Compactness and dichotomy in nonlocal shape optimization
我们证明了一个一般性的结果，满足适当的结构假设的非局部形状泛函的最小化序列的行为。典型的例子包括齐次Dirichlet边界条件下的分数拉普拉斯算子的特征值的函数。利用非局部版本的狮子的浓度紧凑性原则，我们证明，要么存在一个最佳的形状，或存在一个最小化序列组成的两个“件”的相互距离趋于无穷大。我们的工作是由Bucur在当地的情况下获得类似的结果的启发。
2018-06-04 math.AP
On the Shape of Small Liquid Drops Minimizing Nonlocal Energies
本文研究势能作用下分数周长极小化问题中小液滴的平衡形状，并通过定量估计证明小体积极小元具有凸性且一致逼近球体。
2023-04-13 math.AP
Transmission problems with nonlocal boundary conditions and rough dynamic interfaces
我们考虑了一个传输问题，由一个半线性抛物型方程在一般的非光滑设置，重点是粗糙的接口，承担一个分形几何和非线性动态（可能，非局部）沿界面的边界条件。我们给出了一个统一的框架强解的存在性，有限维吸引子的存在性和blow-up现象的解决方案在一般条件下的体积和界面的非线性与竞争行为在无穷远。
2015-09-10 math.AP math.DS
On the shape of minimizers for the periodic nonlocal perimeter in $\mathbb{R}^2$
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了二维周期非局部周长极小解的形状，通过分支分析和计算证明非局部Delaunay集在特定条件下不稳定，并支持极小解在大区域范围内为直线带的猜想。
2026-02-20 math.AP
Nonlocal Shape Optimization via Interactions of Attractive and Repulsive Potentials
考虑一类固定质量集的非局部形状最优化问题，其中能量泛函由幂律形式的相互作用势给出.我们发现这个形状最优化问题的最小值的存在关键取决于质量的值。我们的结果包括存在定理的大质量和不存在定理的小质量的类中的吸引力的潜在的一部分是二次的。特别地，对于排斥力由牛顿位势给出的情况，我们证明了质量存在一个临界值，在该值以上的球是唯一的极小元，在该值以下的极小元不存在。证明依赖于放松的变分问题有界密度，和最近的进展，非局部障碍问题。
2016-06-06 math.AP
Shape optimization problems involving nonlocal and nonlinear operators
本文研究状态方程含非局部非线性算子的一般形状优化问题，证明拟开子集上泛函最小点的存在性，并分析 $s\to1$ 时解的渐近行为及各向异性推广。
2024-06-12 math.AP
On the Strong Attraction Limit for a Class of Nonlocal Interaction Energies
本文研究了在强吸引极限下，在质量约束下，在$\mathbb{R}^n$上的测度上极小化一类非局部能量泛函的问题.在这些问题中，总能量是对吸引-排斥型相互作用的积分。相互作用核是具有与里斯位势相关的吸引力$α\in (0, \infty)$和排斥力的竞争幂律势的总和。强吸引力极限$α\to \infty$通过伽玛收敛解决，和极限的极小化的特点是在一个等直径容量问题。我们还提供了证据，在高维度的破缺。
2020-03-04 math.AP
Shape optimisation for nonlocal anisotropic energies
研究二维和三维中带二次吸引与各向异性 Coulomb 排斥的非局部形状优化问题，依据相互作用势 Fourier 变换的正性条件刻画质量阈值及椭球极小元的存在性。
2024-01-25 math.AP
On the Second Eigenvalue of Combination Between Local and Nonlocal $p$-Laplacian
本文研究了算子$-\De_p u -\De_{J,p}u$第二特征值的山路刻画，并研究了与这些特征值有关的形状最优化问题。
2019-01-11 math.AP
