Simplicial Hausdorff Distance for Topological Data Analysis
本文提出一种修正的单纯复形豪斯多夫距离，将几何邻近性与拓扑特征结合为扩展度量，并给出过滤复形版本及计算复杂度结果。
2025-02-06 cs.CG math.AT
m-Contiguity Distance
Bursa Technical University（布尔萨理工大学）；Suleyman Demirel University（苏莱曼·德米雷尔大学）
本文系统发展了单纯映射间的m-连续性距离，作为simplicial复形中同调复杂度的离散近似框架，构建了逼近连续性距离的递增不变量序列，并建立了其在巴列中心细分、组合和积不等式下的基本性质，定义了m-单纯 Lusternik-Schnirelmann范畴和m-离散拓扑复杂度。
2026-08-04 math.AT
Crossed simplicial groups and structured surfaces
我们提出了一个推广的带状图的概念，适合提供组合模型的标记表面配备了G-结构。我们的主要见解是，必要的组合是整齐地捕获的概念，一个交叉单纯组介绍，独立，由Krasauskas和Fiedorowicz Loday。在这种情况下，康纳斯'循环范畴导致丝带图，而其他交叉单纯组自然产生不同的概念，结构图模型无定向，N-自旋，框架等，表面。我们的主要结果是，结构图提供了相应的G-结构模空间的球胞分解。作为一个应用程序，我们展示了如何建立在我们的理论2-Segal空间，由此产生的理论可以用来构建分类状态和不变量的G-结构表面。
2015-05-27 math.AT
New families of simplicial filtration functors
所谓的Čech和Vietoris-Rips单纯滤波被设计用于捕获关于度量数据集的拓扑结构的信息。这些过滤是拓扑数据分析领域中的两个主要问题。它们相对于Gromov-Hausdorff（GH）距离具有稳定性，这种稳定性允许我们估计底层数据集的有限度量空间表示之间的GH距离。通过Gromov曲率集的概念，我们构建了一个丰富的赋值诱导稳定滤子的理论框架。该框架包括Čech和Vietoris-Rips过滤函子以及许多新颖的过滤函子，这些过滤函子捕获数据集中存在的各种特征。我们进一步探索基点过滤函子的概念，并使用它来提供我们识别的过滤函子的分类。
2017-12-03 math.AT
Hausdorff metric between simplicial complexes
我们在单纯复形之间引入了一个距离函数，并研究了它的一些性质。
2020-01-31 math.AT math.MG
Discrete Topological complexity
我们引入了离散拓扑复杂性的概念，在设置的单纯复形，仅使用的组合结构的复杂的连续单纯映射的概念。我们研究了这个新的不变量与单纯和拓扑LS范畴的不变量之间的联系。
2017-06-09 math.AT
A Computational (Co)homological Approach to Contiguity Distance
本文提出了一种基于同调的计算方法，用于计算连续映射之间的距离，并通过具体计算验证了该方法的有效性。
2025-11-25 math.AT
Model comparison via simplicial complexes and persistent homology
在许多科学和技术背景下，我们对适当的数学模型的结构和细节只有很差的理解。因此，我们经常需要比较不同的模型。利用现有数据，我们可以使用正式的统计模型选择来比较和对比不同数学模型描述此类数据的能力。然而，缺乏严格的方法来比较不同的模型\emph{a priori}。在这里，我们开发和说明两个这样的方法，使我们能够比较模型的结构，在一个系统的方式{通过表示模型的单纯复形}。使用从单纯代数拓扑的发达的概念，我们定义了模型之间的距离的基础上，他们的单纯表示。采用具有平坦过滤的持久同源性提供了模型作为持久区间的替代表示，持久区间表示模型的结构，从中我们还可以获得模型之间的距离。然后，我们扩大了这种措施的模型距离研究的概念，模型等价，以确定模型的概念相似性。我们应用我们的模型比较的方法来证明一个位置信息模型和图灵模式模型从发育生物学之间的等价性，构成了一个新的观察两类模型，以前被认为是不相关的。
2021-09-16 math.AT q-bio.QM
