Generalized Weak Galerkin Finite Element Methods for Biharmonic Equations
提出了求解双调和方程的广义弱Galerkin（gWG）有限元法，并对其进行了分析.在gWG格式中引入了一种新的广义离散弱二阶偏导数，允许任意组合定义在一般多边形或多面体单元内部和边界上的分段多项式函数。给出了离散H^2模和L^2模下的数值逼近的误差估计.数值结果表明，我们提出的双调和方程的gWG方法的准确性和灵活性。
2023-02-13 cs.NA math.NA
Virtual Elements for the Navier-Stokes problem on polygonal meshes
Università degli Studi di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）；Università degli Studi di Milano（米兰大学）
本文提出并分析了用于二维纳维-斯托克斯方程的虚拟元方法家族，提供了点wise无散度的离散速度场，并通过数值测试验证了方法的稳定性与最优收敛性。
2017-03-06 cs.NA math.NA
The fully nonconforming virtual element method for biharmonic problems
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche - CNR（意大利国家研究委员会应用数学与信息技术研究所）
本文提出一种任意阶精度的非匹配虚拟元方法，用于求解线性四阶椭圆问题，通过不连续函数空间获得最优误差估计并验证理论结果。
2016-11-26 cs.NA math.NA
$C^1$ virtual element methods on polygonal meshes with curved edges
本文提出一种任意阶$k \geq 2$的$C^1$协调虚拟元方法，用于求解二维曲边边界及内部曲边界面域上的双调和问题，通过引入稳定形式进行了严格的稳定性和收敛性分析，获得了能量范数下的最优误差估计，并通过数值实验验证了理论。
2025-05-29 cs.NA math.NA
A stabilized separation of variables method for the modified biharmonic equation
本文提出了一种在极坐标下解决修正生物谐波方程的分离变量方法，并引入新特殊函数以提高稳定性，结合快速算法加速复杂几何中的求解。
2017-10-15 cs.NA math.NA
Lowest-order Nonstandard Finite Element Methods for Time-Fractional Biharmonic Problem
本文研究了时间分数阶双调和方程初边值问题，建立了适定性与正则性结果，提出涵盖 Morley、间断 Galerkin 和 $C^0$ 内部惩罚方法的最低阶空间半离散格式，并证明了最优阶误差界，数值实验验证了理论收敛性。
2024-07-26 cs.NA math.NA
Conforming and non-conforming virtual element methods for the biharmonic Steklov eigenvalue problem with minimum regularity
Indian Institute of Technology-Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校）；King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Università di Pavia（帕维亚大学）；IMATI, Consiglio Nazionale delle Ricerche（国家研究委员会IMATI研究所）；Universidad Técnica Federico Santa María（费德里科·圣塔玛丽亚技术大学）
针对一般形状多边形域上的四阶Steklov特征值问题，提出协调和C^0非协调虚拟元方法，通过富化算子进行收敛分析，证明无伪特征值并得到最优收敛阶。
2026-06-16 cs.NA math.FA math.NA
Conforming Virtual Element Method for Biharmonic Poisson-Nernst-Planck Navier-Stokes systems
International School for Advanced Studies (SISSA)（高等师范学校）
针对四阶PNP-NS系统，提出协调虚拟元方法，通过H²-协调VEM、H¹-协调VEM和无散压力鲁棒VEM分别离散电势、浓度和速度，采用向后欧拉时间离散，证明解的存在唯一性并导出最优误差估计，数值实验验证理论收敛阶。
2026-06-17 cs.NA math.NA
A Least-Squares Weak Galerkin Method for the Biharmonic Cauchy Problem
University of Florida（佛罗里达大学）；University of Delaware（特拉华大学）
该研究针对双调和柯西问题，提出LS-WG有限元方法，将四阶方程重构为二阶耦合系统，消除inf-sup条件、适配多边形网格，理论上保证解的唯一性与最优误差，数值实验验证了方法的准确性与有效性。
2026-08-04 cs.NA math.NA
A continuous/discontinuous Galerkin method and a priori error estimates for the biharmonic problem on surfaces
Umeå University（于默奥大学）
本文提出了一种连续/间断有限元方法，用于求解嵌入R^3中的曲面上的四阶椭圆PDE的解，并在离散能量范数和L^2范数下给出了先验误差估计。