Isoperimetric problems for a nonlocal perimeter of Minkowski type
证明了Minkowski型非局部周长的等周不等式的一个定量形式。我们也将这个结果应用于研究在凸性约束下具有排斥相互作用项的等周问题。我们证明了极小的存在性，并描述了极小的形状在一定的参数制度。
2017-09-25 math.AP
On the cauchy problem with degenerate diffusion and nonlocal nonlinear sources
本文研究一类具有多孔介质的非线性扩散和非线性非局部反应的广义抛物型方程的非负解。我们调查在什么条件下两个竞争的影响，排斥模型的非线性扩散和聚集模型的非线性反应之间的平衡，发生。精确地说，我们证明了解的定性行为是由非线性扩散决定的，选择非线性扩散的尺度与反应项一致，即存在一个临界指数$m+2/n$，反应指数$α,$解存在全局一致上界的情况下（i）$1\le α<m+2/n$对任何初始数据，（ii）用于小初始数据的$α>m+2/n$和（iii）用于小质量容量$M_0$的$α=m+2/n$。在（ii）和（iii）的情况下，还讨论了解的衰减性质。此外，进行了数值模拟，以验证理论分析，并探讨其他问题，在于分析范围之外。
2021-08-26 math.AP
Asymptotic formulas for $L^2$ bifurcation curves of nonlocal logistic equation of population dynamics
Hiroshima University（广岛大学）
本文研究了非局部种群动力学方程中 $L^2$ 分岔曲线的渐近行为，推导了当 $α$ 趋近于无穷大时的精确渐近公式。
2025-12-16 math.AP
Minimality of polytopes in a nonlocal anisotropic isoperimetric problem
我们考虑在体积约束下，由晶体周长和Riesz型非局部相互作用之和给出的能量泛函的最小化。我们表明，在小质量制度，如果各向异性周长的武尔夫形状具有一定的对称性，那么它是唯一的总能量的全局极小。在二维中，这适用于相对于角的平分线反射对称的凸多边形。我们进一步证明了一个刚性的结构的（局部）极小在二维。
2021-04-01 math.AP
Propagation phenomena with nonlocal diffusion in presence of an obstacle
本文考虑一类非局部半线性抛物型方程在$\mathbb{R}^N\setminus K$形式的连通外部区域上的解，其中$K\subset\mathbb{R}^N$是一个紧的“障碍”.我们研究的模型的动机是在生物学中的应用，并考虑到可能是各向异性的，这取决于一个给定的人口如何感知环境的长距离扩散事件。为了以一种有意义的方式制定这一点，我们引入了一个新的理论框架，这是数学和生物学的兴趣。本文的主要目标是构建一个完整的解决方案，表现得像一个平面行波作为$t\to-\infty$，并研究如何传播这个解决方案取决于障碍物的形状。我们表明，解决方案是否恢复的形状的平面前在大的时间限制是等价的，是否满足一定的刘维尔型属性。我们研究了这种Liouville型性质的有效性，我们推广了Hamel，Valdinoci和作者的一些结果。最后，我们表明，整个解决方案是一个广义的过渡前。
2020-05-28 math.AP
A nonlocal anisotropic eigenvalue problem
该研究针对非局部各向异性特征值问题，在给定测度区域中找出使受未知函数积分扰动的各向异性拉普拉斯算子第一特征值最小的形状，并揭示了其随权重变化的饱和现象。
2020-08-09 math.AP
Asymptotic behaviour for local and nonlocal evolution equations on metric graphs with some edges of infinite length
我们研究了局部（热方程）和非局部（卷积型问题与可积核）的度量连通有限图，其中一些边具有无穷长的发展问题。我们表明，局部和非局部问题的解决方案的渐近行为是由热方程的解决方案，但在一个星形图，其中只有一个节点和无限多的边缘，在原来的图形。通过这种方式，我们得到的紧凑的组成部分，包括在所有的顶点和所有的边缘的有限长度可以减少到一个单一的点时，看的渐近行为的解决方案。对于这个星形极限问题，解的渐近性态由射线上的热方程的解给出，该方程具有Neumann边界条件，初始点为$x = 0$，初始点为$(2M/N)δ_{x=0}$，其中M是原问题初始条件的总质量，$N$是无限长边的个数.此外，我们表明，解决方案的非局部问题的收敛，当我们重新缩放的内核，解决方案的热方程（局部问题），也就是说，我们找到一个放松限制。
