SDP bounds on the stability number via ADMM and intermediate levels of the Lasserre hierarchy
针对 Lasserre 层次结构 SDP 规模大、内点法难解的问题，本文用 ADMM 求解，并基于 Lovász theta 解选择二次单项式构造 1 到 2 级之间的中间松弛，以合理时间获得更强的稳定数界。
2025-06-10 math.OC
Convergence analysis of a Lasserre hierarchy of upper bounds for polynomial minimization on the sphere
我们研究了收敛速度的一个层次的上界多项式最小化问题，提出了Lasserre [SIAM J。21（3）（2011），pp. 864-885]，对于可行集是单位（超）球的特殊情况。当密度函数是关于表面测度的次数至多为2 r的平方和多项式时，层次结构的r级上界被定义为球面上所有概率分布上多项式的最小期望值。我们证明了精确的收敛速率是Theta（1/r^2），并探讨了球上矩的广义问题的相关收敛速率的含义。
2019-04-18 math.OC
The Lasserre hierarchy for equiangular lines with a fixed angle
本文通过Lasserre层级第二、三层及正交群与一般线性群表示的联系，计算球面有限距离问题，并给出等角线最大数量的新线性界。
2023-09-04 math.CO math.MG math.OC
Convergence analysis for Lasserre's measure--based hierarchy of upper bounds for polynomial optimization
考虑紧集K上的连续函数f的极小化问题。我们分析了层次结构的上界提出的Lasserre在[SIAM J. Optim. 21（3）（2011），pp. 864- 885]，通过在作为多项式平方和的K上搜索最佳概率密度函数h，使得期望值$\int_{K}f(x)h(x)dx$最小化而获得。我们表明，收敛速率并不比$O(1/\sqrt{r})$差，其中2 r是密度函数上的度界。这种分析适用于f是Lipschitz连续的情况，并且K是满足某些边界条件的全维紧集（满足，例如，对于凸体）。如果f是d次多项式，并且K上的勒贝格测度的所有阶数直到2 r +d的矩都是已知的，例如K是单纯形、超立方体或欧几里得球，则可以使用半定规划来计算层次中的第r个上界。
2015-09-08 math.OC
Revisiting the convergence rate of the Lasserre hierarchy for polynomial optimization over the hypercube
本文研究超立方体上多项式优化的 Lasserre 层级收敛率，采用多项式核方法得到与已有 $1/r$ 结果相近的结论，并指出该方法具有 $1/r^2$ 阶下界。
2025-10-06 math.OC
Polynomial Optimization with Real Varieties
本文研究了多项式约束h（x）=0，g（x）>=0下极小化多项式f（x）的最优化问题. Lasserre的层次结构是一个序列的平方和松弛寻找全局极小值。设K为可行集。证明了：i）若实簇V_R（h）是有限的，则Lasserre族有有限收敛，而不管复簇V_C（h）是否有限。这解决了Laurent调查中的一个悬而未决的问题。ii）如果K和V_R（h）有相同的消失理想，则Lasserre族的有限收敛性与实簇V_R（h）定义多项式的选择无关。iii）当K是有限的时，Lasserre层次的改进版本（使用g的预序）具有有限收敛性。
2013-06-04 math.OC
Convergent Lifted Lasserre Hierarchy of SDPs for Minimizing Expectation of Piecewise Polynomial Loss over Wasserstein Balls
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Brunel University of London（伦敦布鲁内尔大学）
本文提出了一种收敛的提升Lasserre层级SDP方法，用于在Wasserstein球上最小化分段多项式损失的期望，通过结构化SOS表示和凸多项式条件实现有限收敛。
2026-02-24 math.OC
Verifying Global Optimality of Candidate Solutions to Polynomial Optimization Problems using a Determinant Relaxation Hierarchy
我们提出了一种方法来验证一个给定的可行点的多项式最优化问题是全局最优的。该方法依赖于Lasserre层次结构和Lasserre关于凸性的重要性的结果的可行集，而不是个人的约束。通过只专注于证明全局最优性和放松Lasserre层次结构使用必要条件的正半定性的基础上矩阵行列式，所提出的方法是可实现的计算易处理的线性规划。我们证明了这种方法通过应用程序的多项式优化，包括用于操作电力系统的最优潮流问题的几个实例。
2021-01-03 math.OC
Lasserre Hierarchy for Graph Isomorphism and Homomorphism Indistinguishability
