The Complexity of Mixed-Connectivity
Édouard Bonnet, Sergio Cabello
本文研究了$a$和$b$中的参数化复杂性，即确定一个图$G$是否有$a$顶点和$b$边的一个子集，其删除将断开$G$，或断开两个指定的顶点$s, t \in V(G)$ .
We investigate the parameterized complexity in $a$ and $b$ of determining whether a graph~$G$ has a subset of $a$ vertices and $b$ edges whose removal disconnects $G$, or disconnects two prescribed vertices $s, t \in V(G)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tight Conditional Lower Bounds for Vertex Connectivity Problems
本文在寻找4-clique的猜想下证明顶点连通性问题无法全部归入近线性时间，并给出稠密图及一般密度图中各类顶点连通性问题的紧复杂度下界。
Quantum Algorithms for Graph Connectivity and Formula Evaluation
我们给出了一个新的上界的量子查询复杂性决定$st$ -连通性的某些类的平面图，并显示界有时指数优于以前的结果。然后，我们表明布尔公式评估减少到决定连接只是这样一类图。将$st$ -连通性算法应用于布尔公式求值问题，匹配了$N$变量上的公式求值的量子查询复杂度的$O(\sqrt{N})$界，给出了一类Promise布尔公式的经典查询复杂度的二次加速，并证明了该方法可以产生超多项式的量子/经典分离.这些结果表明，这种基于$st$连接性的方法可能是看待量子算法进行公式评估的“正确”方式。
The Complexity of Boolean Connectivity Problem of $k$-Horn Formulas
本文研究k-Horn公式的布尔连通性问题{\textsc{Conn $k$-Horn}}的复杂性，提出无结构限制的指数级算法和两种多项式时间算法，还证明变量恰好出现三次时{\textsc{Conn $3$-Horn}}仍为coNP完全。
Lower bounds on pure dynamic programming for connectivity problems on graphs of bounded path-width
研究图路径宽度下连通性问题纯动态规划算法的下界，证明代数方面对竞争性最坏运行时间的必要性。
On the complexity of computing the $k$-restricted edge-connectivity of a graph
图$G$的\emph{$k$-restricted edge-connectivity}，记作$λ_k(G)$，定义为去掉边集后只剩下两个连通分支的最小边集，每个连通分支至少包含$k$顶点.这种图不变量可以看作是最小边割的推广，从组合的角度已经得到了广泛的研究。然而，关于计算$λ_k(G)$的复杂性知之甚少。最近，在参数化复杂性社区中定义了图的\emph{good edge separation}的概念，它恰好与$k$ -受限边连通性本质上相同。从组合和算法的角度来看，这个不变量的相关性的启发，在这篇文章中，我们开始了系统的研究，其计算复杂性，特别强调其参数化的复杂性的几个参数的选择。我们提供了一些NP-硬度和W[1]-硬度的结果，以及FPT算法。
Parameterized Complexity of Min-Power Asymmetric Connectivity
我们研究的NP-难问题的参数化算法最小功率不对称连接（MinPAC），在无线传感器网络中的应用。给定一个有向弧加权图，MinPAC要求一个强连通生成子图最小化顶点费用之和。这里，每个顶点的成本是其在所选子图中最重的外出弧的权重。我们提出了线性时间算法的情况下，在一个所谓的强制子图或反馈边数在底层无向图的强连通组件的数量是恒定的。作为这些结果的补充，我们证明了该问题是W [2]-困难的解决方案的成本，即使在限制图与一个反馈弧和二进制弧重量。
Space Complexity of Vertex Connectivity Oracles
本文研究了顶点连通性预言的空间复杂度，给出了下界并提出了一种最优空间的构造方法，查询时间与k无关。
