Lipschitz Stability and Hadamard Directional Differentiability for Elliptic and Parabolic Obstacle-Type Quasi-Variational Inequalities
研究了一类障碍型拟变分不等式参数不动点问题的灵敏度分析。我们证明了，如果所考虑的不动点方程中的算子满足正超齐性条件，则问题解集的最大和极小元局部Lipschitz连续依赖于所涉及的参数.我们进一步证明了，如果满足一定的条件，则极大解映射是Hadamard方向可微的，其方向导数恰好是适当定义的线性化不动点方程的极小解.与以前的结果相比，我们的分析既不需要一个Dirichlet空间结构，也不限制性的假设所涉及的运营商的映射行为和正则性，也没有符号条件的方向被认为是在方向导数。我们的方法进一步涵盖了椭圆和抛物设置同时也产生Hadamard方向可微的结果的情况下，在该解决方案中的不动点方程的集合是一个连续的和表征的方向导数通过线性化辅助问题是证明是不可能的。为了说明我们的结果可以用于研究实际中出现的有趣问题，我们应用它们建立了一个非线性椭圆型拟变分不等式解算子的Hadamard方向可微性，该变分不等式出现在脉冲控制中，其中障碍映射是通过在基础区域的某些部分上取本质下确界而得到的，和抛物型拟变分不等式的解映射，其中涉及边界控制，并且其中状态-障碍关系由偏微分方程描述。
2021-05-12 math.OC
Sensitivity analysis of variational inequalities via twice epi-differentiability and proto-differentiability of the proximity operator
本文研究Hilbert空间中参数化第二类非线性变分不等式的灵敏度分析。目前的工作的挑战是考虑到扰动的所有数据的问题。这就需要在所涉及的算子和函数的广义一阶和二阶微分的定义中进行特殊的调整。确切地说，我们扩展了R.T. Rockafellar，分别证明了参数化下半连续凸函数及其次微分的两次上可微性和两次原可微性。这两个概念之间的联系与Attouch定理和本文介绍的收敛支撑超平面的新概念有关。利用已有的工具，我们得到了参数化变分不等式的广义邻近算子的原导数的精确公式，并证明了相应解关于参数的可微性.此外，该导数是一个新的变分不等式的解决方案，涉及半和两次epi-derivatives的数据。给出了一个应用于涉及两个凸函数（其中一个是光滑的）之和的参数化凸优化问题。详细讨论了带不等式约束的光滑凸优化问题。这种方法在文献中似乎是新的，并在非线性最优化的理论和计算问题上打开了几个视角。
2018-02-25 math.OC
Directional differentiability, coexhausters, codifferentials and polyhedral DC functions
St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）；Institute for Problems in Mechanical Engineering of the RAS（俄罗斯科学院机械工程学院问题研究所）
本文研究方向导数、共外摆线与DC函数的关系，证明了boundedness与optimality条件的等价性，并探讨了非均质近似与方向导数的联系。
2021-11-25 math.OC
Differentiability with respect to the initial condition for Hamilton-Jacobi equations
证明了具有光滑凸哈密顿量的Hamilton Jacobi方程的黏性解关于初始条件是可微的，其光滑凸哈密顿量的形式为$H(x,p)$.此外，方向Gâteaux导数可以显式计算几乎处处不在$\mathbb{R}^N$通过相关的最优控制问题的最优性系统。我们还证明，在一维的情况下，在空间中的二次的情况下，在任何空间维度，这些方向Gâteaux衍生物实际上对应于唯一的对偶解的线性迁移方程的不连续系数，从线性化的Hamilton-Jacobi方程。这些可微性结果背后的动机来自于以下最优逆设计问题：给定时间范围$T>0$和目标函数$u_T$，构造初始条件，使得在时间$T$处的相应黏性解最小化$L^2$ -到$u_T$的距离。我们的可微性的结果使我们能够推导出一个必要的一阶最优性条件，这个最优化问题，并实施基于梯度的方法来数值近似的最优逆设计。
2021-12-30 math.AP math.OC
Continuous Differentiability of the Value Function for Infinite-Dimensional Finite-Horizon Optimal Stopping and Related Variational Inequalities
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）；Bielefeld University（比勒费尔德大学）
研究实可分希尔伯特空间中半线性随机发展方程的有限时域最优停止问题及相关变分不等式，通过证明值函数连续可微获最优停止问题的光滑拟合原理，分两部分分析并应用于带加性噪声的随机热方程。
2026-07-07 math.AP math.OC math.PR
Optimal control of a nonsmooth PDE arising in the modeling of shear-thickening fluids
研究了一类由非光滑拟线性偏微分方程描述的稳态不可压缩剪切增稠流体的最优控制问题。我们首先研究的方向可微的非光滑项内的状态方程作为一个事先的步骤，以证明方向可微的解决方案运营商。然后，我们建立了一个原始的一阶必要最优性条件（Bouligand（B）平稳性），它是由解算子的方向可微性导出的。通过对非光滑项进行局部正则化并进行渐近分析，我们得到了一个弱平稳的局部极小系统。通过结合B-和弱平稳性条件，并利用拉格朗日乘子的正则性，我们能够得到一个强平稳性系统，其中包括状态的对称梯度和拉格朗日乘子之间的标量积的不等式。
