Right and Wrong Ansätze for Nonlinear Waves in Stochastic PDEs
Dutch Institute for Emergent Phenomena, University of Amsterdam（荷兰涌现现象研究所，阿姆斯特丹大学）
研究通过乘以随机指数寻找随机反应扩散方程显式解的可行性，指出该方法仅在Stratonovich解释下的NLS型方程中有效。
2026-03-26 math.AP
Approximate homogenization of fully nonlinear elliptic PDEs: estimates and numerical results for Pucci type equations
对于具有非线性Pucci算子结构的偏微分方程，我们感兴趣的是均匀化算子$\overline F(Q)$的形状。典型的操作符是$H^{a_1,a_2}(Q,x) = a_1(x) λ_{\min}(Q) + a_2(x)λ_{\max}(Q)$。算子的线性化导致非散度型的均匀化问题，该问题可以通过对不变测度求平均来解决。我们估计的误差线性化的基础上的非线性算子的半线性估计。这些估计表明，远离高曲率区域，线性化可以是准确的。数值结果表明，对于许多值的$Q$，线性化是高度准确的，即使在拐角处，误差可以是小的（百分之几），即使相对较宽的范围内的系数。
2018-05-14 math.AP
Exact solutions of generalized non-linear time-fractional reaction-diffusion equations with time delay
本文提出用不变子空间方法求解时滞分数阶偏微分方程的精确解。提出了一种求具有时滞的广义非线性时间分数阶反应扩散方程不变子空间的算法。证明了具有时滞的分数阶反应扩散方程存在多个不变子空间，从而得到多个不同的解析解.我们还演示了如何获得精确解的时间分数偏微分方程的多个时间延迟。最后，我们将不变子空间方法推广到更广义的含时滞非线性项的时间分数阶偏微分方程。
2020-01-26 math-ph math.AP math.MP
Approximate viscosity solutions of path-dependent PDEs and Dupire's vertical differentiability
对一类非线性路径依赖偏微分方程（PPDE），包括Hamilton-Jacobi-Bellman型方程，引入了近似黏性解的概念.在相当一般的条件下，建立了存在性、比较性和稳定性结果。当维数小于等于2或非线性项在二阶空间导数中为凹时，也与光滑解一致。最后，我们调查的正规性（在Dupire的意义下）的解决方案的PPDE。
2021-09-08 math.AP math.PR
Initial value problem for the two-dimensional time-fractional generalized convection-reaction-diffusion-wave equation: Invariant subspaces and exact solutions
本文研究如何将不变子空间方法推广到二维时间分数阶非线性偏微分方程。更准确地说，首次系统地研究了二维时间分数阶广义对流反应扩散波动方程的不变子空间的维数和初始条件.此外，还分别讨论了反应扩散波动方程、对流扩散波动方程和扩散波动方程的特殊类型。此外，我们解释了如何获得各种精确解的基本方程以及初始条件，使用所获得的不变子空间。最后，我们将此方法推广到二维时间分数阶非线性时滞偏微分方程。通过二维时间分数阶三次非线性时滞对流反应扩散波动方程的数值算例，说明了该方法的有效性和适用性。此外，我们还观察到所得到的精确解可以看作是Mittag-Leffler函数与多项式、指数和三角型函数的组合.
