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arXiv 2012.00528math.PRmath.NT
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关于Dickman分布概率模型的强几乎几乎必然局部极限定理

On strong and almost sure local limit theorems for a probabilistic model of the Dickman distribution

Régis de la Bretèche, Gérald Tenenbaum

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摘要：

令$\{Z_k\}_{k\geqslant 1}$表示由${\mathbb P}(Z_k=1)=1/k=1-{\mathbb P}(Z_k=0)$ $(k\geqslant 1)$定义的独立伯努利随机变量序列，并将$T_n:=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}kZ_k$。然后已知$T_n/n$弱收敛于密度与Dickman函数成比例的实随机变量$D$，其由具有初始条件$\varrho(u)=1$ $(0\leqslant u\leqslant 1)$的延迟微分方程$u\varrho'(u)+\varrho(u-1)=0$ $(u>1)$定义。改进早期的工作，我们提出了相应的局部和几乎必然极限定理的渐近公式与逼近。

英文摘要：

Let $\{Z_k\}_{k\geqslant 1}$ denote a sequence of independent Bernoulli random variables defined by ${\mathbb P}(Z_k=1)=1/k=1-{\mathbb P}(Z_k=0)$ $(k\geqslant 1)$ and put $T_n:=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}kZ_k$. It is then known that $T_n/n$ converges weakly to a real random variable $D$ with density proportional to the Dickman function, defined by the delay-differential equation $u\varrho'(u)+\varrho(u-1)=0$ $(u>1)$ with initial condition $\varrho(u)=1$ $(0\leqslant u\leqslant 1)$. Improving on earlier work, we propose asymptotic formulae with remainders for the corresponding local and almost sure limit theorems.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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