Convergence of the Lasserre Hierarchy of SDP Relaxations for Convex Polynomial Programs without Compactness
半定规划（SDP）松弛的Lasserre层次是一个有效的计划，寻找计算上可行的多项式优化的SDP近似紧半代数集。在本文中，我们表明，凸多项式优化，Lasserre层次与一个稍微扩展的二次模总是渐近收敛，即使在面对非紧的半代数可行集。我们这样做，利用凸多项式的bavity属性，下面有界。我们进一步建立，在鞍点（而不是在每个极小的目标函数）的相关拉格朗日的Hessian的正定性保证有限收敛的层次。首先在鞍点条件下建立了凸半代数集上凸多项式的平方和多项式表示，得到了有限收敛性。最后，我们证明了凸多项式规划的拉格朗日量的鞍点的存在性也是该族具有有限收敛性的必要条件。
2013-06-27 math.OC
SDP bounds on the stability number via ADMM and intermediate levels of the Lasserre hierarchy
针对 Lasserre 层次结构 SDP 规模大、内点法难解的问题，本文用 ADMM 求解，并基于 Lovász theta 解选择二次单项式构造 1 到 2 级之间的中间松弛，以合理时间获得更强的稳定数界。
2025-06-10 math.OC
Convergence analysis of a Lasserre hierarchy of upper bounds for polynomial minimization on the sphere
我们研究了收敛速度的一个层次的上界多项式最小化问题，提出了Lasserre [SIAM J。21（3）（2011），pp. 864-885]，对于可行集是单位（超）球的特殊情况。当密度函数是关于表面测度的次数至多为2 r的平方和多项式时，层次结构的r级上界被定义为球面上所有概率分布上多项式的最小期望值。我们证明了精确的收敛速率是Theta（1/r^2），并探讨了球上矩的广义问题的相关收敛速率的含义。
2019-04-18 math.OC
The Lasserre hierarchy for equiangular lines with a fixed angle
本文通过Lasserre层级第二、三层及正交群与一般线性群表示的联系，计算球面有限距离问题，并给出等角线最大数量的新线性界。
2023-09-04 math.CO math.MG math.OC
Lasserre Hierarchy for Graph Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability
本文将图同构的 Lasserre 层级第 t 层刻画为图族上的同态不可区分性，并据此证明其与 Sherali–Adams 第 3t 层强度等价且界限最优，还给出逻辑、着色算法及多项式时间判定刻画。
2024-08-30 cs.CC cs.DM cs.LO
Convergence analysis for Lasserre's measure--based hierarchy of upper bounds for polynomial optimization
考虑紧集K上的连续函数f的极小化问题。我们分析了层次结构的上界提出的Lasserre在[SIAM J. Optim. 21（3）（2011），pp. 864- 885]，通过在作为多项式平方和的K上搜索最佳概率密度函数h，使得期望值$\int_{K}f(x)h(x)dx$最小化而获得。我们表明，收敛速率并不比$O(1/\sqrt{r})$差，其中2 r是密度函数上的度界。这种分析适用于f是Lipschitz连续的情况，并且K是满足某些边界条件的全维紧集（满足，例如，对于凸体）。如果f是d次多项式，并且K上的勒贝格测度的所有阶数直到2 r +d的矩都是已知的，例如K是单纯形、超立方体或欧几里得球，则可以使用半定规划来计算层次中的第r个上界。
2015-09-08 math.OC
Revisiting the convergence rate of the Lasserre hierarchy for polynomial optimization over the hypercube
本文研究超立方体上多项式优化的 Lasserre 层级收敛率，采用多项式核方法得到与已有 $1/r$ 结果相近的结论，并指出该方法具有 $1/r^2$ 阶下界。
2025-10-06 math.OC
Convergence Rates for Lasserre's Upper-Bound Hierarchy on $\mathbb{R}^d$ with Gaussian Measure
Tilburg University（蒂尔堡大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；University of Primorska（沿海大学）
该研究针对R^d上基于高斯测度的Lasserre上界层级，证明了其在多项式达到全局下确界时的收敛速率为O(1/r)，且该速率最优，未达下确界时收敛速率可任意慢，给出了非紧域上该层级的首个显式收敛速率。
