An Exact Jacobian SDP Relaxation for Polynomial Optimization
给定多项式f（x），g_i（x），h_j（x），我们研究了如何在半代数集S = { x \in R^n：h_1（x）=. h_{m_1}（x）=0，g_1（x）>= 0，.，g_{m_2}（x）>= 0}。设f_{min}是S上f的最小值。假设S是非奇异的，并且f_{min}在S上是可达的，这在一般情况下是正确的。本文提出了一种新的半定规划松弛算法。首先利用f、h_i、g_j的雅可比矩阵构造一组新的多项式φ_1（x）、\ldots、φ_r（x），使得上述问题通过添加新方程φ_j（x）=0而保持不变。然后我们证明了，对于所有足够大的$N$，标准的N阶Lasserre的SDP松弛是精确的解决这个等价的问题，也就是说，它返回一个下界，等于f_{min}。还示出了一些变型和示例。
2010-06-11 math.OC
A Perturbed Sums of Squares Theorem for Polynomial Optimization and its Applications
本文研究了紧集上正多项式的一个性质。当应用到一个多项式最优化问题（POP），该属性意味着相应的半定规划（SDP）松弛足够大的放松顺序的最佳值是有界的$(f^\ast - ε)$从下面和从上面由$f^\ast + ε(n+1)$，其中$f^\ast$是最优值的POP。我们提出了新的SDP松弛POP的基础上修改现有的平方和表示定理。我们的SDP弛豫的一个优点是，在许多情况下，他们是相当小的尺寸比那些最初提出的Lasserre。我们提出了一些应用程序和我们的计算实验的结果。
2014-03-04 math.OC
Convergence of Lasserre's hierarchy: the general case
Lasserre的矩-SOS层次结构由具有矩松弛和平方和（SOS）强化的广义矩问题（GMP）的近似实例组成，这些矩松弛和平方和（SOS）强化可归结为凸半定规划（SDP）问题。由于初始GMP的通用性，该技术的应用是无数的，并且可以引用其中的多项式最优化问题（POP）、最优控制问题（OCP）、体积计算问题、稳定集近似问题和求解非线性偏微分方程（PDE）。原始GMP的解决方案，然后近似与有限截断其时刻序列。对于每个应用程序，证明这些截断收敛到最佳的时刻序列提供了宝贵的洞察力的问题，包括收敛到原来的GMP的最优值的放松值。这说明提出了一个一般的证明，这种收敛性，无论面临的问题，在简单的标准假设。作为这个证明的一个副产品，人们也获得了强大的对偶性质，在无限维GMP和其有限维松弛。
2022-08-04 cs.NA math.NA math.OC
Convex Relaxations of Optimal Power Flow Problems: An Illustrative Example
近年来，最优潮流（OPF）问题的凸松弛问题引起了人们极大的兴趣。半定规划（SDP）松弛全局解决了许多OPF问题。然而，存在SDP松弛不能产生全局解的实际问题。SDP松弛的成功或失败的条件对于确定松弛是否适合于给定的OPF问题是有价值的。为了超越现有的条件，这只适用于有限的一类问题，一个典型的猜想是，SDP松弛的失败可以与系统的物理特性。本文通过给出具有两个等效公式的OPF问题示例，证明基于物理的条件不能普遍解释算法行为。SDP松弛失败的一个配方，但成功地找到另一个配方的整体解决方案。由于这些公式代表相同的系统，SDP松弛的成功（或其他）必须涉及网络物理之外的因素。缺乏普遍的物理条件的SDP松弛的成功激励更紧密的凸松弛能够解决更广泛的一类问题的发展。多项式优化理论的工具提供了一种开发更紧密松弛的方法。我们使用的例子OPF问题来说明松弛从拉塞尔层次多项式优化和相关的“混合半定/二阶锥规划”层次。
2015-10-14 math.OC
Low-Rank and Lifted Semidefinite Programming for Mixed-Integer Polynomial Power Grid Optimization
University of Vermont（佛蒙特大学）
本文提出将低秩半定规划与基于矩的松弛收紧相结合，用于求解交流最优输电切换问题，并通过原始-对偶目标一致性和原始可行性验证，获得全局最优解，可作为分支定界法的可扩展替代方案。
2026-10-01 cs.SY eess.SY math.OC
On the exactness of Lasserre relaxations for compact convex basic closed semialgebraic sets