2021-07-25 math.AP
Approximate controllability of nonlinear parabolic PDEs in arbitrary space dimension
本文考虑任意维环面上的抛物型偏微分方程。非线性项是任意次多项式增长的光滑函数。在这个一般的设定下，相应的柯西问题不一定是适定的。我们表明，该方程的问题是近似可控的只有有限数量的傅立叶模式。利用Agrachev和Sarychev引入的几何控制理论中的一些思想证明了这一结果。
2020-06-12 math.AP math.OC
A drift approximation for parabolic PDEs with oblique boundary data
本文研究了有界区域中具有零斜边界数据的拟线性抛物型偏微分方程的解。我们的主要结果指出，解决方案可以近似为一个偏微分方程的解决方案在整个空间与惩罚漂移项。收敛性是局部一致的，并得到了最优的误差估计。
2014-03-11 math.AP
Universal approximations of quasilinear PDEs by finite distinguishable particle systems
本文证明任何拟线性PDE的正则解可由N个可区分粒子系统以1/ln(N)误差逼近，并关联图极限理论。
2025-01-20 math.AP
Neural Operators of Backstepping Controller and Observer Gain Functions for Reaction-Diffusion PDEs
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
与常微分方程不同，常微分方程的模型涉及系统矩阵，其控制器涉及向量或矩阵增益，偏微分方程模型涉及函数系数，依赖于空间变量，增益函数依赖于空间。偏微分方程的控制器和观测器的增益设计，如偏微分方程反推，是系统模型函数到增益函数的映射。这些无穷维非线性算子通过PDE以隐式形式给出，在空间变量中，需要求解以确定PDE的每个新功能系数的增益函数。通过以神经算子的形式学习和近似所述设计映射，可以消除求解这种偏微分方程的需要。学习神经算子需要足够数量的先验解用于设计偏微分方程，离线，以及训练算子。在最近的工作中，我们开发了一阶双曲型偏微分方程的偏微分方程反推设计的神经算子。在这里，我们将这个框架扩展到更复杂的一类抛物型偏微分方程。关键的理论问题是控制器是否仍然是稳定的，以及观察器是否仍然是收敛的，如果他们采用的近似功能的神经操作员产生的增益。我们提供肯定的答案，这些问题，即，我们证明了在闭环下的神经运营商产生的增益稳定。我们用数值测试说明了理论结果，并在github上发布了我们的代码。神经操作员是三个数量级更快地产生增益函数比PDE求解器这样的增益函数。这为在自适应控制和非线性偏微分方程的增益调度控制中使用这种神经算子方法提供了机会。
2023-03-18 cs.LG cs.SY eess.SY
Transition fronts for inhomogeneous monostable reaction-diffusion equations via linearization at zero
证明了一类一维非齐次单稳反应的反应扩散方程的过渡前沿的存在性。我们构造这些作为扰动相应的前像解决方案的线性化的PDE在$u=0$。虽然两个偏微分方程的解之间的密切关系已经众所周知并被用于KPP反应（我们的方法是[15]中这些思想的扩展），但据我们所知，这是第一次将这种方法用于非KPP单稳态反应前沿的构建和研究。
2013-11-28 math.AP
On blow-up "twistors" for the Navier--Stokes equations in $R^3$: a view from reaction-diffusion theory
本文讨论了三维Navier-Stokes方程的各种形式爆破解。本文特别关注基于角对数爆破行波的“扭量机制”，以及水下射流奇异定态Slezkin-Landau解（1934- 44）的“爆破龙卷风”的形成。综述了非线性抛物型偏微分方程奇异性分析的各个相关方面。
2009-01-27 math.AP
Fast Diffusion Limit for Reaction-Diffusion Systems with Stochastic Neumann Boundary Conditions
考虑一类边界上具有随机扰动的反应扩散方程。我们表明，在快速扩散的限制，可以严格近似解的随机Neumann边界条件的偏微分方程系统的解决方案，一个合适的随机/确定性微分方程的平均浓度，只涉及反应。如果边界上的噪声不改变平均浓度，但足够大，则会发生有趣的效应。然后出现了令人惊讶的额外有效反应项。我们只关注多项式非线性系统，并给出了二维非线性热方程和两种化学品之间的立方自催化反应的应用。
2014-08-11 math.AP
Numerical continuation for fractional PDEs: sharp teeth and bloated snakes
分数阶Laplace算子的偏微分方程（PDEs）越来越多地被用于模拟非局部扩散过程，并通过分析和数值方法得到了积极的研究。本文研究了谱分数拉普拉斯算子对有界区域上反应扩散系统分支结构的影响。为了做到这一点，我们使用先进的数值延拓技术来计算解决方案的分支。由于目前可用的延续包只支持涉及标准拉普拉斯算子的系统，我们首先扩展了pde 2 path软件来处理分数偏微分方程。新的能力，然后应用到研究的Allen-Cahn方程，Swift-Hohenberg方程和Schnakenberg系统（其中的标准拉普拉斯算子是每一个取代的光谱分数拉普拉斯算子）。我们的研究揭示了一些共同的影响，这有助于更好地理解一般的反应扩散系统中的分数扩散。特别是，我们调查的蛇形分岔图的变化，也研究了非平凡的定态的分数拉普拉斯算子的阶数的变化后的空间结构。我们的结果表明分数阶可以引起全局分岔结构的非常显著的定性和定量变化。