2016-02-10 cs.NA math.NA
Analysis of weak Galerkin mixed FEM based on the velocity--pseudostress formulation for Navier--Stokes equation on polygonal meshes
本文提出一种基于Banach空间的定常Navier–Stokes方程弱Galerkin混合有限元法，采用速度-伪应力公式，证明了解的适定性与先验误差估计，数值实验验证了方法性能与理论收敛阶。
2024-02-01 cs.NA math.NA
New approach for solving stationary nonlinear Navier-Stokes equations in non-convex domain
本文研究了在多边形区域中旋转和对流形式的定常非线性Navier-斯托克斯方程的数值解，该区域的边界上含有一个凹角，即大于$π$的角。该方法使我们能够获得一阶收敛的近似解的精确的一个关于网格步长h，而不管的凹角值。
2021-10-29 cs.NA math.NA
A posteriori error estimates for the stationary Navier Stokes equations with Dirac measures
在二维空间中，我们提出并分析了一个后验误差估计的有限元近似的静态Navier斯托克斯方程奇异源Lipschitz，但不一定是凸的，多边形区域。在连续解和离散解的小性假设下，我们证明了所设计的误差估计是可靠的和局部有效的。我们用数值例子说明了理论。
2019-10-09 cs.NA math.NA
An optimal piecewise cubic nonconforming finite element scheme for the planar biharmonic equation on general triangulations
本文对平面双调和方程提出了一种基于分段三次多项式（$P_3$）的有限元格式，该格式在一般形状规则三角剖分上具有能量模下的$\mathcal{O}(h^2)$收敛速度。研究了Dirichlet型和Navier型边值问题。该方案的基础是分段三次多项式空间，它可以在破坏$H^2$范数的情况下以$\mathcal{O}(h^2)$精度逼近$H^4$函数。此外，在新设计的空间上证明了一个等价的$(\nabla_h^2\ \cdot,\nabla_h^2\ \cdot)=(Δ_h\ \cdot,Δ_h\ \cdot)$，这在有限有限元空间上通常是不成立的。该有限元空间并不对应于一个用Ciarlet三元组定义的有限元;然而，一组局部支撑的基函数的有限元空间仍然被计算出来。有限元Stokes复形的概念在分析和基函数的构造中起着重要的作用。
2020-03-05 cs.NA math.NA
Analysis of fully discrete finite element methods for 2D Navier--Stokes equations with critical initial data
本文证明了用$L^2$为初值，在凸多边形区域上求解二维Navier-斯托克斯方程的全离散半隐有限元法在时间和空间上的一阶收敛性，无需额外的正则性假设或网格比条件.证明利用光滑的Navier-斯托克斯方程，一个适当的对偶参数，并在离散$L^2(0,t_m;H^1)$规范时，$t_m$是小于一些常数的数值解的小属性。数值例子支持理论分析。
2021-01-18 cs.NA math.NA
A low-order hybrid method for the variable-density incompressible Navier-Stokes equations
IMAG, Univ. Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学数学与计算机研究所）；Scuola Superiore Meridionale（南方高等学院）；School of Mathematics, Monash University（莫纳什大学数学系）
本文提出了一种低阶混合方法，用于求解可变密度不可压缩纳维-斯托克斯方程，支持通用网格和不匹配界面，并通过理论分析和数值测试验证了方法的稳定性与收敛性。
2026-01-20 cs.NA math.NA
Spline functions, the discrete biharmonic operator and approximate eigenvalues
Institute of Mathematics, The Hebrew University（希伯来大学数学研究所）；Department of Mathematics, Ort Braude College（奥尔布劳德学院数学系）
本文研究了样条函数与离散双调和算子之间的强关联，揭示了双调和算子在网格函数上的作用与三次样条函数的四阶分布导数的关系，并证明了离散双调和算子的特征值以最优的O(h^4)速率收敛到连续情况下的特征值。
2017-11-30 cs.NA math.NA
Pressure-robust staggered DG methods for the Navier-Stokes equations on general meshes
本文在多边形网格上设计并分析了求解定常Navier-斯托克斯方程的任意多项式阶交错间断Galerkin方法。速度的精确无发散条件在没有任何后处理的情况下得到满足。所得到的方法是压力鲁棒的，使得压力近似不影响速度近似。提出了一个新的非线性对流项，使其具有非负性。证明了所有变量在$L^2$范数下的最优收敛估计。此外，假设强迫项的旋转部分足够小，我们能够证明速度误差与雷诺数和压力无关。此外，在适当的投影下，速度可以达到超收敛。数值实验验证了理论结果，并证明了所提出的方法的性能。
2021-07-20 cs.NA math.NA
Fourier heuristic PINNs to solve the biharmonic equations based on its coupled scheme