考虑一个有限的非严格实多项式不等式组，假设它的解集$S\subseteq\mathbb R^n$是凸的，有非空的内部，并且是紧的。假设系统满足阿基米德条件，这个条件比$S$的紧性稍强。假设每个定义多项式满足二阶严格拟凹条件，其中它在$S$上消失（这是非常自然的，因为$S$是凸的），或者它的Hessian具有一定的矩阵平方和，证明$S$上是负半定的（由线性多项式平凡地满足）。然后我们证明了该系统具有一个精确的Lasserre松弛。在他们2009年的开创性工作中，Helton和Nie在相同条件下证明了$S$是一个光谱面体的投影，即，它具有半定表示。Helton和Nie使用的半定表示法是将许多小块的Lasserre松弛以非建设性的方式粘在一起而得到的。通过改进和改变他们的方法，我们表明，我们可以简单地采取Lasserre松弛的原始系统本身。只有在非常技术性的条件下，并在改变了对$S$的描述之后，Helton和Nie才用更多的机器提供了这样的结果。
2018-02-28 math.AG math.OC
Safety Verification of Nonlinear Autonomous System via Occupation Measures
在本文中，我们引入了一个灵活的概念，非线性自治系统的安全验证，通过测量多少时间的系统花费在给定的不安全区域。我们考虑这个问题的特殊情况下，非线性系统的多项式动态和不安全的区域所描述的一组多项式不等式。在这种情况下，我们可以量化在不安全区域中花费的时间，作为无限维线性规划（LP）的解决方案。该LP测量相对于系统轨迹的占用测量的不安全区域的体积。使用Lasserre层次，我们近似的解决方案，无限维LP使用一系列的有限维半定规划（SDPs）。在这个层次的SDP的解决方案提供单调收敛的上界的最优解的无限维LP。最后，我们使用数值模拟验证我们的框架的性能。
2019-04-11 math.OC
Global weight optimization of frame structures under free-vibration eigenvalue constraints
Czech Technical University in Prague（捷克布拉格理工大学）；Institute of Information Theory and Automation, Czech Academy of Sciences（捷克科学院信息理论与自动化研究所）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Nečas Center for Mathematical Modeling（内卡什数学建模中心）
针对自由振动特征值约束下框架结构拓扑优化这一非凸难题，提出基于Lasserre半定松弛层级结合双层重构的求解方法，可生成有保证的全局最优上下界，证明凸极小点集下间隙收敛，数值算例验证了方法的有效性。
2026-10-15 math.OC
Symmetry-free SDP Relaxations for Affine Subspace Clustering
Heidelberg University（海德堡大学）
我们考虑聚类问题，其目标是确定一个最佳分区的一个给定的点集在欧几里得空间的仿射子空间的集合。虽然有大量关于这类问题的算法的文献，但这种方法容易受到初始化不佳的影响，并陷入糟糕的局部最优解。我们缓解这些问题，通过引入一个半定松弛的基础上Lasserre的矩量法。虽然类似的方法是已知的经典欧几里德聚类问题，推广到我们更一般的子空间的情况是不简单的，由于目标函数的高度对称性，削弱了任何凸松弛。因此，我们引入了一个新的机制，对称性破缺的基础上覆盖的可行域与多面体。此外，我们介绍和分析了一个确定性舍入启发式。
2016-07-25 cs.CV cs.DM math.OC
Optimal Control of PDEs using Occupation Measures and SDP Relaxations
研究了一类含有Riesz-谱算子的具有无穷维线性状态约束的非线性最优控制问题的求解问题。该类中的每个实例具有时间/控制相关的多项式拉格朗日成本和由多项式描述的控制约束。首先，我们执行的Riesz-谱算子的状态模式离散化。然后，我们近似所得到的有限维OCP使用以前已知的层次的半定松弛。在一定的紧性假设下，我们提供了一个收敛的半定规划松弛的最优值的初始OCP的下界产量的层次。我们通过两个数值例子来说明我们的方法，涉及扩散偏微分方程和波动方程。我们还报告了相关的实验。
2017-10-12 math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
Exploiting term sparsity in Noncommutative Polynomial Optimization
本文提出了一种新的半定规划松弛算法，称为NCTSSOS，用于求解大规模稀疏非交换多项式最优化问题。该层次结构的特点是利用特征值和迹最优化问题的输入数据中隐藏的术语稀疏性。NCTSSOS补充了Klep，Magron和Povh在arXiv：1909.00569中利用相关稀疏性解决非交换最优化问题的最新工作，并且是Wang，Magron和Lasserre在arXiv：1912.08899中的TSSOS框架的非交换模拟。我们还提出了一个扩展，同时利用相关性和长期稀疏性，如前所述，在交换的情况下arXiv：2005.02828。在一定条件下，我们证明了NCTSSOS层次的最优解收敛于相应的稠密SDP松弛的最优解。我们说明了NCTSSOS的效率和可扩展性，通过解决文献中的特征值/迹最优化问题，以及涉及多达数千个变量的随机生成的例子。