2023-03-05 math.AP math.OC
Generalized Differentiability and Second-Order Necessary Optimality Conditions for an Elliptic Optimal Control Problem with Exponential Nonlinearity and Discrete Measures
PHENIKAA University（Phenikaa 大学）；Hanoi University of Science and Technology（河内科学技术大学）
本文研究了由指数半线性椭圆方程和离散测度驱动的带盒约束最优控制问题的广义可微性及二阶必要优化条件，针对指数非线性和离散测度带来的挑战，提出了一种广义导数的概念，并推导了缩减目标函数的一阶和二阶广义可微性，从而得到最优控制问题的一阶和二阶必要条件。
2026-05-19 math.OC
From resolvents to generalized equations and quasi-variational inequalities: existence and differentiability
本文研究Hilbert空间中由强单调Lipschitz单值映射和极大单调集值映射支配的广义方程，通过单值算子和预解式的方向可微性验证解映射的方向可微性，并应用于拟广义方程。
2022-01-07 math.FA math.OC
On the existence of directional derivatives for strongly cone-paraconvex mappings
本文研究了强锥-次凸映射的方向导数的存在性。我们的结果是Valadier关于锥凸映射方向可微性定理的一个对应。
2017-12-19 math.OC
Strong stationarity conditions for a class of optimization problems governed by variational inequalities of the 2nd kind
研究了一类第二类变分不等式约束最优化问题的最优性条件。基于控制不等式的非光滑原始-对偶重构，研究了解映射的可微性。在适当的有效集假设下，证明了有限维和函数空间问题的方向可微性。B-和强平稳最优解的一个特征此后得到。最后，基于所获得的一阶信息，提出了求解该最优化问题的信赖域算法。
2014-07-07 math.OC
Bouligand Analysis and Discrete Optimal Control of Total Variation-Based Variational Inequalities
本文针对涉及离散全变分的第二类变分不等式，建立了解映射的Bouligand可微性与次微分完整刻画，并据此推导最优性条件、提出信赖域算法求解离散VI约束最优控制问题。
2025-04-12 math.OC
Minimal and maximal solution maps of elliptic QVIs of obstacle type: Lipschitz stability, differentiability and optimal control
本文研究障碍型拟变分不等式最小与最大解映射的Lipschitz稳定性、方向可微性，证明最优控制存在性，并利用Moreau-Yosida惩罚逼近推导C-平稳性条件。
2025-04-28 math.AP math.OC
Twice Epi-Differentiability of Spectral Functions and its applications
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学数学科学学院）；Institute of Applied Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所）；Department of Mathematics, Miami University（迈阿密大学数学系）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究了谱函数的两次epi可微性，通过特征值函数的谱表示的对称部分性质，提出了无需凸性假设的刻画方法，并应用于子梯度映射和prox映射的方向可微性，以及主特征值函数和正则化项的可微性研究。
2026-02-05 math.OC
Differential Sensitivity Analysis of Variational Inequalities with Locally Lipschitz Continuous Solution Operators
研究Banach空间中解算子满足广义利普希茨条件的变分不等式的微分灵敏度分析.证明了解映射的方向可微性的一个充分判据，该判据对于希尔伯特空间中的椭圆型变分不等式也是必要的（即使存在非对称双线性型、非线性算子和非凸泛函）.与经典结果相反，我们的证明方法不依赖于Attouch定理的特征的Mosco收敛，但完全是小学。此外，我们的技术允许我们也研究这些情况下，变分不等式在手不是唯一可解的，方向可微只能获得w.r.t.基础空间的弱或弱- $\star$拓扑。作为具体的例子，我们考虑了弹塑性中的一个变分不等式，在正则集上的投影，以及一个bang-bang最优控制问题。
2017-11-07 math.FA math.OC
Set-optimization meets variational inequalities
研究了一类Stampacchia和Minty型变分不等式集合最优化问题解的充要条件。Heyde和Loehne曾介绍过凸集值目标函数的解的概念.为了定义集值变分不等式，我们引入了一个集值方向导数，并将它与一类线性标度化问题的Dini导数联系起来.最优性条件由Stampacchia和Minty型变分不等式给出，由标量化的集值方向导数和Dini导数定义.主要结果允许获得已知的变分特征向量值最优化问题。
