Maximum Distance Separable (MDS) codes with a sparse and balanced generator matrix are appealing in distributed storage systems for balancing and minimizing the computational load. Such codes have been constructed via Reed-Solomon codes over large fields. In this paper, we focus on small fields. We prove that there exists an $[n,k]_q$ MDS code that has a sparse and balanced generator matrix for any $q\geq n$ provided that $n\leq 2k$, by designing several algorithms with complexity running in polynomial time in $k$ and $n$.
本文研究了具有稀疏平衡生成矩阵的线性最大距离可分（MDS）纠错码的构造问题。在这种情况下，稀疏意味着每行具有最少可能数量的非零条目，而平衡意味着每列包含相同数量的非零条目。具有这种结构的代码最大限度地减少了计算任何代码符号的最大计算时间，这一特性对计算负载平衡至关重要的系统很有吸引力。这个问题之前由Dau等人研究过，其中证明了在足够大的域上总是存在MDS码，使得其生成矩阵是稀疏的和平衡的。然而，该构造不是明确的，更重要的是，所得到的MDS码不适合于有效的纠错。着眼于明确的建设与有效的解码，我们在本文中表明，生成矩阵的循环Reed-Solomon码的长度$n$和尺寸$k$总是可以转换为一个既稀疏又平衡，所有参数$n$和$k$其中$\frac{k}{n}(n - k + 1)$是一个整数。
On the Existence of MDS Codes Over Small Fields With Constrained Generator Matrices
我们研究的最大距离可分（MDS）码的生成矩阵具有指定的支持（即具有指定的位置的零项）的小字段上的存在性。这个问题统一和简化了Yan和Sprintson（NetCod'13）关于弱安全合作数据交换、Halbawi等人（arxiv'13）关于简单多址网络的分布式Reed-Solomon码和Dau等人（ISIT'13）关于具有平衡和稀疏生成矩阵的MDS码的最近工作中提出的问题。如果生成矩阵的特定支集满足MDS条件，则只要$q \geq n + k - 1$，就存在这样的$[n,k]_q$ MDS码，这一条件可以在多项式时间内得到验证.我们提出了一个组合的方法来解决这个猜想，并证明了该猜想成立的一个特殊情况下，零坐标集的生成矩阵的行共享彼此（成对）在最多一个共同的元素。基于我们的数值结果，对所有的$k \leq 7$也验证了这个猜想.我们的方法是基于一个新的推广著名的霍尔的婚姻定理，它允许（重叠）多个代表，而不是一个单一的代表为每个子集。
Compressive Sensing over the Grassmann Manifold: a Unified Geometric Framework
$\ell_1$极小化常用于求解欠定线性系统的稀疏解。在本文中，我们专注于寻找尖锐的性能界限恢复近似稀疏信号使用$\ell_1$最小化，可能在噪声测量。虽然限制等距属性是强大的分析恢复近似稀疏的信号与噪声测量，已知的界限上可实现的稀疏性（本文中的“稀疏性”是指在一个信号向量的非零或重要元素的集合的大小）。水平可以相当宽松。对于理想稀疏信号，邻域多面体分析能给出精确的边界，但不能很容易地推广到近似稀疏信号。从线性子空间的“平衡性”这一充分必要条件出发，为达到一定的信号恢复精度，给出了一个统一的基于\emph{null space Grassmann angle}的几何框架，用于分析$\ell_1$最小化的性能.通过研究“平衡性”属性，这个统一的框架表征了所考虑的稀疏性和$\ell_{1}$优化的恢复精度之间的尖锐的定量权衡。因此，这推广了理想稀疏信号的相邻多面体结果。除了对\emph{all}稀疏信号的“强”意义下的鲁棒性外，我们还讨论了“弱”和“分段”鲁棒性的概念。我们的结果涉及线性子空间的基本性质，因此可能是独立的数学兴趣。