本文提出Fourier启发式增强的PINN（FCPINN），通过将高阶双调和方程分解为两个Poisson方程并结合Fourier谱理论与降阶格式，显著提升了求解精度与计算效率，在速度与精度上优于传统PINN和MIM方法。
2025-09-18 cs.NA math-ph math.MP
The Morley-type virtual element method for the Navier-Stokes equations in stream-function form on general meshes
设计了求解单连通多边形区域（不一定是凸区域）上以流函数表示的不可压Navier-斯托克斯方程的Morley型虚元方法。一个严格的分析，使用一个新的丰富的运营商。更准确地说，通过使用这样的操作，我们提供了新的离散Sobolev嵌入，允许建立的离散计划的适定性，并获得最佳的误差估计在破碎的$H^2$ -，$H^1$ -和$L^2$ -范数下的最小正则性条件下的弱解。速度场和涡量场通过后处理公式恢复。在此基础上，提出了一种基于Stokes复序列的压力恢复算法。最佳的误差估计得到所有的后处理变量。最后，通过几个基准测试，验证了理论误差界和该方法的良好性能。
2022-12-05 cs.NA math.NA
Towards $C^0$ finite element methods for fourth-order elliptic equation. Part I: general boundary conditions
Xiangtan University（湘潭大学）；Wayne State University（韦恩州立大学）；The University of Texas at El Paso（德克萨斯大学埃尔帕索分校）
本文提出了一种改进的混合格式，用于解决四阶椭圆方程的$C^0$有限元方法，适用于任意多边形域和一般边界条件。
2026-02-04 cs.NA math.NA
A Hybrid High-Order method for Kirchhoff-Love plate bending problems
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, CNRS, Univ. Montpellier（亚历山大·格罗滕迪克蒙彼利埃研究所，法国国家科学研究中心，蒙彼利埃大学）；LMS, Ecole Polytechnique, CNRS, Université Paris-Saclay（巴黎综合理工学院，法国国家科学研究中心，巴黎萨克雷大学）
本文提出了一种新型混合高阶方法，用于求解源于Kirchhoff-爱因斯坦板弯曲行为的四阶椭圆问题，包括双调和方程作为特例。该方法支持在一般多边形网格上任意逼近阶数，并在每个元素内局部重现关键力学平衡关系。
2018-01-24 cs.NA math.NA
Divergence-free and mass-conservative virtual element methods for the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system
本文提出了一种无散度和质量守恒的虚拟元方法，用于求解纳维-斯托克斯-卡亨-希尔利德系统，实现了高阶精度和能量界的保持。
2026-01-26 cs.NA math.NA
Continuous finite element subgrid basis functions for Discontinuous Galerkin schemes on unstructured polygonal Voronoi meshes
提出了一种新的高精度节点间断Galerkin（DG）方法，用于求解非结构多边形Voronoi网格上的非线性双曲型偏微分方程（PDE）.在我们的新方法中，每个Voronoi元素内的N次多项式分段连续的多项式表示的离散解，而不是使用经典的多项式内的每个元素的次数N，使用连续的有限元的基础上定义的子网格内的每个多边形。我们称之为凝聚的有限元（AFE）的DG方法的基础上一般多边形，因为它是由凝聚的有限元基函数与次网格三角形。每个子三角形上的基函数通常在通用参考单元上定义，因此允许在仅用于参考单元的预处理阶段中一次性地计算子网格三角形的通用质量、通量和刚度矩阵。因此，一个有效的无正交算法的建设是可能的，尽管计算网格的非结构化性质。由于ADER方法，利用局部时空有限元有限元预测器，实现了时间上的高精度。新的计划进行了仔细验证，对一组典型的基准问题的可压缩欧拉和斯托克斯方程。数值结果已检查与参考文献中的解决方案，并系统地比较，在计算效率和精度方面，与相应的模式DG版本的计划。
2022-05-29 cs.NA math.NA
A Reynolds-semi-robust and pressure robust Hybrid High-Order method for the time dependent incompressible Navier--Stokes equations on general meshes
本研究针对不可压缩Navier--Stokes方程，提出一种Reynolds半鲁棒、压力鲁棒的混合高阶（HHO）离散格式，通过对流项子网格投影惩罚项实现半鲁棒性，收敛阶达$h^{k+\frac12}$，经二维多边形网格数值验证。
2024-09-11 cs.NA math.NA
Error indicators and adaptivity for a least-squares method applied to the Monge-Ampère equation
Geneva School of Business Administration (HEG-GENÈVE), University of Applied Sciences and Arts Western Switzerland (HES-SO)（日内瓦商业管理学院（HEG-GENÈVE），瑞士西部应用科学艺术大学（HES-SO））；Institute of Mathematics, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院数学研究所）