本文将图同构的 Lasserre 层级第 t 层刻画为图族上的同态不可区分性，并据此证明其与 Sherali–Adams 第 3t 层强度等价且界限最优，还给出逻辑、着色算法及多项式时间判定刻画。
2024-08-30 cs.CC cs.DM cs.LO
On the hardness of deciding the finite convergence of Lasserre hierarchies
本文证明除非P=NP，否则不存在多项式时间算法能判定Lasserre层级是否有限收敛，并基于Motzkin-Straus公式对图稳定数的刻画完成证明。
2024-01-23 math.OC
Near-optimal analysis of Lasserre's univariate measure-based bounds for multivariate polynomial optimization
我们考虑了Lasserre（arXiv：1907.097784，2019）最近提出的紧集$K \subseteq \mathbb{R}^n$上多项式$f$最小化的上近似层次。这个层次依赖于使用的推进措施的勒贝格措施$K$的多项式$f$，并涉及单变量的平方和多项式的增长度$2r$。因此，它比Lasserre的早期层次结构更弱，但计算成本更低（SIAM Journal on Optimization 21（3），864- 885，2011），它使用多元平方和。我们证明了，只要$K$满足一个温和的几何条件，这个新的层次结构就以$O(\log^2 r / r^2)$的速率收敛到$f$的全局最小值，例如，对于凸体和具有稠密内部的紧半代数集。作为一个应用程序，这种收敛速度也适用于更强的层次结构的基础上，多元平方和，提高和扩展早期的收敛结果，更广泛的一类紧集。此外，我们证明了我们的分析是近最优的证明上的收敛速度在$Ω(1/r^2)$为一类多项式的$K=[-1,1]$，通过利用连接到正交多项式。
2020-12-03 math.OC
Convergence rates of RLT and Lasserre-type hierarchies for the generalized moment problem over the simplex and the sphere
本文研究了单形和球面上的广义矩问题。这是一个丰富的设置，它包含NP难问题作为特殊情况，如构造最优容积计划和合理优化。利用重构线性化技术（RLT）和Lasserre型层次，松弛的问题进行了介绍和分析。对于我们的分析，我们假设在整个存在的对偶最优解以及强对偶。对于GMP的单纯形，我们证明了一个收敛速度$O(1/r)$的线性规划，RLT型层次，其中$r$是层次的水平，使用定量版本的Pólya的Positivstellenetry。作为Fang和Fawzi最近结果的扩展[Math. Program.，2020，https：//doi.org/10.1007/s10107-020-01537-7]我们证明了GMP的Lasserre层次结构[Math. Program.，Vol.112，65-92，2008]在球面上的收敛速度为$O(1/r^2)$。此外，我们还证明了引入的线性RLT-松弛是由de Klerk，Laurent和Parrilo [J. Theoretical Computer Science，Vol.361，210-225，2006]引入的单形上的最小化度$d$形式的层次结构的推广。
2021-03-04 math.OC
Convergence Rates for Lasserre's Upper-Bound Hierarchy on $\mathbb{R}^d$ with Gaussian Measure
Tilburg University（蒂尔堡大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；University of Primorska（沿海大学）
该研究针对R^d上基于高斯测度的Lasserre上界层级，证明了其在多项式达到全局下确界时的收敛速率为O(1/r)，且该速率最优，未达下确界时收敛速率可任意慢，给出了非紧域上该层级的首个显式收敛速率。
2026-10-16 math.OC math.PR
A Bounded Degree Lasserre Hierarchy with SOCP Relaxations for Global Polynomial Optimization and Applications
本文提出了一种新的收敛的松弛锥规划族，它同时包含半定锥和二阶锥约束，用于求解非凸多项式最优化问题的全局最优解.这个层次结构的意义在于，松弛的半定和二阶锥约束的大小和数量是固定的，并且与层次结构中近似的步骤或级别无关。使用Krivine-Stengle的证书的积极性在真正的代数几何，我们建立的收敛的层次的松弛，延长最近所谓的有界度Lasserre层次。特别地，我们还提供了一个收敛的有界度二阶锥规划（SOCP）的层次解决多项式最优化问题。然后，我们提出了有限收敛的SOCP层次的两类多项式最优化问题的第一步：一个子类的凸多项式最优化问题的目标和约束函数是SOCP凸多项式，定义在特殊结构的平方和多项式，一类多项式最优化问题，涉及基本上非正系数的多项式。在一步收敛的情况下，与SOCP-凸多项式的问题，我们展示了如何从松弛通过Jensen的不等式的SOCP-凸多项式的整体解决方案。作为应用，我们导出了锥-凸半代数规划的相应收敛锥线性规划族。当锥凸规划的半代数集由凸多项式不等式描述时，我们进一步证明了在一个约束规格下，松弛问题的值收敛于凸规划及其Lagrange对偶的公共值.