2026-10-16 math.OC math.PR
Polynomial Optimization with Real Varieties
本文研究了多项式约束h（x）=0，g（x）>=0下极小化多项式f（x）的最优化问题. Lasserre的层次结构是一个序列的平方和松弛寻找全局极小值。设K为可行集。证明了：i）若实簇V_R（h）是有限的，则Lasserre族有有限收敛，而不管复簇V_C（h）是否有限。这解决了Laurent调查中的一个悬而未决的问题。ii）如果K和V_R（h）有相同的消失理想，则Lasserre族的有限收敛性与实簇V_R（h）定义多项式的选择无关。iii）当K是有限的时，Lasserre层次的改进版本（使用g的预序）具有有限收敛性。
2013-06-04 math.OC
Convergent Lifted Lasserre Hierarchy of SDPs for Minimizing Expectation of Piecewise Polynomial Loss over Wasserstein Balls
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Brunel University of London（伦敦布鲁内尔大学）
本文提出了一种收敛的提升Lasserre层级SDP方法，用于在Wasserstein球上最小化分段多项式损失的期望，通过结构化SOS表示和凸多项式条件实现有限收敛。
2026-02-24 math.OC
Verifying Global Optimality of Candidate Solutions to Polynomial Optimization Problems using a Determinant Relaxation Hierarchy
我们提出了一种方法来验证一个给定的可行点的多项式最优化问题是全局最优的。该方法依赖于Lasserre层次结构和Lasserre关于凸性的重要性的结果的可行集，而不是个人的约束。通过只专注于证明全局最优性和放松Lasserre层次结构使用必要条件的正半定性的基础上矩阵行列式，所提出的方法是可实现的计算易处理的线性规划。我们证明了这种方法通过应用程序的多项式优化，包括用于操作电力系统的最优潮流问题的几个实例。
2021-01-03 math.OC
On the hardness of deciding the finite convergence of Lasserre hierarchies
本文证明除非P=NP，否则不存在多项式时间算法能判定Lasserre层级是否有限收敛，并基于Motzkin-Straus公式对图稳定数的刻画完成证明。
2024-01-23 math.OC
Near-optimal analysis of Lasserre's univariate measure-based bounds for multivariate polynomial optimization
我们考虑了Lasserre（arXiv：1907.097784，2019）最近提出的紧集$K \subseteq \mathbb{R}^n$上多项式$f$最小化的上近似层次。这个层次依赖于使用的推进措施的勒贝格措施$K$的多项式$f$，并涉及单变量的平方和多项式的增长度$2r$。因此，它比Lasserre的早期层次结构更弱，但计算成本更低（SIAM Journal on Optimization 21（3），864- 885，2011），它使用多元平方和。我们证明了，只要$K$满足一个温和的几何条件，这个新的层次结构就以$O(\log^2 r / r^2)$的速率收敛到$f$的全局最小值，例如，对于凸体和具有稠密内部的紧半代数集。作为一个应用程序，这种收敛速度也适用于更强的层次结构的基础上，多元平方和，提高和扩展早期的收敛结果，更广泛的一类紧集。此外，我们证明了我们的分析是近最优的证明上的收敛速度在$Ω(1/r^2)$为一类多项式的$K=[-1,1]$，通过利用连接到正交多项式。
2020-12-03 math.OC
Convergence rates of RLT and Lasserre-type hierarchies for the generalized moment problem over the simplex and the sphere
本文研究了单形和球面上的广义矩问题。这是一个丰富的设置，它包含NP难问题作为特殊情况，如构造最优容积计划和合理优化。利用重构线性化技术（RLT）和Lasserre型层次，松弛的问题进行了介绍和分析。对于我们的分析，我们假设在整个存在的对偶最优解以及强对偶。对于GMP的单纯形，我们证明了一个收敛速度$O(1/r)$的线性规划，RLT型层次，其中$r$是层次的水平，使用定量版本的Pólya的Positivstellenetry。作为Fang和Fawzi最近结果的扩展[Math. Program.，2020，https：//doi.org/10.1007/s10107-020-01537-7]我们证明了GMP的Lasserre层次结构[Math. Program.，Vol.112，65-92，2008]在球面上的收敛速度为$O(1/r^2)$。此外，我们还证明了引入的线性RLT-松弛是由de Klerk，Laurent和Parrilo [J. Theoretical Computer Science，Vol.361，210-225，2006]引入的单形上的最小化度$d$形式的层次结构的推广。