针对Monge-Ampère方程的最小二乘求解器，提出后验误差指示器与自适应网格细化策略，数值试验验证了其有效性。
2026-09-30 cs.NA math.NA
Quasi-Monte Carlo finite element approximation of the Navier-Stokes equations with initial data modeled by log-normal random fields
本文针对初值为对数正态随机场的Navier-Stokes方程，结合有限元全离散、截断Karhunen-Loéve展开和随机移位格点拟蒙特卡罗方法计算解的线性泛函期望，并证明了误差以$\mathcal{O}(N^{-1+δ})$衰减且与积分维数无关。
2025-01-06 cs.NA math.NA
Mixed finite elements for Kirchhoff-Love plate bending
提出一种用于Kirchhoff-Love板弯曲的混合有限元方法，通过构建低维局部空间与自由度实现协调性并支持多种边界条件，证明了拟最优收敛性，推导了后验误差估计子，数值结果验证了收敛速率与自适应算法性能。
2024-05-29 cs.NA math.NA
Penalty method for the Navier-Stokes-Fourier system with Dirichlet boundary conditions: convergence and error estimates
本文针对带Dirichlet边界条件的可压缩Navier-Stokes-Fourier系统，提出将流体区域嵌入立方体域的惩罚有限体积法，证明数值解弱收敛到耗散测度值解，并在强解存在时获得1/4至最优1/2速率的强收敛结果。
2023-08-07 cs.NA math.NA
Stream function -- pressure virtual element methods for the Stokes--Darcy interface problem
Università degli studi di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）；Indian Institute of Technology Palakkad（帕拉克德印度理工学院）；Universidad del Bío-Bío（比奥比奥大学）；Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）；Monash University（蒙纳士大学）
提出一种原始-原始形式耦合Stokes-Darcy系统的虚拟元方法，通过流函数公式满足不可压缩性并降低计算成本，利用VEM处理多边形网格适应不规则界面，数值验证了死端过滤和生物人工器官网络流动等应用。
2026-07-07 cs.NA math.NA
Numerical and convergence analysis of the stochastic Lagrangian averaged Navier-Stokes equations
本文的主要工作是在R^d，d $\in$ {2，3}的有界多边形（或多面体）区域内，在非周期边界条件下，发展一种基于有限元的时空离散方法，求解不可压缩流体湍流的随机拉格朗日平均Navier-Stokes（LANS- $α$）方程。研究了全离散数值格式的收敛性分析，并根据空间尺度$α$将其分为两种情况，即首先假设$α$受空间离散步长的控制，使其在达到极限时消失，然后在$α$固定的情况下给出另一种研究方法.在$α$和离散化参数的统一估计进行了初步分析。从随机LANS- $α$模型出发，当$α$在极限处为零时，我们得到了二维随机Navier-斯托克斯方程的连续强解的收敛性.另外，当$α$固定时，随机LANS- $α$模型的连续强解是收敛的.
2021-10-29 cs.NA math.AP math.NA
A posteriori error estimators for fourth order elliptic problems with concentrated loads
本文针对集中载荷下的双调和方程，提出两种基于残差的 $C^0$ 内部惩罚法后验误差估计子，严格证明其有效性与可靠性，并通过数值实验验证了鲁棒性。
2024-08-28 cs.NA math.NA
New analysis of Mixed finite element methods for incompressible Magnetohydrodynamics
本文研究了一类稳态不可压磁流体力学混合有限元方法的误差分析，该方法采用Navier-斯托克斯方程的标准inf-sup稳定速度-压力空间对和磁场的Nédélec棱边元。在过去的几十年中，该方法已被广泛应用于各种数值模拟中，但由于系统的强耦合性和低阶Nédélec边近似在分析中的污染，现有的分析方法并不是最优的。根据一个新的修改麦克斯韦投影，我们建立了新的和最佳的误差估计。特别地，我们证明了基于常用的Taylor-Hood/最低阶Nédélec边缘元的方法是有效的，并且该方法提供了二阶精度的数值速度。给出了凸多边形域和非凸多边形域中该问题的两个数值例子。数值结果证实了我们的理论分析。
2023-03-21 cs.NA math.NA
H(curl)-based approximation of the Stokes problem with slip boundary conditions
Faculty of Mathematics, University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学数学学院）；SAM, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院应用数学系）；Department of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学系）