2014-06-06 math.OC
Elliptic quasi-variational inequalities under a smallness assumption: Uniqueness, differential stability and optimal control
考虑了一个由移动集支配的拟变分不等式。我们采用的假设，该集的运动有一个小的Lipschitz常数。在此条件下，我们证明了拟变分不等式存在唯一解，且解是Lipschitz-连续依赖于源项的。如果问题的数据是（方向）可微的，则解映射也是方向可微的。研究了拟变分不等式的最优控制，给出了强平稳型最优性的必要最优性条件。
2019-09-06 math.OC
Coefficient Control of Variational Inequalities
本文研究障碍问题系数中的控制，利用 H-convergence 证明最优解存在性，导出方向可微性以获得一阶必要条件，并通过正则化方法建立极限最优性系统，数值实验验证了收敛性及其向相场断裂扩展的潜力。
2023-07-03 math.OC
First-order conditions for the optimal control of learning-informed nonsmooth PDEs
本文研究了一类半线性椭圆型偏微分方程的最优控制问题，该方程的非线性成分只能由数据来表示，并且可以用非光滑ReLU神经网络来逼近.详细研究了最优控制问题。特别地，证明了状态方程的存在唯一性，并证明了相应的控制-状态映射的连续性和方向可微性。基于相关网络的逼近能力，我们解决了关于学习信息控制到状态映射的逼近性质和相应的最优控制问题的解决方案的基本问题。最后，基于不同的广义可微性概念，给出了几个平稳性条件。
2022-10-21 math.OC
A novel way of computing the shape derivative for a class of non-smooth PDEs and its impact on deriving necessary conditions for locally optimal shapes
本文提出了一种计算非光滑PDE类形状导数的新方法，并探讨了其对导出局部最优形状必要条件的影响。
2025-11-20 math.AP math.DG math.OC
Shape optimization for variational inequalities: the scalar Tresca friction problem
本文研究了标量 Tresca 摩擦定律建模的形状优化问题，利用凸分析和变分分析工具证明了解关于形状的方向导数与 Signorini 型单边条件边值问题的解一致，显式刻画了能量泛函的形状梯度并展示了下降方向，最后通过数值模拟验证了方法的适用性。
2024-10-15 math.OC
Semismoothness for Solution Operators of Obstacle-Type Variational Inequalities with Applications in Optimal Control
本文证明障碍型变分不等式解算子的 Newton 可微性，并据此构造半光滑 Newton 方法求解带 H1 代价和控制约束的最优控制问题，验证其超线性收敛与网格无关性。
2023-06-08 math.OC
Optimal control of a viscous damage model with fatigue
受疲劳损伤模型的启发，本文研究了一类具有两个非微分映射的非光滑系统的最优控制问题。这包括一个双重非光滑的历史依赖的发展和椭圆偏微分方程之间的耦合。在证明了相关解映射的方向可微性后，得到了一个比经典光滑化方法更强的最优性系统。若其中一个非微分映射变光滑，则其最优性条件是强平稳型的，即，等价于原始必要最优性条件。
2023-02-11 math.OC
Estimates of generalized Hessians for optimal value functions in mathematical programming
最优值函数是数学优化领域中的基本目标之一，因为它允许评估在某些约束下最小化/最大化给定函数时产生的成本/收益的变化。在稳定性/灵敏度分析的背景下，大量的出版物已经致力于研究的连续性和可微性的最优值函数。在目前的文献中的作品的可微性方面主要局限于一阶分析，重点是其方向导数和次微分的估计，因为该功能是典型的非光滑。随着近二三十年来在鲁棒优化、极大极小优化、半无限优化和双层优化等主要优化子领域的研究进展，以及它们与最优值函数的联系，迫切需要对该函数的广义可微性进行二阶分析。这种类型的分析将使强大的解决方案的算法，如牛顿法的发展。本文的主要目标是提供在这个方向上的结果。实际上，我们得到了最优值函数的广义Hessian估计。我们的结果是基于两个方便的工具，从参数优化，即最优解和拉格朗日乘子映射，其广义导数的完全详细的估计是众所周知的，或者可以很容易地获得。
2021-11-25 math.OC
Sensitivity analysis of value functional of fractional optimal control problem with application to construction of optimal feedback control
本文研究了Caputo分数阶微分方程描述的最优控制问题，证明了其值泛函具有阶为α的方向可微性，并据此提出了一种构造最优反馈控制策略的新方法。
2022-10-12 math.OC
Kullback-Leibler Mirror-Prox for Measure-Valued Variational Inequalities and Mean-Field Equilibria
University of Michigan（密歇根大学）；Princeton University（普林斯顿大学）