Independence-Number Parameterized Space Complexity for Directed Connectivity Certificate
本研究提出基于独立数参数化的有向图强连通性证书空间复杂度分析，展示其在流模型中的高效算法及下界。
Component Order Connectivity in Directed Graphs
一个有向图$D$是半完全的，如果对于$D,$的每一对顶点$x,y$，在$x$和$y.$ \viol{Thus, a tournament is a semicomplete digraph.}之间至少有一条弧。在有向分量序连通性（DCOC）问题中，给定有向图$D=(V,A)$和一对自然数$k$和$\ell$，我们将决定是否存在大小为$k$的$V$的子集$X$，使得$D-X$中的最大强连接性分量最多具有$\ell$顶点。我们研究了一般有向图和半完全有向图的DCOC的参数复杂性，参数分别为：$k, \ell,\ell+k$和$n-\ell$ .特别地，我们证明了半完全有向图上带参数$k$的DCOC可以在时间$O^*(2^{16k})$中求解，但不能在时间$O^*(2^{o(k)})$中求解，除非指数时间假设（ETH）失效. \gutin{The upper bound $O^*(2^{16k})$ implies the upper bound $O^*(2^{16(n-\ell)})$ for the parameter $n-\ell.$ We complement the latter by showing that there is no algorithm of time complexity $O^*(2^{o({n-\ell})})$ unless ETH fails.}…
On the query complexity of connectivity with global queries
我们研究的查询复杂性，确定一个图是连接的全局查询。我们要看的第一个模型是对邻接矩阵的矩阵向量乘法查询。这里，对于具有邻接矩阵$A$的$n$ -顶点图，可以查询向量$x \in \{0,1\}^n$并接收答案$Ax$。我们给出了一个随机算法，该算法可以在对邻接矩阵进行$O(\log^4(n))$矩阵-向量乘法查询后，以恒定概率输出一个加权图的生成森林。这补充了Sun等人的结果。（ICALP 2019）给出了一种随机算法，该算法可以在对图的有符号顶点边关联矩阵进行$O(\log^4(n))$矩阵向量乘法查询后输出图的生成森林。作为应用，我们证明了量子算法可以在$O(\log^5(n))$切割查询后输出未加权图的生成森林，改进和简化了Lee，Santha和Zhang（SODA 2021）的结果，该结果给出了界$O(\log^8(n))$。在本文的第二部分中，我们转向展示确定图是否连通的线性查询复杂度的下界。如果$w$是图的权重向量（被视为$\binom{n}{2}$维向量），则在线性查询中，可以查询任何向量$z \in \mathbb{R}^{n \choose 2}$并接收答案$\langle z, w\rangle$。我们表明，零错误的随机算法必须使$Ω(n)$线性查询的期望，以解决连接。据我们所知，这是连通性的无限制线性查询复杂度的第一个下界。我们显示了这个下限，通过看连接的线性查…
The Complexity of Connectivity Problems in Forbidden-Transition Graphs and Edge-Colored Graphs
禁止转移图的概念允许图中行走的鲁棒推广。在一个禁止变迁图中，每一对与一个公共顶点关联的边都是允许的或禁止的;如果一条行走上的所有连续边都是允许的，那么这条行走是相容的。禁止转移图及其相关模型在光通信网络、道路网络和生物信息学等领域有着广泛的应用。我们从参数化复杂性的角度开始研究基本的连通性问题，包括深入研究各种图宽度参数的易处理性。在几个结果中，我们证明了当用到线性森林的顶点删除距离参数化时，在禁止变迁图中找到给定端点之间的简单相容路径是W[1]-困难的（因此当用路径宽度或树宽度参数化时也是困难的）。另一方面，我们展示了一个代数技巧，当用树宽参数化找到一个适当着色的Hamilton圈时，它会产生易处理性;适当着色的边着色图中的行走是禁止过渡图中相容行走的最受研究的特殊情况之一。
The Complexity of Weak Partition Connectivity in Hedgegraphs
本文证明hedgegraph中弱划分连通性的整数阈值判定问题是NP完全的，并给出分数目标的精确公式及PTAS，同时证明除非P=NP否则无FPTAS。