2020-10-14 math.OC
Facial Reduction and SDP Methods for Systems of Polynomial Equations
University of Western Ontario（韦仕敦大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）；Chongqing Key Lab. of Automated Reasoning and Cognition, CIGIT（中国科学院重庆智能计算研究院自动化推理与认知重点实验室）
本文提出结合面减少与SDP方法分析实多项式方程组的0维和正维度实理想，通过MATLAB和Maple实现，展示了DR方法在某些问题中的优势及面减少在正则化和降维中的作用。
2015-04-01 cs.SY eess.SY math.OC
Certifiably Optimal Outlier-Robust Geometric Perception: Semidefinite Relaxations and Scalable Global Optimization
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们提出了第一个通用的和可扩展的框架来设计可验证的算法，在存在离群值的情况下，鲁棒的几何感知。我们的第一个贡献是表明，估计使用常见的鲁棒成本，如截断最小二乘（TLS），最大共识，Geman-McClure，Tukey的biwight等，可以重新制定为多项式优化问题（POP）。通过关注TLS成本，我们的第二个贡献是利用POP中的稀疏性，并提出一个稀疏半定规划（SDP）松弛，它比标准的Lasserre层次结构小得多，同时保持经验精确性，即，SDP利用最优性证书恢复非凸POP的优化器。我们的第三个贡献是解决SDP松弛在一个前所未有的规模和准确性，提出STRIDE，求解器，融合了全局下降的凸SDP与快速局部搜索的非凸POP。我们的第四个贡献是六个几何感知问题，包括单次和多次旋转平均，点云和网格配准，绝对姿态估计，以及类别级对象姿态和形状估计。我们的实验表明，（i）我们的稀疏SDP松弛是经验上精确的，在应用程序中有高达60%-90%的离群值;（ii）虽然仍然远离实时，但STRIDE在中等规模问题上比现有的SDP求解器快100倍，并且是唯一可以解决具有数十万约束的大规模SDP的高精度求解器;（iii）STRIDE保障现有快速算法的可靠估计（例如，RANSAC或渐变非凸性），即，如果启发式估计是最优的，则它证明全局最优性，或者当启发式估计是次优的时，它检测并允许逃避局部最优。
2022-05-29 cs.CV cs.RO math.OC
A Limiting Analysis on Regularization of Singular SDP and its Implication to Infeasible Interior-point Algorithms
我们考虑半定规划的原始对偶对，并假设它们是不适定的，即，原始和对偶都是弱可行或弱不可行的。在这种情况下，强对偶可能会崩溃，原始对偶和对偶可能会有一个非零的对偶间隙。然而，有任意的小扰动的问题数据，使扰动的原始对偶对强可行，从而零的对偶差距。在本文中，我们进行了渐近分析的最优值的扰动驱动到零。具体地说，我们固定两个正定矩阵（典型的是单位矩阵），并将原、对偶的相关仿射空间向这两个正定矩阵的方向以不同的比例稍微移动，使得扰动问题具有内部可行解，并分析了当扰动降为零时，扰动问题的最优值的行为.我们的分析的一个关键特征是，没有进一步的假设，如紧凑性或约束规格。结果表明，扰动问题的最优值收敛于原问题的原始和对偶最优值之间的值。最后，分析导致我们的相对令人惊讶的后果，不可行的内点算法SDP生成一个序列收敛到一个数之间的原始和双最优值，即使在存在一个非零的对偶间隙。我们期望，这个属性可能是特别有用的解决混合整数SDP与不可行的内点方法。
2022-10-24 math.OC
Global Contact-Rich Planning with Sparsity-Rich Semidefinite Relaxations
Harvard University（哈佛大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
该研究将富接触运动规划转化为多项式优化问题，利用其多重稀疏性设计出基于Lasserre层级的高阶稀疏半定规划松弛，可快速求解接近全局最优的非凸规划方案，并发布了支持多语言的SPOT工具箱。
2025-09-04 cs.RO math.OC
Polynomial time guarantees for the Burer-Monteiro method