2021-02-28 math.AP nlin.PS
Deep Learning of Delay-Compensated Backstepping for Reaction-Diffusion PDEs
University of Shanghai for Science and Technology（上海理工大学）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
针对现有DeepONet仅能逼近单PDE反步增益的局限，本文将其扩展为级联多算子逼近方法，用于带输入延迟的反应扩散PDE控制，证明了闭环系统的指数稳定性并通过仿真验证。
2023-08-21 cs.LG math.AP math.OC
Nesterov's acceleration for level set-based topology optimization using reaction-diffusion equations
本文讨论了基于水平集的结构优化问题。基于水平集的结构优化是一种用于通过更新表征为偏微分方程（PDE）（例如，Hamilton-Jacobi和反应扩散方程）。本文基于Nesterov的加速方法，将非线性（阻尼）波动方程导出为水平集函数满足的偏微分方程，并应用于最小平均柔度问题。在数值上，在这项研究中开发的方法将产生收敛到最佳配置比只使用一个反应扩散方程的方法更快，而且，它的FreeFEM++代码也将被描述。
2023-03-28 math.AP
Schauder estimate for quasilinear discrete PDEs of parabolic type
本文研究了具有非线性扩散项的反应扩散型拟线性离散偏微分方程$\partial_t u = Δ^N φ(u)+ Kf(u)$，其中$n$是离散拉普拉斯算子，$φ$是严格递增的$\tfrac1N$函数，$f$是$C^1$函数.我们建立$L^\infty$边界和时空Hölder估计，都统一在$N$，第一和第二空间离散导数的解决方案。在方程中，$K>0$是一个大的常数，我们展示了这些估计如何依赖于$K$。这项工作的动机源于相互作用粒子系统的流体动力学标度极限的研究。我们的方法是一个两个步骤的方法在Hölder估计和Schauder估计，这是已知的连续抛物型偏微分方程。首先，我们展示了离散Hölder估计的$N$连续系数的相关线性离散偏微分方程的解决方案，基于纳什估计的一致性。接下来，我们建立了具有一致Hölder系数的线性离散偏微分方程的离散Schauder估计。离散和连续设置之间的联系由多线性插值给出。由于此操作具有非局部性质，因此需要对该方法进行适当的修改。在研究相应基本解的基础上，我们还讨论了另一种方法。
2021-12-28 math.AP
Adaptive control of reaction-diffusion PDEs via neural operator-approximated gain kernels
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
该研究将神经算子方法从双曲PDE自适应控制扩展到反应扩散PDE，通过近似增益核实现实时控制，证明了系统全局稳定性与渐近调节性，仿真显示计算速度提升达45倍。
2024-11-28 cs.AI cs.LG cs.SY
Regularity of stable solutions to reaction-diffusion elliptic equations
半线性（或反应扩散）椭圆型偏微分方程稳定解的有界性是20世纪70年代以来研究的热点。在10维和更高维中，存在无界（或奇异）的稳定能量解。本说明介绍了，为非专业读者，最近的工作与Figalli，Ros-Oton和Serra合作，在那里我们证明了稳定的解决方案是光滑的最佳尺寸9。这回答了Brezis在九十年代中期提出的一个关于Gelfand型问题极值解的正则性的公开问题。我们还简要地描述了微分几何中一个著名的类似问题：稳定极小曲面的正则性。
2021-12-15 math.AP
A bulk-surface reaction-diffusion system for cell polarization
我们提出了一个模型，细胞极化作为一个外部信号的响应，导致在一个系统的偏微分方程的不同变体的蛋白质的细胞表面和内部分别。我们研究了该模型在某些参数制度，其中几个反应速率的膜以及细胞内的扩散系数是大的定态。结果表明，在适当的尺度限制，稳定状态收敛到一些障碍型问题的解决方案。对于这些限制性的问题，我们证明了极化的发生，如果蛋白质的总质量是足够小的。对于某些变体，我们甚至可以精确地描述发生极化的临界质量。
2019-02-15 math.AP
The direct method of functional separation of variables can provide more exact solutions than the compatibility analysis of PDEs based on a single differential constraint
本文指出，在寻找非线性偏微分方程的精确解，函数分离变量的直接方法，在某些情况下，可以更有效的方法比微分约束的基础上的相容性分析偏微分方程与一个单一的约束（不变曲面条件）。这一事实是说明的例子，非线性反应扩散和对流扩散方程的变系数，非线性Klein-Gordon型方程，和流体动力学边界层方程。给出了几个新的精确解。