On the Complexity of Connectivity in Cognitive Radio Networks Through Spectrum Assignment
认知无线电网络（CRN）被认为是解决无线通信中频谱短缺问题的一个很有前途的方案。在本文中，我们发起了第一个系统的研究CRNs通过频谱分配的连通性问题的算法复杂性。我们将二级用户（SU）网络建模为一个潜在的图，其中两个节点之间有一条边，只要它们选择一个共同的可用信道，它们就连接起来。在一般情况下，潜在的图是任意的，SU可能有不同数量的天线，我们证明了它是NP-完全的，以确定是否网络是可连接的，即使只有两个通道。对于信道数恒定且所有SU的天线数相同的特殊情况，该问题也是NP完全的。对于势图是完备图、树或有界树宽图的特殊情况，证明了当通道数为参数时，该问题是NP完全的和固定参数可处理的.精确的算法也推导出确定一个给定的认知无线电网络的可连接性。
Query Complexity of Hypergraph Connectivity and Learnability using CUT Oracles
研究使用CUT查询揭示超图结构的问题，提出零错误随机算法在O(n)期望查询内识别加权超图的连通分量，并针对偶校验超图和线性超图给出高效确定性算法。
Applications of the quantum algorithm for st-connectivity
我们提出了各种问题的量子算法相关的图形连接。我们给出了简单的查询最优算法的周期检测和奇数长度的周期检测（biparteness）使用减少ST-连接。此外，我们表明，我们的算法的周期检测的承诺下，大电路秩或少量的边缘，提高了性能。我们还提供了算法，用于检测偶数长度的周期和估计电路秩的图。所有的算法都具有对数空间复杂度。
Path-contractions, edge deletions and connectivity preservation
我们从参数化复杂性的角度研究了连通性约束下图修改问题的几个相关问题：{ \sc（加权）双连通删除}，其中我们的任务是删除~ $k$边，同时保持无向图中的双连通性，{ \sc顶点删除保持强连通性}，其中我们希望保持有向图的强连通性，同时精确删除~ $k$顶点，和{ \sc保持强连通性的路径收缩}，其中替代地使用对弧的路径收缩的操作。Bang-Jensen和Yeo [DAM 2008]将最后一个问题的参数化易处理性作为一个开放性问题提出，我们在这里以否定的方式回答它：保持强连通性的两个变体都是$\sf W[1]$ -困难的。保持双连通性，另一方面，原来是固定参数易处理的，我们提供了一个$2^{O(k\log k)} n^{O(1)}$ -算法，解决{ \sc加权双连通删除}。此外，我们表明，未加权的情况下，甚至承认一个随机多项式内核。我们所有的研究结果提供了进一步有趣的数据点的系统研究中的参数化设置的连接性保护的限制。
Fast and Compact Sketch-Based Dynamic Connectivity
针对大规模稠密图的动态连通性问题，提出基于图sketch的并行算法及系统CUPCaKE，在低内存开销下实现微秒级查询和高吞吐量更新，突破了现有系统仅能兼顾两项性能指标的局限。
Tight algorithms for connectivity problems parameterized by clique-width
涉及全局约束的问题的复杂性通常比仅涉及局部约束的问题的复杂性更难理解。全局约束的一种自然形式是连通性约束。我们从细粒度参数化的角度研究连通性问题。Cygan等人（TALG 2022）通过引入切割和计数技术，首次获得了单指数运行时间c^{tw} n^O（1）的连通性问题的算法。在强指数时间假设（SETH）下，证明了所得到的基c是最优的.然而，由于只有稀疏图可能承认小树宽，我们缺乏知识的细粒度的复杂性，连接问题的密集结构。衡量密集结构的最流行的图形参数可以说是cuble-width，它直观地衡量了通过重复添加biclique来构建图形的容易程度。Bergougnoux和Kanté（TCS 2019）已经使用基于秩的方法证明，许多连通性问题也可以通过candle-width参数化来实现单指数算法。不幸的是，在SETH下获得的运行时间远不是最佳的。我们展示了如何获得最佳的运行时间参数化的两个基准连接问题，即连接顶点覆盖和连接支配集的宽度。这是第一个紧密的结果，连接问题的candle宽度和这些结果是通过开发新的算法的基础上的切割和计数技术和新的下界建设。精确地说，我们证明了存在单侧误差的Monte-Carlo算法，给定一个k-团表达式，在时间6^kn ^O（1）上求解连通顶点覆盖，在时间5^kn ^O（1）上求解连通支配集。这两个结果被证明是严格的SETH下。
