Heisenberg 群上的共形不变微分算子与极小表示
Conformally invariant differential operators on Heisenberg groups and minimal representations
AI总结：
本文研究了带有 Heisenberg 抛物子群的单实 Lie 群的退化主级数表示，通过 Heisenberg 群 Fourier 变换在 $L^2$-函数空间上统一构造了极小表示的新模型，并给出了最低 $K$-型与 Weyl 群作用的显式公式。
摘要：
对于一个带有 Heisenberg 抛物子群 $P$ 的单实 Lie 群 $G$，我们研究了相应的退化主级数表示。对于特定的诱导参数，由 Barchini、Kable 和 Zierau 构造的二阶共形不变微分算子系统的核是一个子表示，且最终被证明是极小表示。为了研究该子表示，我们在非紧致图景下采用 Heisenberg 群 Fourier 变换，并证明它在 $L^2$-函数空间上给出了极小表示的一个新实现。Lie 代数作用由阶数 $\leq3$ 的微分算子给出，并且我们找到了构成最低 $K$-型函数的显式公式。这些 $L^2$-模型此前已为人所知：Kazhdan 和 Savin 针对群 $\operatorname{SO}(n,n)$、$E_{6(6)}$、$E_{7(7)}$ 和 $E_{8(8)}$，Gelfand 针对群 $G_{2(2)}$，Torasso 针对群 $\widetilde{\operatorname{SL}}(3,\mathbb{R})$，他们使用了不同的方法。我们的新方法对这些情况提供了统一且系统的处理，并且为 $E_{6(2)}$、$E_{7(-5)}$ 和 $E_{8(-24)}$ 构造了新的 $L^2$-模型（对于这些群，极小表示是四元数离散级数的延拓），还为满足 $p\geq q=3$ 或 $p,q\geq4$ 且 $p+q$ 为偶数的群 $\widetilde{\operatorname{SO}}(p,q)$ 构造了新模型。作为我们构造的一个副产品，我们找到了一个非平凡 Weyl 群元素群作用的显式公式，该元素与抛物子群的简单作用共同生成了 $G$。
英文摘要：
For a simple real Lie group $G$ with Heisenberg parabolic subgroup $P$, we study the corresponding degenerate principal series representations. For a certain induction parameter the kernel of the conformally invariant system of second order differential operators constructed by Barchini, Kable and Zierau is a subrepresentation which turns out to be the minimal representation. To study this subrepresentation, we take the Heisenberg group Fourier transform in the non-compact picture and show that it yields a new realization of the minimal representation on a space of $L^2$-functions. The Lie algebra action is given by differential operators of order $\leq3$ and we find explicit formulas for the functions constituting the lowest $K$-type. These $L^2$-models were previously known for the groups $\operatorname{SO}(n,n)$, $E_{6(6)}$, $E_{7(7)}$ and $E_{8(8)}$ by Kazhdan and Savin, for the group $G_{2(2)}$ by Gelfand, and for the group $\widetilde{\operatorname{SL}}(3,\mathbb{R})$ by Torasso, using different methods. Our new approach provides a uniform and systematic treatment of these cases and also constructs new $L^2$-models for $E_{6(2)}$, $E_{7(-5)}$ and $E_{8(-24)}$ for which the minimal representation is a continuation of the quaternionic discrete series, and for the groups $\widetilde{\operatorname{SO}}(p,q)$ with either $p\geq q=3$ or $p,q\geq4$ and $p+q$ even. As a byproduct of our construction, we find an explicit formula for the group action of a non-trivial Weyl group element that, together with the simple action of a parabolic subgroup, generates $G$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