Community structures in simplicial complexes: an application to wildlife corridor designing in Central India -- Eastern Ghats landscape complex, India
单纯复杂的概念，从代数拓扑学的理解和建模的遗传信息，流程和生物体之间的未受损的栖息地的区域设计的野生动物走廊的老虎（豹底格里斯）在印度中部东高止山脉景观复杂的网络。这项工作扩展和改进了以前的工作，利用了最小生成树的概念，从加权图中的焦点景观，这表明一个可行的走廊网络的老虎种群的保护区（PA）的景观复杂。网络的中心确定的栖息地补丁和关键参数，是中央的老虎运动过程中的网络。我们将顶点中心性的概念推广到单纯中心性，从而得到顶点间的邻接和连接。因此，生态信息传播迅速，甚至在局部范围内，在这些网络代表一个良好的集成和自我解释的模型作为一个社区结构。一个简单的复杂网络的基础上计算的网络中心的景观矩阵提出了一个老虎走廊网络的景观复杂，建议更好地对应于现实比以前提出的模型。由于上述网络的功能和结构特性，这项工作提出了一个生态网络的走廊最站得住脚的使用老虎种群在保护区和保护区以外的焦点景观。
2020-08-06 math.AT physics.soc-ph
Dimensional operators for mathematical morphology on simplicial complexes
在这项工作中，我们研究了单纯复空间上的数学形态学框架。单纯形复形被广泛用于表示多维数据，例如网格，其是二维的复形，或者图形，其可以被解释为一维复形。数学形态学是用于图像处理（包括数字结构的处理）的最强大的框架之一，并且被大量用于许多应用。然而，单纯复空间上的数学形态学算子在文献中并不是一个充分发展的概念。具体来说，我们探索的维度运营商，小，多功能的运营商，可用于定义新的运营商的单纯复形，同时保持从数学形态学的属性的属性。这些操作也可以用来恢复许多形态学运营商从文献中。Matlab代码和其他材料，包括原始属性的证明，可以在\url{https://code.google.com/p/math-morpho-simplicial-complexes.}上免费获得
2014-01-22 cs.DM math.AT
Dist2Cycle: A Simplicial Neural Network for Homology Localization
The University of Edinburgh（爱丁堡大学）；University of Oxford（牛津大学）
单纯形复形可以被看作是图的高维推广，它以不同的分辨率同时对顶点之间的多路有序关系进行显式编码。这个概念是中央对检测数据的高维拓扑特征，特征的图形，只编码成对的关系，保持遗忘。虽然已经尝试将图神经网络（GNN）扩展到单纯的复杂设置，但是这些方法并不固有地利用或推理网络的底层拓扑结构。我们提出了一个图卷积模型的学习函数参数化的$k$ -同调功能的单纯复形。通过光谱操纵他们的组合$k$维Hodge Laplacian，所提出的模型，使学习拓扑特征的基础单纯形复合体，具体地说，距离最近的“最佳”$k$ -th同源生成器的每个$k$ -单纯形，有效地提供了一种替代同源本地化。
2022-07-03 cs.LG math.AT
Computational complexity of the homology problem with orientable filtration: MA-completeness
本文通过引入“一致可定向过滤”概念，证明了单纯复形上同调问题的MA完备性，并设计了高阶随机游走及归约装置，首次将拓扑、持续同调与量子计算结合，给出自然MA完备问题。
2025-10-08 cs.CC math.AT quant-ph
The Topological Structures of the Orders of Hypergraphs
该研究从范畴论角度探索并完成了二元关系的三个基本视角（超图关联矩阵、概念格形式背景、单纯复形上的拓扑余层）之间的关系映射，提出整合性函子框架并给出三个新结果，通过例子说明概念及与以往结果的联系。
2025-04-18 math.AT math.CO math.CT
Persistent Homology of Geospatial Data: A Case Study with Voting