Property-Testing in Sparse Directed Graphs: 3-Star-Freeness and Connectivity
我们研究有界度模型中有向图的属性测试，其中我们假设一个算法只能查询一个顶点的传出边，这是Bender和Ron在2002年提出的一个模型。作为我们的第一个主要结果，我们提出了一个强连通性的属性测试算法在这个模型中，具有查询复杂度为$\mathcal{O}(n^{1-ε/(3+α)})$的任意$α>0$，它是基于减少估计的顶点入度分布。对于无子图，给出了一个查询复杂度为$\mathcal{O}(n^{1-1/k})$的属性测试算法，其中$k$是被查询子图中没有引入边的连通分支的个数.此外，我们看看问题的测试是否弱连通图包含顶点的程度至少$3$，这可以被视为测试的自由度的所有方向的$3$ -明星，作为我们的第二个主要结果，我们表明，这个属性可以测试查询复杂性的$\mathcal{O}(\sqrt{n})$，而不是什么预期的，$Ω(n^{2/3})$。
Improved upper and lower bound techniques for monotone switching networks for directed connectivity
本文利用开关网络模型分析了一类输入图$G$的有向连通复杂度的单调空间。我们得到的上界和下界是以前结果的重要推广，证明涉及到一些全新的技术和思想。
On 2-strong connectivity orientations of mixed graphs and related problems
本文研究混合图的2-强连通定向问题，定义了移除任意边后仍可通过定向保持强连通的极大顶点集，通过归约为有向图2eTSCC计算实现线性时间求解，可应用于网络设计与建筑结构稳定性领域。
Parameterized Complexity of Streaming Diameter and Connectivity Problems
本文研究流式模型中直径和连通性问题的参数化复杂度，提出基于顶点覆盖的常数遍算法，并证明多种参数的下界，同时给出新的流式核化算法。
Parameterized Complexity of Secluded Connectivity Problems
隐蔽路径问题模拟了敏感信息必须沿着网络中的路径在一对节点之间传输的情况。所选路径的质量的度量是其暴露度，即其封闭邻域中顶点的总权重。为了最大限度地降低信息被截获的风险，我们有兴趣选择一条隐蔽的路径，即具有小暴露的路径。类似地，隐蔽斯坦纳树问题是在图中找到连接给定终端集合的树，使得树的暴露最小化。这些问题是Eschahik等人在[欧空局，2013年]中提出的。在其他的结果中，Escherhik等人已经证明了，在未加权图上，Secluded Path是固定参数可处理的（FPT），由图的最大顶点度参数化，Secluded Steiner Tree是FPT，由图的树宽参数化。在这项工作中，我们得到了以下结果的参数化复杂性的隔离连接问题。我们给出了FPT算法，判定具有给定代价函数的图G是否包含一条隐蔽路和一棵隐蔽Steiner树，该树的曝光量至多为k，代价至多为C。我们开始研究的“以上保证”参数化的隐蔽的问题，其中的下界是由一个斯坦纳树的大小。我们从核化的角度研究了隐式Steiner树，并给出了树宽、顶点覆盖大小、最大顶点度和解大小等参数的上下界。最后，我们通过改进输入图的树宽的指数依赖性来改进Escherhik等人的算法结果。
Constraint Generation Algorithm for the Minimum Connectivity Inference Problem
给定一个超图$H$，最小连通性推理问题要求在与$H$相同的顶点集上有一个图，它具有最少的边数，使得由$H$的每个超边导出的子图是连通的.这个问题已经得到了很多关注，这些年来，无论是从理论和实践的角度来看，导致几个实施近似，贪婪和启发式算法。关于精确算法，只有混合线性规划（MILP）配方已被实验，所有代表连接约束的图形流的手段。在这项工作中，我们研究了一个约束生成算法的效率，我们迭代地添加切割约束到一个简单的ILP，直到找到一个可行的（和最优的）解决方案。事实证明，我们的方法比以前最好的基于流的MILP算法在随机生成的实例，这表明，约束生成方法也可能是有用的其他优化问题处理连接约束。最后给出了该问题的一个枚举算法的结果。
