具有实 Weil 数的极化超特殊单阿贝尔曲面
Polarized superspecial simple abelian surfaces with real Weil numbers
AI总结：
本文针对有限域上对应于实 Weil 数 ±√q 的单同源类，给出了主极化超特殊阿贝尔曲面的类数公式和型数公式，并揭示了其与 Hilbert 模曲面算术亏格之间的恒等关系。
摘要：
设 $q$ 为素数 $p\in \mathbb{N}$ 的奇次幂，$\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上对应于实 Weil $q$-数 $\pm \sqrt{q}$ 的单同源类中主极化超特殊阿贝尔曲面的同构类的有限集合。我们给出 $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 的如下显式公式：（i）类数公式，即 $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 的基数；（ii）型数公式，即 $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ 的底层阿贝尔曲面的自同态环的同构类数目。对于该同源类中按照其极化模归类的其他极化超特殊成员集合，也得到了类似的公式。我们观察到若干令人惊讶的恒等式，一侧是某些 Hilbert 模曲面的算术亏格，另一侧是该同源类中 $(P, P_+)$-极化超特殊阿贝尔曲面的类数或型数。
英文摘要：
Let $q$ be an odd power of a prime $p\in \mathbb{N}$, and $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ be the finite set of isomorphism classes of principally polarized superspecial abelian surfaces in the simple isogeny class over $\mathbb{F}_q$ corresponding to the real Weil $q$-numbers $\pm \sqrt{q}$. We produce explicit formulas for $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$ of the following kinds: (i) the class number formula, i.e.~the cardinality of $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$; (ii) the type number formula, i.e. the number of endomorphism rings up to isomorphism of the underlying abelian surfaces of $\mathrm{PPSP}(\sqrt{q})$. Similar formulas are obtained for other collections of polarized superspecial members of this isogeny class grouped together according to their polarization modules. We observe several surprising identities involving the arithmetic genus of certain Hilbert modular surface on one side and the class number or type number of $(P, P_+)$-polarized superspecial abelian surfaces in this isogeny class on the other side.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
