices, such that the weight of any of faces are monotonously increasing. In addition, weighted homology, $H_n^v(X)$, features a new boundary operator, $\partial_n^v$. In difference to Dawson, our approach is centered at a natural homomorphism $θ$…

交换环的点积图的性质

Properties of the Dot Product Graph of a Commutative Ring

设$R$是有单位元的交换环，$n\geq1$是整数.让$R^{n}=R\times\cdots\times R~(n~times)$。\textit{total dot product}图，用$TD(R,n)$表示，是以$R^{n}-\{(0,0,\ldots,0)\}$的元素为顶点的简单图，并且两个不同的顶点$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$相邻当且仅当$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}=0\in R$，其中$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$表示$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$的点积。在本文中，我们找到了$TD(R\times S,n)$的结构相对于$TD(R,n)$和$TD(S,n)$的结构。此外，我们还求出了这个图的顶点的度。我们确定它何时是正常的。假设$\mathbb{F}$是一个有限域。证明了若$TD(\mathbb{F},n)\simeq TD(R,m)$，则$n=m$和$R\simeq\mathbb{F}$ .还提出了一些关于控制数的结果。此外，我们给出了$TD(R,n)$的团和独立数的一些结果。证明了环$R$是有限的当且仅当它的独立数是有限的。最后，我们将所有的平面图在这个类。

满足$(S_2)$条件的非正规边环

Non-normal edge rings satisfying $(S_2)$-condition

本文构造了满足$(S_2)$条件的非正规边环，证明了在给定顶点数和边数范围内存在相应图。

模$p^{\ell}$整数环的几何构型

Geometric configurations in the ring of integers modulo $p^{\ell}$

研究了整数模$q$中Erd \H os距离问题和点积问题的变形，其中$q = p^{\ell}$是奇素数的幂.