Span-program-based quantum algorithms for graph bipartiteness and connectivity
Span程序是一种线性代数计算模型，可以用来设计量子算法。对于任何布尔函数，都存在一个生成程序，该生成程序导致具有最佳量子查询复杂度的量子算法。一般来说，找到这样的跨度程序不是一件容易的事情。在这项工作中，给定一个查询访问一个简单的图$G$与$n$顶点的邻接矩阵，我们提供了两个新的跨程序为基础的量子算法：一个算法用于测试，如果图是二分的，使用$O(n\sqrt{n})$量子查询;一个算法用于测试，如果图是连接的，使用$O(n\sqrt{n})$量子查询。
A Near-optimal Algorithm for Edge Connectivity-based Hierarchical Graph Decomposition
在图分析的许多应用的推动下，针对用户给定的$k$，计算图$G$的$k$-边连通分支（$k$-ECC）的问题最近得到了广泛的研究.本文研究了基于边连通性的图分解的层次结构的构造问题，该层次结构可紧表示图的所有可能的$k$值的$k$-ECC.这是基于每个$k$-ECC完全包含在$(k-1)$-ECC中的事实。与现有的方法进行计算，无论是在一个自下而上或自上而下的方式，我们提出了一个基于二进制搜索的框架，调用一个$k$-ECC计算算法作为一个黑盒子。令$T_{kecc}(G)$为针对特定$k$值计算$G$的所有$k$-ECC的时间复杂度。我们证明了该框架的时间复杂度为${\cal O}\big( (\log δ(G))\times T_{kecc}(G)\big)$，其中$δ(G)$是$G$的退化度，等于$G$所有子图的最小顶点度中的最大值.由于$δ(G)$对于真实世界的图来说通常很小，因此该时间复杂度最大为对数因子。
Stability and complexity of mixed discriminants
我们证明了$n$半正定$n \times n$实对称矩阵的混合判别式可以在准多项式$n^{O(\ln n -\ln ε)}$时间内在相对误差$ε>0$内近似，只要每个矩阵到单位矩阵在算子范数下的距离不超过某个绝对常数$γ_0 >0$ .对于矩阵的双随机$n$ -元组的混合判别式，我们从混合特征多项式根的Marcus-Spielman- Srivastava界得到了类似的结果.最后，我们构造了一个拟多项式算法来逼近矩阵的主子式的$m$次幂和，只要矩阵的算子范数严格小于1。如Gurvits所示，对于$m=2$，问题是$\#P$ -困难的，并且涵盖了计算秩为2的半正定矩阵的混合判别式的问题。
Efficient algorithm for the vertex connectivity of trapezoid graphs
角点位于两条平行线上的一组梯形的交图称为梯形图。这些图及其推广应用于各个领域，包括VLSI设计中的通道布线问题建模和生物信息学中的非重叠片段的最佳链识别。利用改进的二叉索引树数据结构，设计了一个计算梯形图$G$的顶点连通度的算法，其时间复杂度为$O (n \log n)$，其中$n$为梯形图的顶点个数.此外，我们建立了梯形图$G$是二部图的充分必要条件，并刻画了可表示为梯形图的树。
Parallel Graph Connectivity in Log Diameter Rounds
研究了MPC模型中的图连通性问题。在具有$n$节点和$m$边的无向图上，$O(\log n)$轮连通性算法已经已知超过35年。然而，没有更好的复杂性界限的算法是已知的。在这项工作中，我们给出了完全可扩展的，更快的算法的连通性问题，通过参数化的时间复杂度作为一个函数的直径的图形。我们的主要结果是一个$O(\log D \log\log_{m/n} n)$时间连通算法的直径$D$图，使用$Θ(m)$总内存。如果我们的算法可以使用更多的内存，它可以在更少的回合中终止，并且每个处理器的内存没有下限。我们将我们的结果扩展到相关的图问题，如生成森林，寻找DFS序列，精确/近似最小生成森林，瓶颈生成森林。我们还表明，在有向图中实现类似的边界的可达性将意味着更快的布尔矩阵乘法算法。我们介绍几个新的算法思想。我们描述了一个通用的技术，称为双指数速度的问题大小减少，这大致意味着，如果我们可以使用总内存$N$减少一个问题的大小$n$到$n/k$，$k=(N/n)^{Θ(1)}$在一个阶段，那么我们可以解决问题的$O(\log\log_{N/n} n)$阶段。为了实现这种快速减少图的连通性，我们使用多步算法。一个关键的步骤是一个精心构造的截断广播方案，其中每个节点广播邻居集的方式，限制所产生的邻居集的大小。另一个关键步骤是随机的领导者收缩，我们选择了一个比以前许多作品更小的领导者集合。