2021-03-04 math.OC
Integrality Gaps of Linear and Semi-definite Programming Relaxations for Knapsack
本文研究了背包线性规划在Sherali-Adams和Lasserre层次上的完整性间隙。首先，我们证明了2 - ε的完整性间隙持续到Sherali-Adams的线性轮数，尽管Knapsack允许完全多项式时间近似方案[27，33]。第二，我们表明，拉塞尔层次结构迅速关闭的差距。具体地，在t轮Lasserre之后，完整性间隙减小到t/（t - 1）。据我们所知，这是第一个在Lasserre层次结构中使用超过少量轮数的正结果。我们的证明使用的拉塞尔层次结构，这可能是独立的利益的分解定理。
2010-07-08 cs.CC cs.DM math.OC
A Bounded Degree Lasserre Hierarchy with SOCP Relaxations for Global Polynomial Optimization and Applications
本文提出了一种新的收敛的松弛锥规划族，它同时包含半定锥和二阶锥约束，用于求解非凸多项式最优化问题的全局最优解.这个层次结构的意义在于，松弛的半定和二阶锥约束的大小和数量是固定的，并且与层次结构中近似的步骤或级别无关。使用Krivine-Stengle的证书的积极性在真正的代数几何，我们建立的收敛的层次的松弛，延长最近所谓的有界度Lasserre层次。特别地，我们还提供了一个收敛的有界度二阶锥规划（SOCP）的层次解决多项式最优化问题。然后，我们提出了有限收敛的SOCP层次的两类多项式最优化问题的第一步：一个子类的凸多项式最优化问题的目标和约束函数是SOCP凸多项式，定义在特殊结构的平方和多项式，一类多项式最优化问题，涉及基本上非正系数的多项式。在一步收敛的情况下，与SOCP-凸多项式的问题，我们展示了如何从松弛通过Jensen的不等式的SOCP-凸多项式的整体解决方案。作为应用，我们导出了锥-凸半代数规划的相应收敛锥线性规划族。当锥凸规划的半代数集由凸多项式不等式描述时，我们进一步证明了在一个约束规格下，松弛问题的值收敛于凸规划及其Lagrange对偶的公共值.
2018-09-18 math.OC
Exactness and Effective Degree Bound of Lasserre's Relaxation for Polynomial Optimization over Finite Variety
本文研究了多项式优化中 Lasserre 矩-SOS 层级的有效次数界问题，在无穷远无解和最优解非奇异的条件下推导出精确性的有效次数界，并首次给出通用条件下梯度型 SOS 松弛的显式次数界。
2025-05-31 math.OC
Computational Analysis of Sparsity-Exploiting Moment Relaxations of the OPF Problem
由于有可能找到全局解，非凸最优潮流问题的凸松弛问题引起了广泛的研究兴趣。最近，从Lasserre层次多项式优化的“基于矩”松弛已被证明能够全局解决一类广泛的OPF问题。许多大规模的测试用例的全局解决方案是通过利用稀疏性和选择性地应用计算密集型高阶松弛约束。以前的工作描述了一个迭代算法，表明总线的高阶约束应强制执行。为了加快计算的时刻松弛，本文提供了一个研究的关键参数，在这个算法中应用到松弛从原来的Lasserre层次和最近的复杂扩展的Lasserre层次。
2016-03-16 math.OC
Lasserre Integrality Gaps for Graph Spanners and Related Problems
最近在用于近似图空间的算法上已经有了显著的进展，即，算法的近似最好的一个给定的输入图的搜索。基本上所有这些算法都使用相同的基本LP松弛，因此各种论文都研究了这种方法的局限性，并证明了这种LP在各种设置中的完整性差距。我们扩展这些结果表明，即使是最强的升降机和项目的方法不能帮助显着，证明多项式的完整性差距，即使是$n^{Ω(ε)}$级别的Lasserre层次结构，为有向和无向的问题。我们还将这些完整性差距扩展到相关问题，特别是定向施泰纳网络和浅光施泰纳网络。
2019-05-17 cs.CC cs.DS math.OC
A Sublevel Moment-SOS Hierarchy for Polynomial Optimization
我们引入了一个子级矩SOS层次结构，其中每个SDP松弛可以被看作是一个中间（或插值）之间的第d和（d+1）阶SDP松弛的矩SOS层次结构（密集或稀疏版本）。通过灵活选择确定SDP松弛中子集的大小（级别）和数量（深度），能够基于机器存储容量获得与d阶松弛相比不同的改进。特别是，我们提供了d=1和组合优化（最大割，混合整数规划）和深度学习（鲁棒性认证，神经网络的Lipschitz常数）中各种类型问题的数值实验，其中标准Lasserre松弛（或其稀疏变体）在计算上是难以处理的。在我们的数值结果中，从次能级松弛的下界提高了从Shor的松弛（一阶Lasserre的松弛）的界限，并显着更接近最优值或最知名的下限/上界。