Burer-Monteiro方法是求解大规模半定规划（SDP）最常用的方法之一。其基本思想是在$Y$中求解一个非凸规划，其中$Y$是一个$n \times p$矩阵，使得$X = Y Y^T$。在本文中，我们表明，这种方法可以解决SDPs在多项式时间内平滑的分析设置。更准确地说，我们考虑一个SDP，其域满足一些紧性和光滑性假设，并稍微扰动成本矩阵和约束。我们表明，如果$p \gtrsim \sqrt{2(1+η)m}$，其中$m$是约束的数量和$η>0$是任何固定的常数，那么Burer-Monteiro方法可以解决SDP在多项式时间内，在设置的平滑分析的任何所需的精度。当$η$趋于零时，我们在$p$上的界在极限上接近著名的Barvinok-Pataki界，在该极限之下，已知非凸规划可能是次优的。以前的分析无法给出多项式时间的保证Burer-Monteiro方法，因为他们要么假设临界条件完全满足，或者忽略了计算近似可行解的非平凡问题。我们解决第一个问题，通过一个新的连接与管状邻域的代数簇。对于可行性问题，我们考虑一个最小二乘制定，并提供第一个保证，不依赖于限制等距属性。
2021-05-07 math.OC stat.ML
One Ring to Rule Them All: Certifiably Robust Geometric Perception with Outliers
Laboratory for Information and Decision Systems (LIDS)（信息与决策系统实验室（LIDS））；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们提出了第一个通用的和实用的框架来设计可验证的算法，用于在存在大量离群值的情况下进行鲁棒的几何感知。我们调查使用截断最小二乘（TLS）的费用函数，这是已知的离群值是强大的，但会导致硬，非凸，和非光滑最优化的问题。我们的第一个贡献是表明-对于广泛的一类几何感知问题- TLS估计可以重新表述为多项式环上的优化，并且Lasserre的凸矩松弛层次在最小松弛阶处经验上是紧的（即，可证明地获得非凸TLS问题的全局极小值）。我们的第二个贡献是利用结构稀疏的目标和约束多项式和杠杆基减少，显着减少的大小的半定程序（SDP）的时刻放松，而不损害其紧密性。我们的第三个贡献是从平方和（SOS）松弛的角度开发可扩展的对偶最优性证明器，它可以计算次优性差距，并可能证明任何候选解的全局最优性（例如，由快速算法（例如RANSAC或分级非凸性）返回）。我们的双证明器利用Douglas-Rachford分裂来解决凸可行性SDP。不同感知问题的数值实验，包括单次旋转平均，形状对齐，3D点云和网格配准，以及高完整性卫星姿态估计，证明了我们的放松，认证的正确性，以及所提出的双认证器的可扩展性，以解决大问题，超出了当前SDP求解器的范围。
2020-10-19 cs.CV cs.RO math.OC
Optimization over Nonnegative and Convex Polynomials With and Without Semidefinite Programming
非负多项式锥上的优化问题是计算数学中的一个基本问题，其应用于多项式优化、控制、机器学习、对策论和组合学等。21世纪初的一些突破性论文表明，这个长期被认为遥不可及的问题可以通过使用平方和编程来解决。然而，这种技术已被证明是昂贵的大型问题，因为它涉及解决大型半定规划（SDP）。在本论文的第一部分中，我们提出了两种近似求解大规模平方和规划的方法，这些方法完全免除了半定规划，只涉及求解一系列线性或二阶锥规划。然后，我们专注于找到多项式最优化问题（POP）的紧下界的问题，这是该领域中最常见的一项基本任务，通过使用基于SDP的平方和层次结构（例如，由于Lasserre和Parrilo）。与以前的方法相比，我们提供了第一个理论框架，用于构建收敛层次的下界POP的计算只需要一定的固定多项式相乘的能力，并检查其产品的系数的非负性。在本文的第二部分中，我们着重研究了凸多项式优化问题的理论和应用，它是非负多项式优化问题的一个子问题。(See（其余部分为摘要）。
2018-06-19 cs.CC cs.DS math.OC
Quantum speed-ups for solving semidefinite relaxations of polynomial optimization
Department of Mathematical Sciences, University of Copenhagen（哥本哈根大学数学科学系）；ENS de Lyon, Inria（里昂高等师范学校，法国国家信息与自动化研究所）；Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology（越南科学技术院数学研究所）
本文针对多项式优化的Lasserre半定松弛值逼近问题，提出基于矩阵乘性权重的量子算法，无需QRAM即可实现块编码，在给定假设下相比经典方法获得问题维度上的超二次加速。
2025-11-18 math.OC quant-ph