2020-10-11 math.AP
A Hong-Krahn-Szegö inequality for mixed local and nonlocal operators
给定一个有界开集$Ω\subseteq{\mathbb{R}}^n$，研究了在$Ω$的补中具有消失条件的非线性混合局部/非局部算子的特征值问题.证明了体积为$Ω$一半的球形$B$的第二特征值$λ_2(Ω)$总是严格大于第一特征值$λ_1(B)$.通过与极限情况（$Ω$由两个相距较远的相等球组成）的比较，证明了该界是尖锐的.更确切地说，不同于当地的情况下，第二个本征值问题的最佳形状不存在，但最小化序列是由两个不相交的球的一半体积的相互距离趋于无穷大的联盟。
2021-10-14 math.AP
The Pohozaev identity for mixed local-nonlocal operator
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）
本文证明了混合局部-非局部算子的POHODAEV恒等式，并应用该恒等式推导了特征函数的唯一持续性性质及星形域中非平凡解的不存在性。
2026-01-13 math.AP
Nonexistence results for nonlocal equations with critical and supercritical nonlinearities
本文证明了一类非局部算子为\[Lu(x)=\sum a_{ij}\partial_{ij}u+{\rm PV}\int_{\R^n}(u(x)-u(x+y))K(y)dy.\]的非线性问题非平凡有界解的不存在性。这些算子是对称Lévy过程的无穷小生成元。我们的结果适用于甚至核$K$满足$K(y)|y|^{n+σ}$是非减少沿射线从原点，对于一些$σ\in(0,2)$的情况下$a_{ij}\equiv0$和$σ=2$的情况下，$(a_{ij})$是一个正定对称矩阵。我们的不存在性结果关注的Dirichlet问题的$L$在星形域的临界和超临界非线性（其中的临界条件是有关$n$和$σ$）。我们还建立了不存在的有界解的半线性方程，涉及其他非局部算子，如高阶分数拉普拉斯算子$(-Δ)^s$（这里$s>1$）或分数$p$ -拉普拉斯算子。所有这些不存在的结果遵循一个一般的变分不等式的精神，一个经典的身份由Pucci和Serrin。
2013-09-20 math.AP
On minimizers of an anisotropic liquid drop model
我们考虑一个变种的伽莫夫的液滴模型与各向异性的表面能。在适当的规则性和椭圆率假设的表面张力，武尔夫形状是极小在这个问题中，当且仅当表面能是各向同性的。我们表明，对于光滑的各向异性，在小的非局域性制度，极小收敛到武尔夫形状$C^1$规范和量化的收敛速率。我们还获得了一个定量的扩展的能量周围的能量产生的几何稳定性结果的武尔夫形状的任何极小。对于某些晶体表面张力，我们可以确定整体极小值，并获得其精确的能量展开的非局域性参数。
2020-10-14 math-ph math.AP math.MP
Existence and Regularity in the Small-Mass Regime for a Hartree--Ohta-Kawasaki Shape Optimization Problem
本文研究了混合能函数的小质量范围内形状优化问题，证明了体积约束下的极小值解存在且为球体的C^{2,α}扰动，结合手术技术、Γ收敛、椭圆PDE理论和一相自由边界正则性。
2026-04-15 math.AP
Some flows in shape optimization
研究了与Bernoulli型形状最优化问题有关的几何流动。演化律是一个曲率项和一个Hele-Shaw型非局部项之和。我们引入广义集合解，其定义广泛地受到黏性解的启发。主要结果是广义解的包含保持原理。从而得到了解的存在性、唯一性和稳定性。讨论了该流动的渐近性质：证明了其解收敛于广义Bernoulli外自由边界问题。
2010-02-12 math.AP