2021-01-13 math.OC
The Saddle Point Problem of Polynomials
本文研究多项式的鞍点问题。我们给出了一个计算鞍点的算法。它是基于解决Lasserre的层次的半定松弛。在定义多项式的一些一般性假设下，我们证明了：i）如果存在鞍点，我们的算法可以通过求解有限个Lasserre型半定松弛来得到一个鞍点; ii）如果不存在鞍点，我们的算法可以检测到它的不存在。
2021-06-08 math.OC
Application of Polynomial Optimization to Electricity Transmission Networks
输电系统运营商需要调整他们的决策工具，以适应二十一世纪的技术发展。大多数工具固有的计算寻求找到最小化功率损耗或发电成本的交流功率流。在数学上，它存在于一个最优化问题中，该问题可以仅使用复数的加法和乘法来描述（即复多项式优化）。本文的目标是寻找全局最优的可行点。这个合作博士项目的成果之一是将拉萨尔层次结构转置为复数。我们用它来计算全球最优潮流在欧洲高压输电网络。它是一个稀疏的非凸二次约束二次规划，有几千个变量和约束。当应用于最优潮流问题时，复杂的层次结构通常比Lasserre层次结构更易于处理。
2016-08-12 math.OC
Counterexample to global convergence of DSOS and SDSOS hierarchies
我们展示了一个凸多项式最优化问题的对角占优平方和（DSOS）和缩放对角占优平方和（SDSOS）的层次，分别基于线性规划和二阶圆锥规划，不收敛到全局下确界。r-DSOS和r-SDSOS层次结构也是如此。这驳斥了文献中的说法，即DSOS和SDSOS层次结构可以解决任何多项式最优化问题任意精度。与此相反，基于半定规划的Lasserre层次产生的全局下确界和全局极小与一阶松弛。我们进一步观察到SDSOS层次的对偶是矩层次，其中每个半正定约束被放松到所有必要的二阶圆锥约束。因此，二阶圆锥约束的数量在Lasserre层次结构中的半正定约束的大小的函数中二次增长。与反例一起，这表明DSOS和SDSOS不一定比平方和更容易处理。
2018-06-24 math.OC
Improved convergence rates for Lasserre-type hierarchies of upper bounds for box-constrained polynomial optimization
考虑超立方体$[-1,1]^n$上的给定$n$ -变量多项式$f$的极小化问题. Lasserre提出的一个想法是找到$[-1,1]^n$上的概率分布，其中多项式密度函数$h$（给定次数$r$）使期望值$\int_{[-1,1]^n} f(x)h(x)dμ(x)$最小化，其中$dμ(x)$是$[-1,1]^n$上支持的固定有限Borel测度。已知对于勒贝格测度$dμ(x) = dx$，如果$h$是平方和密度，则可以示出误差界$O(1/\sqrt{r})$，并且如果$h$是β分布的密度，则可以示出$O(1/r)$误差界。在本文中，我们证明了$O(1/r^2)$的一个误差界，如果$dμ(x) = \left(\prod_{i=1}^n \sqrt{1-x_i^2} \right)^{-1}dx$（正交多项式研究中的著名测度），并且$h$关于$[-1,1]^n$具有Schmüdgen型表示，这是一个比平方和更一般的条件.收敛速度分析依赖于多项式核理论，特别是杰克逊核。我们还表明，由此产生的上界可以计算为广义本征值问题，也是平方和密度的情况。
2017-06-30 math.OC
Improved convergence analysis of Lasserre's measure-based upper bounds for polynomial minimization on compact sets
我们考虑了在紧集$K \subseteq \mathbb{R}^n$上计算多项式$f$的最小值$f_{\min,K}$的问题，它可以转化为在$K$上寻找概率测度$ν$使$\int_K f dν$最小. Lasserre表明，它足以考虑这种措施的形式$ν= qμ$，其中$q$是一个平方和多项式和$μ$是一个给定的博雷尔措施支持$K$。通过用$2r$界定$q$的度，得到了$f_{\min,K}$的上界$f^{(r)}$的收敛层次.当$K$是超立方体$[-1, 1]^n$，配备切比雪夫测度时，已知参数$f^{(r)}$以$O(1/r^2)$的速率收敛到$f_{\min,K}$。我们将这种误差估计扩展到更广泛的一类凸体，同时也允许更广泛的一类参考措施，包括勒贝格措施。我们的分析适用于单纯形，球和凸体，局部看起来像一个球。此外，我们显示的误差估计$O(\log r / r)$时，$K$满足一个小的几何条件，并在$O(\log^2 r / r^2)$时，$K$是一个凸体，配备Lebesgue措施。对于这两种相应的情况，这改进了在$O(1 / \sqrt{r})$和$O(1/r)$中的当前最佳已知的误差估计。
2020-01-30 math.OC
Moment/Sum-of-Squares Hierarchy for Complex Polynomial Optimization