分析持久同源性的关键步骤是将数据转换为适当的拓扑对象（在我们的例子中，是单纯复形）。现代的持久同源性软件包通常在点云上构造Vietoris-Rip或其他基于距离的单纯复形，因为它们相对容易计算。我们研究了替代方法构建这些复杂的和相关的选择在单纯复杂的建设持续同源算法的输出的影响。我们提出了两种新的方法，从二维地理空间数据（如地图）构建单纯形复合体。我们将这些方法应用于加州选区级投票数据集，证明我们的新结构可以捕获基于距离的结构所错过的几何特征。因此，我们的新构造可以为地理空间数据产生更多可解释的持久化模块和条形码。特别是，它们能够区分仅在很窄的距离尺度范围内出现的短持续性特征（例如，在人口稠密的城市中的投票行为）从短持久性噪声通过合并关于选区之间的其他空间关系的信息。
2019-09-16 cs.CG cs.SI math.AT
Divisive cover
本文的目的是提出一种计算持久同源性的方法，在大的过滤值，表现良好。为此，我们引入过滤覆盖的概念。证明了由Čech复形得到的有界度量空间的持久同调是滤Čech覆盖的滤神经的持久同调.给定一个参数$δ$与$0 < δ\le 1$，我们介绍了一个$δ$过滤盖的概念，并表明其过滤神经交错的Čech复杂。最后，我们介绍了一个特殊的$δ$ -过滤覆盖，分裂覆盖。分离盖的特点是它是自上而下构造的。如果我们忽略精细尺度结构，并且$X$是欧几里得空间的有限子空间，那么我们得到一个过滤单纯复形，其大小由一个与$X$的基数无关的上界来限定.计算该滤波单纯复形所需的时间线性地取决于$X$的基数。
2018-05-28 math.AT
Algebraic and Topological Persistence
本论文探讨了拓扑空间与持久性理论的基础，利用代数拓扑工具证明切除定理及单纯与奇异同调的等价性，并规范发展了可三角剖分拓扑空间的持久同调与上同调理论。
2024-10-10 math.AT
Centrality measures in simplicial complexes: applications of Topological Data Analysis to Network Science
在社会科学、生物和生物医学科学或计算机科学中，许多真实网络具有反映多体相互作用的单纯复形的固有结构。因此，为了分析单纯复形网络的拓扑和动力学性质，需要提出单纯形的中心性度量。许多经典的复杂网络的中心性是基于节点的度，所以为了定义单纯形的度中心性度量（这会影响单纯网络中单纯社区的相关性），需要对单纯形之间的邻接性进行不同的定义。这些笔记的目的是三个方面：首先，我们将使用最近引入的高阶单纯度的概念，提出新的程度为基础的中心性措施在单纯复形。这些理论中心性度量，如单纯度中心性或特征向量中心性，不仅可以研究单纯网络中单纯社区的相关性及其高阶连接的质量，而且可以帮助阐明单纯网络的拓扑和动力学性质;第二，我们定义了单纯复形中的行走和距离的概念，以研究单纯网络的连通性，并推广到单纯的情况，众所周知的接近中心和中间中心（例如，需要研究单纯共同体在传递信息能力方面的相关性）;第三，我们提出了一个新的单纯形网络中单纯形的聚类系数，不同于迄今所知的，它推广了顶点的标准图聚类。这个度量对于了解单纯网络的单纯社区密度是必不可少的。
2020-04-15 math.AT math.CO physics.soc-ph
Multiple Cylinder of Relations for Finite Spaces and Nerve Theorem for Strong-Good Cover
本文提出关系多重柱概念以推广映射柱并捕捉有限空间链的复杂同伦结构，同时引入强-好覆盖，证明了具有该覆盖的单纯复形与有限空间及其神经保持相同简单同伦型，强化了经典神经定理。
2025-05-28 math.AT math.CO
An extension theory for partial groups and localities
部分群是A.切马克通过把部分群看作单纯集，我们利用（单纯）纤维丛的概念给出了部分群的扩张理论。这样，群的经典扩张理论自然地扩展到部分群的扩张理论。特别是，我们证明了范畴的部分群体是封闭的扩展。我们还描述了上同调障碍的存在性和唯一性的扩展，推广通常的障碍群扩展。本文的第二部分考虑了（有限）局部的扩张，这是一种特殊类型的偏群，模仿了有限群的p-局部结构。这里的目标是给出充分条件，使定域的扩展产生一个新的定域。
2015-09-02 math.AT math.GR
Computing persistent homology by spanning trees and critical simplices
本文提出通过搜索各阶生成树并利用临界单纯形构造离散 Morse 函数，以理论最少临界单纯形快速计算持续同调、Betti 数和空腔构成。
2023-09-28 cs.CC math.AT