NPA Hierarchy for Quantum Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk（波兰科学院数学研究所）；QMATH, University of Copenhagen（哥本哈根大学 QMATH 中心）；IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）；Department of Algebra, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学物理学院代数系）
本文通过 NPA 层级与同态计数的等价性，证明了量子同构的可行性，并提出了一种随机多项式时间算法。
2026-01-26 cs.DM cs.DS math.CO
Complexity Aspects of Fundamental Questions in Polynomial Optimization
Princeton University（普林斯顿大学）
在这篇论文中，我们解决了多项式优化中一些基本问题的计算复杂性。这些问题包括（i）找到局部最小值，（ii）测试点的局部最小值，以及（iii）确定是否达到最优值。我们的研究结果的复杂性，这三个问题的所有程度的定义多项式由以前的文献。关于（i）和（ii），我们表明，除非P=NP，不可能有一个多项式时间算法，找到一个点内的欧氏距离$c^n$（任何常数$c$）的局部极小值的$n$ -变量二次规划。通过对比，我们证明了三次多项式的局部极小值可以有效地由半定规划（SDP）找到。我们证明了三次多项式的二阶点允许一个有效的半定表示，即使它们的临界点是NP-难找到的。我们还给出了三次多项式点的局部极小的一个可有效检验的充要条件。关于（iii），我们证明了检验具有有限最优值的二次约束二次规划是否有最优解是NP-困难的。我们还表明，测试的目标函数，可行集的紧凑性，和阿基米德属性与描述的可行集都是NP-困难的。我们还给出了一个新的强制多项式的特点，本身的层次结构的SDP。在我们的最后一章中，我们提出了一个SDP松弛寻找近似纳什均衡的双矩阵游戏。我们表明，对于一个对称的游戏，一个$1/3$ -纳什均衡可以有效地恢复从任何秩2解决方案，这个放松。我们还提出了SDP松弛的NP-难问题的纳什均衡，如找到最高的可实现的福利下的任何纳什均衡。
2020-08-27 cs.CC cs.LG math.OC
A Bounded Degree SOS Plus SONC Hierarchy for Polynomial Optimization
University of New South Wales（新南威尔士大学）
提出有界次数 SOS+SONC 层级 B-SOS+SONC，结合半定与稀疏结构，证明完备性并给出 SDP-REP 重构，数值上比 B-SOS 下界更紧。
2026-09-23 math.AG math.CO math.OC
In Perfect Shape: Certifiably Optimal 3D Shape Reconstruction from 2D Landmarks
Laboratory for Information & Decision Systems (LIDS)（信息与决策系统实验室（LIDS））；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们研究的问题，从一个单一的图像中提取的二维地标的三维形状重建。我们采用三维可变形形状模型，并制定重建作为一个联合优化的相机姿态和线性形状参数。我们的第一个贡献是应用Lasserre的层次结构的凸平方和（SOS）松弛来解决形状重建问题，并表明SOS松弛的最小阶2经验解决了原来的非凸问题。我们的第二个贡献是利用目标函数中多项式的结构，并找到一组减少的SOS松弛的基础单项式，显着降低所得到的半定程序（SDP）的大小，而不影响其准确性。据我们所知，这两个贡献导致了第一个可证明的3D形状重建最佳求解器，我们将其命名为Shape*。我们的第三个贡献是使用截断最小二乘（TLS）鲁棒成本函数向Shape* 添加离群值拒绝层，并利用渐进非凸性来解决TLS而无需初始化。其结果是一个强大的重建算法，名为形状#，容忍大量的离群值测量。我们在模拟和真实实验中评估了Shape* 和Shape#的性能，结果表明Shape* 优于局部优化和以前的凸松弛技术，而Shape#达到了最先进的性能，并且对FG3DCar数据集中70%的离群值具有鲁棒性。
2020-03-21 cs.CV cs.RO math.OC
State polynomials: positivity, optimization and nonlinear Bell inequalities
本文提出态多项式及其正性理论，建立带分母平方和表示与阿基米德 Positivstellensatz，并构造收敛的半定松弛层级，用于求解量子网络中非线性 Bell 不等式的最大量子违反。
2023-08-03 math.FA math.OC quant-ph