考虑了在由实值复多项式不等式定义的紧集上求实值复多项式的全局最优值的问题。它简化为解决一系列复杂的半定规划松弛，由于D 'Angelo和Putinar在2008年发现的Positivstellenstatz，这些松弛变得越来越紧。换句话说，Lasserre层级可以被转置为复数。我们提出了一种利用稀疏性的方法，并将复杂的层次结构应用于具有数千个复变数的问题。这些问题包括在欧洲高压输电网络中计算最优潮流。
2016-09-30 math.OC
Semidefinite Approximations of Invariant Measures for Polynomial Systems
我们考虑的问题，数值近似的时刻和支持的措施是不变的连续和离散时间多项式系统的动态，半代数集约束下。首先，我们解决的问题，近似的密度，因此支持的不变测度是绝对连续的勒贝格测度。然后，我们重点讨论了关于勒贝格测度奇异的不变测度的支撑的逼近。每一个问题都是通过一个适当的重新制定成一个线性最优化问题的措施，解决了在实践中的两个层次的有限维半定矩平方和松弛，也被称为Lasserre层次。在特定的假设下，第一个拉塞尔层次允许近似的时刻，一个绝对连续的不变测度接近所需的，并提取一个序列的多项式收敛弱密度的这种措施。第二Lasserre层次结构允许近似接近所需的Hausdorff度量的支持奇异不变测度与水平集的Christoffel多项式相关联的矩矩阵的这一措施。我们还提出了一些应用的例子，以及几个动力系统的数值结果承认无论是绝对连续或奇异的不变测度。
2018-07-02 math.DS math.OC
A semidefinite programming hierarchy for packing problems in discrete geometry
离散几何中的Packing问题可以建模为在无限图中寻找独立集，其中人们感兴趣的是尽可能大的独立集。对于有限图，计算独立集的最大大小的上界的一种流行方法是使用Lasserre的半定规划层次。我们将这种方法推广到无限图。为此，我们引入拓扑包装图作为一个抽象的无限图形来自包装问题在离散几何。我们证明了我们的层次收敛到独立数。
2021-08-24 math.MG math.OC
On the convergence of the $k$-point bound for topological packing graphs
本文证明由 Lasserre 层级导出的 $k$ 点界作为拓扑装填图独立数的上界层级，最终收敛于独立数。
2023-06-05 math.MG math.OC
NPA Hierarchy for Quantum Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk（波兰科学院数学研究所）；QMATH, University of Copenhagen（哥本哈根大学 QMATH 中心）；IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）；Department of Algebra, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院代数系）
本文通过 NPA 层级与同态计数的等价性，证明了量子同构的可行性，并提出了一种随机多项式时间算法。
2026-01-26 cs.DM cs.DS math.CO
Minimizing rational functions: a hierarchy of approximations via pushforward measures
本文研究了高维紧集上有理函数和的极小化问题。我们的方法依赖于第二拉塞尔的层次结构（也被称为上界层次）制定的推进措施，以工作在一个较小的维度的空间。我们表明，在一般情况下，最小值可以近似接近所需的半定程序问题的层次，或在一个特定的情况下，一个层次的广义本征值问题。我们数值说明了使用的推进措施，而不是标准的上界层次的潜力。在我们看来，这种潜力应该是一个强大的激励，以研究一个相关的挑战性问题本身的兴趣;即整合一个简单的集合上的给定多项式的任意幂（例如，单位盒或单位球）关于Lebesgue或Haar测度。
2020-12-10 math.OC
Detecting optimality and extracting solutions in polynomial optimization with the truncated GNS construction
利用联立多项式不等式$p_{1}\geq 0,\ldots,p_{m}\geq 0$定义了$\mathbb{R}^{n}$的基本闭半代数子集.我们考虑Lasserre的松弛层次来解决这样一个集合上的多项式最小化的问题。这些松弛给出了下确界的下界的递增序列。本文给出了Lasserre松弛的最优值是多项式最优化问题的最优值的一个新的证明。这个证明是一个修改版本的最优解的Lasserre松弛是一个广义Hankel矩阵。这个证明比已知的最优解是平坦的证明更一般。如果我们有最优性，我们将提取潜在的最小值与截断版本的Gelfand-Naimark-Segal建设的最优解的Lasserre松弛。我们还证明了这种截断构造的算子可交换当且仅当这种修正的最优解的矩阵是广义Hankel矩阵。这种平坦性的推广将使我们重新证明Curto和Fialkow关于当最优解是平坦的时求积法则存在的一个结果，以及Xu和Mysovskikh关于当修正的最优解是广义Hankel矩阵时高斯求积法则存在的一个结果。最后给出了一个判别多项式最优化问题的最优性和求解的数值线性代数算法。