本文基于H(curl)空间重构不可压缩斯托克斯方程，解决滑移边界条件处理问题，证明连续问题的适定性，并提出符合有限元方法，验证了理论预测的最优收敛率。
2026-03-20 cs.NA math.NA
Optimal-rate Lagrange and Hermite finite elements for Dirichlet problems in curved domains with straight-edged triangles
有限元法成功的原因之一是它能处理不同类型的几何图形。这是特别真实的问题中提出的任意形状的弯曲域。在二阶边值问题的Dirichlet条件规定的曲线边界的情况下，方法的等参版本的网格组成的曲线三角形或四面体已主要用于恢复最优逼近属性，已知持有的顺序大于一个基于标准的直边元素的方法，在多边形或多面体域的情况下。然而，除了代数和几何的不便，等参技术的范围是有限的，因为它的扩展到自由度以外的函数值是不简单的。本文的目的是研究一个简单的替代方案，绕过上述缺点，而不侵蚀定性近似性能。在其他优点中，该技术可以不使用曲线元素，并且仅基于多项式代数。它首先说明的情况下，对流-扩散方程解决了标准的拉格朗日元素。然后将其应用于具有Dirichlet边界条件的双调和方程的Hermite元解。
2019-11-12 cs.NA math.NA
Nonconforming Finite Element Discretisation for Semilinear Problems with Trilinear Nonlinearity
Morley有限元法（FEM）是求解二维Navier-Stokes问题的流函数涡量列式和vonKármán方程中以双调和算子为主导项的半线性问题的一种很有吸引力的方法。本文对具有三线性非线性项的半线性问题，在连续水平上建立了离散解逼近任意正则解的最佳逼近先验误差分析和后验误差分析.该分析避免了对数据的任何小假设，因此必须通过扰动分析提供离散稳定性，然后牛顿-康托洛维奇定理才能提供离散解的存在性。一个抽象的框架的稳定性分析的离散运营商从介质分析导致新的结果，二阶线性非自伴和不定椭圆问题与$L^\infty$系数的Crocrouzeix-Raviart有限元。本文首先在一个抽象的框架下，然后在两个半线性应用中，给出了一类半线性椭圆型问题协调离散和非协调离散的局部先验和后验差错控制的六个参数和充分条件.这将导致新的最佳逼近误差估计和~后验误差估计方面的明确剩余为基础的差错控制的符合和Morley有限元。
2019-12-18 cs.NA math.NA
Numerical Analysis of 2D Stochastic Navier--Stokes Equations with Transport Noise: Regularity and Spatial Semidiscretization
本文研究了带有传输噪声的二维随机纳维-斯托克斯方程的数值分析，通过引入新的平滑算子，解决了低正则性问题，得出了空间半离散化的均方收敛估计。
2025-12-12 cs.NA math.NA math.PR
Nonconforming virtual element methods for fourth-order nonlinear reaction-diffusion systems: a unified framework and analysis
Indian Institute of Technology-Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校）；Universidad del Bío-Bío（比奥比奥大学）；Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）
本文提出了一种统一框架，用于设计和分析高阶非配准虚拟元方法，用于解决二维非线性四阶反应-扩散问题，并验证了方法在不同边界条件下的有效性。
2026-02-15 cs.NA math.NA
An all Mach number semi-implicit hybrid Finite Volume/Virtual Element method for compressible viscous flows on Voronoi meshes
本研究提出一种基于Voronoi网格的半隐式混合有限体积/虚拟元格式，通过通量分裂求解可压缩Navier-Stokes方程，解除时间步长对压力波与粘性项的限制，兼具全局能量守恒与高阶精度，适用于全马赫数复杂域流动问题。
2024-05-22 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
A new family of semi-implicit Finite Volume / Virtual Element methods for incompressible flows on unstructured meshes
提出一类用于非结构网格上不可压缩流的高阶半隐式FV/VEM格式，通过FV处理显式项、VEM处理隐式项，结合IMEX Runge-Kutta时间离散，实现了渐近保持与平衡保持，且时间步长稳定性条件仅依赖于流体速度。
2023-04-15 cs.CE cs.NA math.NA
Nonconforming Virtual Element basis functions for space-time Discontinuous Galerkin schemes on unstructured Voronoi meshes
提出一类在非结构化 Voronoi 网格上求解非线性守恒律的 VEM-DG 方法，利用非协调虚拟元基函数与 ADER 时空离散，实现任意高阶精度，并通过 Euler/Navier-Stokes 基准验证了其准确性和效率。
2023-09-06 cs.CE cs.NA math.NA