Mixed Linear Layouts: Complexity, Heuristics, and Experiments
图$G = (V,E)$的$k$ -页线性图布局沿着线$\ell$绘制所有顶点，并且在被称为页的$k$不相交半平面之一中绘制每条边，所述页由$\ell$界定。我们考虑两种类型的页面。在堆栈页面中，没有两个边缘应该交叉，在队列页面中，没有边缘应该被另一个边缘嵌套。堆栈（队列）页面中的交叉（嵌套）称为冲突。算法问题是双重的，并且需要计算（i）顶点排序和（ii）边缘的页面分配，使得所得到的布局是无冲突的或冲突最小的。虽然只有堆栈或只有队列页面的线性布局已经得到了很好的研究，但$s,q \ge 1$的混合$s$ -堆栈$q$ -队列布局受到的关注较少。我们展示了NP-完全性结果的识别问题的某些混合线性布局，并提出了一个新的启发式冲突最小化。在一个计算实验的情况下$s, q = 1$，我们表明，新的启发式是一个改进的线性布局比以前的启发式。
FPT Inapproximability of Directed Cut and Connectivity Problems
(see有向图上的割问题和连通问题是从参数复杂性的角度研究得很好的两类问题。经过一系列的文件在过去的十年中，我们现在有（几乎）严格的边界的运行时间的几个标准的变种，这些问题的参数化的两个参数：数量$k$的终端和大小$p$的解决方案。当有证据表明FPT难以处理时，下一个自然的选择是考虑FPT近似。在本文中，我们展示了两种类型的结果几个定向切割和连通性问题，建立在现有的结果从文献中：首先是规避这些问题的硬度结果，通过设计FPT近似算法，或者加强现有的硬度结果，通过创建“间隙实例”更强的假设，如（间隙）指数时间假设（ETH）。
Data Security Equals Graph Connectivity
为了保护交叉制表表中的敏感信息，通常的做法是抑制表中的某些单元格。本文研究了二维表的四个数据安全级别，以了解这种做法的有效性。这四个数据安全级别分别保护单个单元格、单个行和列、多个行或列作为一个整体以及一个表作为一个整体中包含的信息。本文提出了有效的算法和NP-完全性的结果，测试和实现这四个层次的数据安全性。所有这些复杂性的结果是通过基本的等价性之间的四个级别的数据安全的表和四种类型的连接图从该表构建。
On the fixed-parameter tractability of the maximum connectivity improvement problem
在最大连通性改进（MCI）问题中，我们给出了一个有向图$G=(V,E)$和一个整数$B$，我们被要求找到$B$新的边添加到$G$，以最大化所得到的图中的连接顶点对的数量。从近似的角度研究了MCI问题。在本文中，我们接近它从参数化的复杂性的角度来看，在有向无环图的情况下。我们展示了几个硬度和算法的结果，就不同的自然参数。我们的主要结果是：对于参数$B$，问题是$W[2]$ -困难的;对于参数$|V| - B$和参数$G$的匹配数$ν$，问题是FPT的.我们进一步描述MCI问题的其他补充参数。
Lifting Linear Extension Complexity Bounds to the Mixed-Integer Setting
混合整数数学规划是运筹学和相关领域中最常用的模型之一。然而，仍然很少有人知道什么可以表达的小型混合整数规划。特别是，在这项工作之前，它是开放的一些经典的问题，如最小奇截问题，可以表示为一个紧凑的混合整数规划，很少（甚至不断许多）整数变量。这与线性公式形成鲜明对比，其中扩展公式领域的最新突破表明，与经典组合优化问题相关的许多多面体甚至不允许亚指数大小的近似扩展公式。我们提供了一个一般的框架，提升的不可逼近性结果的扩展配方的混合整数扩展配方的设置，并获得几乎紧下界的整数变量的数量需要描述各种经典的组合优化问题。其中的影响，我们得到，我们表明，任何混合整数扩展配方的次指数大小的匹配多面体，割多面体，旅行商多面体或占主导地位的奇割多面体，需要$ Ω(n/\log n) $许多整数变量，其中$ n $是底层图的顶点数。相反，上述多面体允许多项式大小的混合整数公式，只有$ O(n) $或$ O(n \log n) $（对于旅行推销员多面体）许多整数变量。我们的结果建立在一个新的分解技术，对于任何凸集$ C $，允许近似任何混合整数描述的$ C $的交集$ C $与工会的少数仿射子空间。
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