2017-04-06 math.OC
Revisiting semidefinite programming approaches to options pricing: complexity and computational perspectives
在本文中，我们考虑的问题，找到的价格取决于多种资产的期权的价格上的界限，而不假设任何基础模型的价格动态，但只有没有套利机会。我们制定这作为一个广义矩问题，并利用著名的矩和平方（SOS）的拉萨尔层次结构，以获得可能的价格范围的界限。一个互补的方法（也由于Lasserre）进行比较。我们提出了几个数值例子来证明我们的方法的可行性。我们所考虑的框架使得我们可以将不同种类的可观察数据，如矩信息，以及感兴趣资产的期权的可观察价格。
2022-06-03 math.OC
High Degree Sum of Squares Proofs, Bienstock-Zuckerberg hierarchy and Chvatal-Gomory cuts
Chvatal-Gomory（CG）切割和Bienstock-Zuckerberg层次结构捕获了标准有界度Lasserre/Sum-of-Squares SOS层次结构无法捕获的有用的线性规划。在本文中，我们提出了一个新的多项式时间SOS层次的0/1问题的自定义子空间的高次多项式（而不是标准的子空间的低次多项式）。我们表明，新的SOS层次结构恢复Bienstock-Zuckerberg层次结构。我们的结果意味着一个线性规划，再现Bienstock-Zuckerberg层次作为一个多项式大小，有效的建设性扩展配方，满足所有恒定间距不等式。构造也非常简单，并且通过给出支持多项式来完全定义。此外，对于一类多面体（例如集合覆盖和包装问题），所得SOS层次结构在多项式时间内优化了由任何恒定轮CG切割产生的多面体，直到任意小的误差。可以说，这是第一个例子，不同的基函数可以在不对称的情况下，以获得一个层次的松弛。
2019-12-23 cs.CC cs.SC math.OC
Low-Rank and Lifted Semidefinite Programming for Mixed-Integer Polynomial Power Grid Optimization
University of Vermont（佛蒙特大学）
本文提出将低秩半定规划与基于矩的松弛收紧相结合，用于求解交流最优输电切换问题，并通过原始-对偶目标一致性和原始可行性验证，获得全局最优解，可作为分支定界法的可扩展替代方案。
2026-10-01 cs.SY eess.SY math.OC
Optimal control problems with oscillations, concentrations and discontinuities
具有振荡（抖振控制）和集中（脉冲控制）的最优控制问题可以具有积分性能准则，使得控制信号的集中发生在状态信号的不连续处。从泛函分析（各向异性参数化措施）的技术被应用到给出一个精确的意义的积分成本，并允许健全的应用程序的数值方法。我们展示了如何将这可以与拉塞尔层次的半定规划松弛。
2019-01-28 math.OC
Nonconvergence of a sum-of-squares hierarchy for global polynomial optimization based on push-forward measures
本文研究全局多项式优化的上界序列收敛性，证明在非紧的$\u211d^n$空间且测度为高斯分布时，依赖前推算子的平方和层级上界对6次多项式已不收敛到最小值，打破了紧集下的收敛性结论。
2024-08-16 math.OC
Exploiting Sign Symmetries in Minimizing Sums of Rational Functions
本文研究基本半代数集上有理函数和的最小化问题，提出与广义矩方法对偶的SOS松弛层级，利用符号对称性与相关稀疏性构建高效稀疏半定松弛，通过数值实验验证有效性并给出广义Rayleigh商最大化的应用。
2024-05-15 math.OC
Exploiting term sparsity in Noncommutative Polynomial Optimization
本文提出了一种新的半定规划松弛算法，称为NCTSSOS，用于求解大规模稀疏非交换多项式最优化问题。该层次结构的特点是利用特征值和迹最优化问题的输入数据中隐藏的术语稀疏性。NCTSSOS补充了Klep，Magron和Povh在arXiv：1909.00569中利用相关稀疏性解决非交换最优化问题的最新工作，并且是Wang，Magron和Lasserre在arXiv：1912.08899中的TSSOS框架的非交换模拟。我们还提出了一个扩展，同时利用相关性和长期稀疏性，如前所述，在交换的情况下arXiv：2005.02828。在一定条件下，我们证明了NCTSSOS层次的最优解收敛于相应的稠密SDP松弛的最优解。我们说明了NCTSSOS的效率和可扩展性，通过解决文献中的特征值/迹最优化问题，以及涉及多达数千个变量的随机生成的例子。