2018-09-18 math.OC
Integrality Gaps of Linear and Semi-definite Programming Relaxations for Knapsack
本文研究了背包线性规划在Sherali-Adams和Lasserre层次上的完整性间隙。首先，我们证明了2 - ε的完整性间隙持续到Sherali-Adams的线性轮数，尽管Knapsack允许完全多项式时间近似方案[27，33]。第二，我们表明，拉塞尔层次结构迅速关闭的差距。具体地，在t轮Lasserre之后，完整性间隙减小到t/（t - 1）。据我们所知，这是第一个在Lasserre层次结构中使用超过少量轮数的正结果。我们的证明使用的拉塞尔层次结构，这可能是独立的利益的分解定理。
2010-07-08 cs.CC cs.DM math.OC
Convergence of Lasserre's hierarchy: the general case
Lasserre的矩-SOS层次结构由具有矩松弛和平方和（SOS）强化的广义矩问题（GMP）的近似实例组成，这些矩松弛和平方和（SOS）强化可归结为凸半定规划（SDP）问题。由于初始GMP的通用性，该技术的应用是无数的，并且可以引用其中的多项式最优化问题（POP）、最优控制问题（OCP）、体积计算问题、稳定集近似问题和求解非线性偏微分方程（PDE）。原始GMP的解决方案，然后近似与有限截断其时刻序列。对于每个应用程序，证明这些截断收敛到最佳的时刻序列提供了宝贵的洞察力的问题，包括收敛到原来的GMP的最优值的放松值。这说明提出了一个一般的证明，这种收敛性，无论面临的问题，在简单的标准假设。作为这个证明的一个副产品，人们也获得了强大的对偶性质，在无限维GMP和其有限维松弛。
2022-08-04 cs.NA math.NA math.OC
Exactness and Effective Degree Bound of Lasserre's Relaxation for Polynomial Optimization over Finite Variety
本文研究了多项式优化中 Lasserre 矩-SOS 层级的有效次数界问题，在无穷远无解和最优解非奇异的条件下推导出精确性的有效次数界，并首次给出通用条件下梯度型 SOS 松弛的显式次数界。
2025-05-31 math.OC
Computational Analysis of Sparsity-Exploiting Moment Relaxations of the OPF Problem
由于有可能找到全局解，非凸最优潮流问题的凸松弛问题引起了广泛的研究兴趣。最近，从Lasserre层次多项式优化的“基于矩”松弛已被证明能够全局解决一类广泛的OPF问题。许多大规模的测试用例的全局解决方案是通过利用稀疏性和选择性地应用计算密集型高阶松弛约束。以前的工作描述了一个迭代算法，表明总线的高阶约束应强制执行。为了加快计算的时刻松弛，本文提供了一个研究的关键参数，在这个算法中应用到松弛从原来的Lasserre层次和最近的复杂扩展的Lasserre层次。
2016-03-16 math.OC
Nonconvergence of a sum-of-squares hierarchy for global polynomial optimization based on push-forward measures
本文研究全局多项式优化的上界序列收敛性，证明在非紧的$\u211d^n$空间且测度为高斯分布时，依赖前推算子的平方和层级上界对6次多项式已不收敛到最小值，打破了紧集下的收敛性结论。
2024-08-16 math.OC
Global weight optimization of frame structures under free-vibration eigenvalue constraints
Czech Technical University in Prague（捷克布拉格理工大学）；Institute of Information Theory and Automation, Czech Academy of Sciences（捷克科学院信息理论与自动化研究所）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Nečas Center for Mathematical Modeling（内卡什数学建模中心）
针对自由振动特征值约束下框架结构拓扑优化这一非凸难题，提出基于Lasserre半定松弛层级结合双层重构的求解方法，可生成有保证的全局最优上下界，证明凸极小点集下间隙收敛，数值算例验证了方法的有效性。
2026-10-15 math.OC
Refined TSSOS
针对TSSOS层级中块对角矩阵最大块过大的问题，提出利用组合优化精细化TSSOS迭代以减小最大块大小，在保持几乎相同界的同时显著加速无约束和受约束多项式优化问题的求解。
2024-02-08 math.OC
Theta Bodies for Polynomial Ideals
受Lovász问题的启发，我们引入了一个层次的嵌套半定松弛的实解的凸包的任意多项式理想，称为theta机构的理想。对于图中的独立集问题，这个层次中的第一个theta体就是图的Lovász theta体。我们证明，θ机构，关闭，拉塞尔的松弛的一个版本的真正的解决方案，理想，他们可以明确地计算使用组合矩矩阵。θ体为最大割问题提供了一个新的半定松弛的规范集。对于有限点集的消失理想，给出了第一θ体等于点的凸包的几个等价刻画。我们还确定了所有理想的第一个θ体的结构。
2009-12-03 math.CO math.OC