Categorifying equivariant monoids
本文结合 PROPs、PROBs 与交叉单纯群理论，构造出编码等变幺半群结构的范畴，其代数范畴等价于带群作用的各类幺半群，并扩展至平衡辫张范畴和对合幺半群。
2022-11-06 math.AT math.CT
On topological data analysis for SHM; an introduction to persistent homology
University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文旨在讨论一种方法，量化的“形状”的数据，通过一种方法称为拓扑数据分析。拓扑数据分析中的主要工具是持久同源性;这是一种从单纯复形的同源性测量数据形状的方法，在值域上计算。所需的背景理论和计算持久同源性的方法在这里，具体的结构健康监测的应用。这些结果允许拓扑推理和推断高维数据中的特征的能力，否则可能会被忽视。一个单纯复形的数据构造一个给定的距离参数。该复合体编码关于数据点的局部接近度的信息。奇异同调值可以从这个单纯复形中计算出来。扩展这一思想，距离参数的值的值域，并在此范围内计算的同源性。持续同源性是数据的同源特征如何在此区间内持续的表示。结果与数据相符。还讨论了一种方法，允许比较不同的数据集的持久性同源性。
2022-09-12 cs.LG cs.MS math.AT
Computability of finite simplicial complexes
集合的拓扑性质对它的可计算性有很大的影响。球面和闭流形给出了这个思想的一个突出的例子：如果一个集合$X$同胚于一个球面或闭流形，那么任何半计算$X$的算法在某种意义上都可以转换成完全计算$X$的算法。换句话说，$X$的拓扑性质使得能够从关于$X$的部分信息导出关于$X$的全部信息。在这种情况下，我们说$X$具有可计算类型。米勒、伊利亚佐维奇、苏希奇和其他人近年来取得了这些成果。类似的可计算类型的概念也被定义为对$(X,A)$，以覆盖更多的空间，如有边界的紧致流形和有端点的有限图。我们研究了图的高维模拟，即对$(X,A)$，其中$X$是一个有限的单纯复形和$A$是$X$的子复形。给出了具有可计算型的对的两个拓扑刻画。第一种方法使用对的全局性质，我们称之为$ε$ -满射性质。第二种方法使用了顶点邻域的局部性质，称为满射性质。通过确定哪些局部邻域具有满射性质，我们进一步刻画了$2$维单纯复形。使用这些特征，我们给非平凡的应用程序两个著名的集：我们证明了傻瓜帽不具有可计算类型，而冰的房子。拓扑学中的重要概念，如绝对邻域收缩核和拓扑锥，在我们的证明中起着关键作用。
2022-02-10 math.AT math.GN math.LO
Effective Resistance in Simplicial Complexes as Bilinear Forms: Generalizations and Properties
本文将源于电路理论的图有效电阻推广为单纯复形中与基无关的双线性形式，统一现有矩阵表述并建立高阶类似性质（如链空间伪度量、循环空间度量及福斯特定理推广）。
2025-11-13 cs.CG cs.DM math.AT
Mutiscale Mapper: A Framework for Topological Summarization of Data and Maps
从定义在数据集上的数据集和地图中总结拓扑信息是拓扑数据分析的中心主题。\textsf{Mapper}是一种用于这种概括的工具，它将可能的高维数据集和在数据上定义的映射两者作为输入，并通过使用映射的余域的覆盖来产生数据的概括。这个覆盖，通过对域的拉回操作，产生连接数据点的单纯复形。通过codomain的封面得到的数据视图提供了分析数据的灵活性。然而，它只提供了一个视图在一个固定的比例，在其中盖的建设。受这个概念的启发，我们探索了一个概念的塔的覆盖，诱导塔的单纯复形连接的单纯映射，我们称之为{ \em多尺度映射}。我们研究所产生的结构，它的稳定性，并设计实用的算法来计算其相关的持久性图有效。具体地说，当定义域是单纯复形，映射是实值分段线性函数时，该算法可以仅从输入复形的1-骨架计算精确的持久性图。对于一般的地图，我们提出了一个组合版本的算法，只作用于\emph{vertex sets}连接的1-骨架图，该算法近似的精确持久性图由于稳定的结果，我们显示举行。我们还涉及的多尺度映射器与Čech复杂所产生的一个自然的拉回伪度量定义的输入域。
2016-01-12 cs.CG math.AT