2019-03-06 math-ph math.AP math.MP
Exact Solutions and Reductions of Nonlinear Diffusion PDEs of Pantograph Type
我们研究非线性缩放型反应扩散偏微分方程，其中，除了未知的$u=u(x,t)$，也包含相同的功能与膨胀或收缩的参数的形式$w=u(px,t)$，$w=u(x,qt)$，和$w=u(px,qt)$，其中$p$和$q$是自由标度参数（与比例延迟的方程，我们有$0<p<1$，$0<q<1$）。简要回顾了缩放型常微分方程和偏微分方程及其应用的出版物。本文首次给出了这类非线性偏泛函微分方程的精确解和约化。我们提出了比例延迟的非线性缩放型偏微分方程的例子，它允许行波和自相似的解决方案（注意，具有常数延迟的偏微分方程没有自相似的解决方案）。还得到了加法解、乘法解、泛函可分解以及其它一些精确解。特别注意的是一个相当一般的形式，其中包含一个或两个任意函数的非线性缩放型偏微分方程。总共有四十多个非线性缩放型反应扩散偏微分方程的扩张或收缩的参数，承认精确解，已被认为是。本文还讨论了多比例尺非线性偏微分方程。类比原理的制定，这使得有可能有效地构造精确解的非线性缩放型偏微分方程。本文还讨论了任意依赖于时间或空间坐标的变时滞非线性泛函微分方程的一些精确解。所提出的方程及其精确解可用于制定测试问题，旨在评估数值和近似分析方法求解相应的非线性初边值问题的变时滞偏微分方程的精度。
2021-03-02 math-ph math.AP math.MP
Delayed blow-up and enhanced diffusion by transport noise for systems of reaction-diffusion equations
本文研究带质量控制的反应-扩散方程组，证明适当乘性输运噪声可延迟强解爆破并增强扩散，在质量指数衰减时得到全局存在性。
2023-11-29 math.AP math.PR
Unsupervised physics-informed neural network in reaction-diffusion biology models (Ulcerative colitis and Crohn's disease cases) A preliminary study
AI Factory, Value Digital Services（价值数字服务公司AI工厂）；Université Sorbonne Paris Nord（巴黎索邦北大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
我们建议探索物理信息神经网络（PINNs）在解决一类偏微分方程（PDE）用于模拟慢性炎症性肠病，如克罗恩病和溃疡性结肠炎的传播的潜力。在深度神经网络训练期间，无监督的方法是优先的。考虑到底层生物系统的复杂性，其特征在于复杂的反馈回路和有限的高质量数据，本研究的目的是探索PINN在解决偏微分方程中的潜力。除了提供这种探索性评估外，我们还旨在强调我们方法的可重复性和透明度原则，特别关注通过使用人工智能确保鲁棒性和可推广性。我们将量化PINN方法与生物学相关的几个线性和非线性偏微分方程的相关性。然而，重要的是要注意，最终的解决方案取决于初始条件，选择的边界条件和神经网络架构。
2023-02-15 cs.LG math.AP q-bio.QM
Evaluation of the Einstein's strength of difference schemes for some chemical reaction-diffusion equations
本文提出了一种计算偏差分方程组Einstein强度的差分代数方法，并将其应用于化学反应扩散方程差分格式的比较分析。特别是，我们分析了有限差分格式的Murray，Fisher，Burgers和其他一些反应扩散方程，以及质量平衡偏微分方程的色谱从他们的力量的角度来看。
2018-03-10 math.AP physics.chem-ph
Invariant subspace method to the initial and boundary value problem of the higher dimensional nonlinear time-fractional PDEs
本文提出利用变量变换将(k+1)维非线性时间分数阶偏微分方程降为(1+1)维，并结合不变子空间方法求精确解，首次求解了(3+1)维对流扩散反应方程及含时滞方程。
2023-04-05 math-ph math.AP math.MP
Superconvergence of the Strang splitting when using the Crank-Nicolson scheme for parabolic PDEs with Dirichlet and oblique boundary conditions
我们表明，Strang分裂方法适用于非均匀一般斜边界条件的扩散-反应方程是二阶时，扩散方程的Crank-Nicolson方法解决，而订单减少一般发生，如果使用其他Runge-Kutta格式，甚至精确流本身的扩散部分。当源项只依赖于空间变量时，我们证明了这些结果，这使得分裂方案等价于Crank-Nicolson方法本身应用于整个问题。数值实验表明，二阶收敛持续一般非线性。
2021-04-22 cs.NA math.AP math.NA
Center Manifolds for Rough Partial Differential Equations
