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arXiv 2009.02442math.NT
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单演纯立方

Monogenic pure cubics

Zafer Selcuk Aygin, Khoa D. Nguyen

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摘要：

设$k\geq 2$是一个无平方的整数。证明了对于任意$ε>0$，使$(k,m)=1$和$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{k^2m})$单演的无平方数$m\in [1,N]$的个数是$\gg N^{1/3}$和$\ll N/(\log N)^{1/3-ε}$.假设ABC，上限可以改进为$O(N^{(1/3)+ε})$。设$F$是具有$(q,3)=1$的$q$阶有限域，$g(t)\in F[t]$是非常数平方自由域.本文无条件地证明了使$°(h)\leq N$、$(g,h)=1$和$F(t,\sqrt[3]{g^2h})$单演的无平方数$h(t)\in F[t]$的个数是$\gg q^{N/3}$和$\ll N^2q^{N/3}$的类似结果。

英文摘要：

Let $k\geq 2$ be a square-free integer. We prove that the number of square-free integers $m\in [1,N]$ such that $(k,m)=1$ and $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{k^2m})$ is monogenic is $\gg N^{1/3}$ and $\ll N/(\log N)^{1/3-ε}$ for any $ε>0$. Assuming ABC, the upper bound can be improved to $O(N^{(1/3)+ε})$. Let $F$ be the finite field of order $q$ with $(q,3)=1$ and let $g(t)\in F[t]$ be non-constant square-free. We prove unconditionally the analogous result that the number of square-free $h(t)\in F[t]$ such that $°(h)\leq N$, $(g,h)=1$ and $F(t,\sqrt[3]{g^2h})$ is monogenic is $\gg q^{N/3}$ and $\ll N^2q^{N/3}$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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