2020-10-14 math.OC
Semidefinite relaxations for nonlinear elasticity with energies convex in the Cauchy-Green strain tensor
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Institute of Information Sciences and Automation, Czech Academy of Sciences（捷克科学院信息科学与自动化研究所）
本文研究了在Cauchy-Green应变张量上凸的非线性弹性问题，证明了原始非凸变分问题与基于占据测度的线性矩形式之间无松弛间隙，提供了高效的无网格数值方法。
2026-09-21 math.OC
Homogenization for polynomial optimization with unbounded sets
Institute of Computational Mathematics and Scientific/Engineering Computing, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院计算数学与科学工程计算研究所）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；Department of Mathematics, University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校数学系）
本文研究了无界集的多项式优化问题，提出均质化方法和SOS松弛层次，证明在特定条件下该层次具有有限收敛性，并扩展了Putinar-Vasilescu类型的正定定理。
2022-08-19 math.OC
Global weight optimization of frame structures under free-vibration eigenvalue constraints
Czech Technical University in Prague（捷克布拉格理工大学）；Institute of Information Theory and Automation, Czech Academy of Sciences（捷克科学院信息理论与自动化研究所）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Nečas Center for Mathematical Modeling（内卡什数学建模中心）
针对自由振动特征值约束下框架结构拓扑优化这一非凸难题，提出基于Lasserre半定松弛层级结合双层重构的求解方法，可生成有保证的全局最优上下界，证明凸极小点集下间隙收敛，数值算例验证了方法的有效性。
2026-10-15 math.OC
Global optimality in minimum compliance topology optimization of frames and shells by moment-sum-of-squares hierarchy
由于连续截面结构固有的非凸性，其最小柔度抗弯结构的设计是一项具有挑战性的任务。我们的贡献开发了一种策略，便于计算所有保证全球最优解框架和壳结构在多个负载情况下和自重。为此，我们利用刚度矩阵通常是设计变量的多项式函数这一事实，使我们能够在半代数可行集上建立等效的非线性半定规划公式。这个公式随后使用Lasserre矩平方和层次结构求解，生成一系列外凸近似，从下面单调收敛到原始问题的最优解。全局最优解可以随后使用Curto-Fialkow平坦扩展定理提取。此外，我们表明，一个简单的修正放松问题的解决方案建立了一个可行的上界，从而推导出一个简单的充分条件的全球$\varepsilon$ -最优性。当原问题具有一个唯一的最小值，我们发现，这个解决方案的极限最优性间隙为零。这些理论研究结果说明了几个例子的拓扑优化的框架和外壳，我们观察到的层次收敛在一个有限的（相当小）的步骤。
2020-09-26 math.OC
Block-diagonal semidefinite programming hierarchies for 0/1 programming
Lovasz和Schrijver，以及后来的Lasserre，提出了一般0/1线性规划问题的半定规划松弛的层次。在本文中，这两个结构重新审视，并提出了两个新的，块对角层次结构。它们的优点是计算成本较低，同时至少与Lovasz-Schrijver层次结构一样强大。我们的建设适用于独立集问题和实验结果的Paley图。
2008-08-19 math.OC
A Bounded Degree SOS Plus SONC Hierarchy for Polynomial Optimization
University of New South Wales（新南威尔士大学）
提出有界次数 SOS+SONC 层级 B-SOS+SONC，结合半定与稀疏结构，证明完备性并给出 SDP-REP 重构，数值上比 B-SOS 下界更紧。