证明了粗糙偏微分方程的中心流形定理。我们考虑的粗糙偏微分方程类包含作为一个关键子类的非线性乘性噪声驱动的反应扩散方程，其中随机强迫是由一个$γ$ -Hölder粗糙路径，$γ\in(1/3,1/2]$。我们的证明技术依赖于粗糙路径和分析半群的理论，结合离散化的Lyapunov-Perron型方法在适当规模的插值空间。由此产生的中心流形是随机动力系统（RDS）理论意义上的随机流形。我们还说明了我们的主要定理反应扩散方程以及Swift-Hohenberg方程。
2021-11-10 math.AP math.DS math.PR
Characterising exchange of stability in scalar reaction-diffusion equations via geometric blow-up
本文通过几何爆破方法研究标量反应扩散方程中缓慢通过跨临界和叉形奇点时的稳定性交换，解决了谱简并问题，并将慢型不变流形延拓至奇点邻域，为偏微分方程动态分岔研究提供了新途径。
2024-11-20 math.AP math.DS
On the Representation of Solutions to Elliptic PDEs in Barron Spaces
Duke University（杜克大学）；University of Massachusetts（马萨诸塞大学）
基于神经网络的高维偏微分方程的数值解取得了令人振奋的进展。本文在Barron空间中导出了$d$维二阶椭圆型偏微分方程解的复杂性估计，该方程是一组允许某个参数岭函数对参数上的概率测度积分的函数.在适当的假设下，证明了若椭圆型偏微分方程的系数和源项均位于Barron空间中，则该偏微分方程的解是关于Barron函数的$H^1$范数的$ε$ -闭.此外，我们证明了维明确的边界Barron范数的近似解，取决于最多多项式的PDE的尺寸$d$。作为复杂性估计的直接结果，PDE的解可以在任何有界域上由两层神经网络关于$H^1$范数以维度显式收敛速度近似。
2021-11-07 cs.LG cs.NA math.AP
On nonlinear Feynman-Kac formulas for viscosity solutions of semilinear parabolic partial differential equations
经典的Feynman-Kac恒等式通过为线性Kolmogorov偏微分方程的经典解提供随机表示，在随机分析和偏微分方程之间架起了一座桥梁.这为基于抽样的蒙特卡罗近似方法的推导打开了大门，该方法可以是无网格的，从而有机会近似解偏微分方程而不受维数灾难的影响。本文将经典的Feynman-Kac公式推广到一类半线性Kolmogorov偏微分方程。更具体地说，我们确定合适的解决方案的随机不动点方程（SFPEs），这产生时，经典的Feynman-Kac身份正式应用于半线性Kolmorogov偏微分方程，作为相应的偏微分方程的黏性解。这证明，特别是，采用全历史递归多级皮卡德（MLP）近似算法，最近已被证明克服维数灾难的解决方案的SFPE的数值逼近，在半线性Kolmogorov偏微分方程的数值逼近。
2020-04-16 math.AP math.PR
Partial differential equations on hypergraphs and networks of surfaces: derivation and hybrid discretizations
我们介绍了一个一般的，分析框架来表达和近似的偏微分方程（PDE）的图形和网络的表面-广义的超图。为此，我们认为超图上的偏微分方程是薄域网络（如断层平面、管道等）中偏微分方程的奇异极限，我们观察到，（混合）混合配方提供了有用的工具，制定这样的偏微分方程。因此，我们的数值框架是基于杂交有限元法（特别是，一类混合间断Galerkin方法）。
2021-08-16 cs.NA math.AP math.GT
Functional separation of variables in nonlinear PDEs: General approach, new solutions of diffusion-type equations
该研究给出了一个简要的概述现有的修改方法的功能分离变量的非线性偏微分方程。基于一种带积分项的特殊变换和广义分裂原理，提出了一种构造应用数学和数学物理中非线性方程精确解的更一般的方法.这种方法的有效性说明了非线性扩散型方程，包含反应和对流项与变系数。重点是一个相当一般的形式，依赖于一个，两个或三个任意函数的方程（这样的非线性偏微分方程是最难以分析和找到精确的解决方案）。给出了一系列新的泛函可分离解和广义行波解（共给出了30多个精确解）。结果表明，在某些情况下，函数分离变量的方法可以更有效的比（i）基于不变表面条件的对称性约简的非经典方法，和（ii）基于单个微分约束的微分约束的方法。所得精确解可用于检验数学物理和力学的各种数值和近似分析方法。
2020-01-06 math-ph math.AP math.MP
A simple rigorous integrator for semilinear parabolic PDEs
VU Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）；CMAP, CNRS, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院）
本文提出了一种简单且高效的严格积分方法，用于半线性抛物型PDEs的误差界推导，通过自适应时间步长策略和稳定性证明，适用于长时积分和非平凡动态捕捉。
2026-01-08 cs.NA math.AP math.DS