2026-09-23 math.AG math.CO math.OC
Verification and Synthesis of Robust Control Barrier Functions: Multilevel Polynomial Optimization and Semidefinite Relaxation
Harvard University（哈佛大学）；NVIDIA Research（英伟达研究院）
针对带加性不确定性的控制仿射多项式系统，提出基于多级多项式优化与半定松弛的鲁棒CBF验证与综合方法，证明其渐近全局收敛性并在Van der Pol振子上完成验证。
2023-07-21 cs.RO cs.SY eess.SY
Moment Relaxations of Optimal Power Flow Problems: Beyond the Convex Hull
最优潮流是电力系统最优化问题的核心问题之一。从Lasserre层次多项式优化的“矩”松弛全局解决许多OPF问题。以往的工作说明了高阶矩松弛逼近OPF问题的非凸可行空间的凸包的能力。使用一个小的测试用例，本文重点讨论的能力的时刻松弛全局解决问题的目标函数，有无约束的最小值在不可行的点内的非凸约束的凸包。
2016-12-08 math.OC
Global weight optimization of frame structures with polynomial programming
针对连续截面参数化的框架结构非凸权重优化问题，采用 Lasserre 松弛层级计算全局极小值，通过投影松弛解构造可行上界，并证明在全局极小值集为凸时最优性间隙收敛于零。
2023-01-06 math.OC
Theta Bodies for Polynomial Ideals
受Lovász问题的启发，我们引入了一个层次的嵌套半定松弛的实解的凸包的任意多项式理想，称为theta机构的理想。对于图中的独立集问题，这个层次中的第一个theta体就是图的Lovász theta体。我们证明，θ机构，关闭，拉塞尔的松弛的一个版本的真正的解决方案，理想，他们可以明确地计算使用组合矩矩阵。θ体为最大割问题提供了一个新的半定松弛的规范集。对于有限点集的消失理想，给出了第一θ体等于点的凸包的几个等价刻画。我们还确定了所有理想的第一个θ体的结构。
2009-12-03 math.CO math.OC
Convergence rates for sums-of-squares hierarchies with correlative sparsity
本文导出了紧致基本半代数集上多项式全局极小化的相关稀疏矩平方和族的收敛速度的上界。主要结论是，这两个稀疏层次的基础上的Schmüdgen和Putinar Positivstellensätze享受多项式的收敛速率，取决于最大的集团在稀疏图的大小，但不是在周围的尺寸。有趣的是，当最大团的大小是足够小的环境尺寸和性能是衡量的运行时间所需的内点方法，以获得一个给定精度的全局极小值上的边界时，稀疏边界优于目前可用的最佳边界的密集层次结构。
2023-03-26 cs.NA math.NA math.OC
Symmetry reduction and recovery of trajectories of optimal control problems via measure relaxations
本文从测度松弛角度提出基于矩-SOS层级的最优控制对称性约化方法，显著降低计算成本，并将轨迹恢复转化为对称参数多项式系统求解，在对称积分器和量子比特时间最优反转上验证了有效性。
2023-07-07 math.OC
Refined TSSOS
针对TSSOS层级中块对角矩阵最大块过大的问题，提出利用组合优化精细化TSSOS迭代以减小最大块大小，在保持几乎相同界的同时显著加速无约束和受约束多项式优化问题的求解。
2024-02-08 math.OC
Slow convergence of the moment-SOS hierarchy for an elementary polynomial optimization problem
本文研究一个参数化一元二次优化问题，揭示矩-SOS层级在参数趋于极限值时收敛速度逐渐变慢，并给出了有限收敛阶数随参数变化的估计。
2025-07-07 math.OC
SPLD polynomial optimization and bounded degree SOS hierarchies
Academy for Advanced Interdisciplinary Studies, Northeast Normal University（东北师范大学前沿交叉学科学院）；Shanghai Zhangjiang Institute of Mathematics（上海张江数学研究院）；Department of Applied Mathematics, Pukyong National University（釜庆国立大学应用数学系）；Department of Pedagogy, Dalat University（大叻大学教育学系）
本文提出SPLD多项式及BSOS-SPLD层次结构，用于高效求解相关优化问题，并应用于统计学中的凸多项式回归。
2026-02-03 math.OC