该研究针对紧致状态空间上的测度值变分不等式，提出KL镜像近端算法，结合正则化方法，在单调性假设下证明收敛性与误差界，可处理势型及非势型代价算子。
2026-08-12 math.OC
Strong stationarity for the control of viscous history-dependent evolutionary VIs arising in applications
本文研究了具有粘性的历史依赖型EVI系统的最优控制问题。状态系统的一个突出性质是它的非光滑性质，因此标准伴随演算的应用被排除在外。我们推广了[7]的结果，证明了在一般情况下，具有粘性的历史依赖的EVI可以表示为希尔伯特空间中的非光滑常微分方程。研究了解映射的Hadamard方向可微性。基于以前的结果，这使我们能够建立两个不同的粘性损伤模型与疲劳的强平稳条件。
2023-02-28 math.OC
On the Aubin property of a class of parameterized variational systems
本文给出了一类参数化变分系统解映射具有Aubin性质的一个新的判别准则。这类问题包括非多面体约束下的参数依赖变分不等式和圆锥约束下的参数化广义方程。新的准则要求计算所谓的临界方向的法线锥映射的方向极限余导数。相应的公式具有二阶链式法则的形式，并扩展了方向限制对象的可用演算。建议的程序是通过例子来说明。
2017-04-03 math.OC
Shape optimization for superconductors governed by H(curl)-elliptic variational inequalities
本文对高温超导最优设计问题进行了理论和数值研究。形状最优化问题是在特定的感兴趣区域上，在给定的电场目标下，找到最小化某个成本泛函的最佳超导体形状。对于控制偏微分方程模型，我们考虑具有L1型非线性项的第二类椭圆卷-旋变分不等式（VI）。特别地，非光滑VI特征和所涉及的H（卷曲）结构使得相应的形状灵敏度分析具有挑战性。为了解决这种非光滑性，提出了一种惩罚对偶VI公式，使得相应的对偶变量映射是G{teaux可微的.这一性质使我们能够通过严格的形状演算的平均伴随方法的基础上获得的成本泛函的分布形状导数。所得到的形状导数关于惩罚参数是一致稳定的，并保证了惩罚问题的强收敛性。基于所取得的理论研究成果，我们提出了三维数值解，实现了使用水平集算法和牛顿法与Nederian边缘元素离散化。数值结果表明，所提出的方法在超导屏蔽的特定高温超导应用的有利和有效的性能。
2020-06-17 cs.NA math.NA math.OC
Strong Stationarity Conditions for Optimal Control Problems Governed by a Rate-Independent Evolution Variational Inequality
本文针对速率无关发展变分不等式约束的最优控制问题，利用标量停止算子的方向可微性与时间多面性概念，建立了等价于 Bouligand 平稳性的原始-对偶强平稳性条件。
2023-07-18 math.OC
Boundary control for optimal mixing by two-dimensional second-grade fluids
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
本文研究二维二级流体输运标量的最优边界混合，通过Navier-滑移边界控制切向牵引力，证明状态适定性与最优控制存在性，并在特定条件下获得唯一性。
2026-09-10 math.AP math.OC
Analysis and optimal control theory for a phase field model of Caginalp type with thermal memory
Caginalp相场系统的非线性扩展被认为是考虑到热记忆。由此产生的模型，这是一个一阶近似的一致性系统，是由格林和Naghdi开发的理论的启发。由相动力学和内能的普适平衡定律得出的两个方程，用相变量（代表非守恒序参量）和所谓的热位移来表示，即，一个关于温度时间的基元。证明了相应初边值问题弱解和强解的存在性和连续依赖性。然后，一个最优控制问题进行了研究，一个合适的成本泛函，其中两个数据作为控制，即，分布式热源和初始温度。证明了控制-状态算子在适当的巴拿赫空间之间的Fréchet可微性，并利用包含伴随变量的变分不等式导出了有意义的一阶最优性必要条件.最后，给出了最优控制的特征。
2021-07-20 math-ph math.AP math.MP
A Unified Regularity Condition for Optimal Control: Bridging LICQ, MFCQ, and Subdifferentials
St. Petersburg State University（圣彼得堡国立大学）
本文提出一种统一的正则性条件，通过精确惩罚函数推导最优控制问题的横截条件，该条件在非光滑约束下仍有效，适用于各种经典情况，且避免了构造端点变化锥或应用分离定理。
2026-10-06 math.CA math.OC
Variational inequalities and smooth-fit principle for singular stochastic control problems in Hilbert spaces
Università di Bologna（博洛尼亚大学）；Bielefeld University（比勒费尔德大学）
本文研究了无限维奇点随机控制问题，通过变分不等式和粘性理论，证明了值函数在特定方向上的平滑贴合性质。
2026-03-04 math.OC
Sparse optimal control of a phase field system with singular potentials arising in the modeling of tumor growth
本文研究了一类非线性反应扩散方程系统的最优控制问题，该系统是文献[12]中提出的肿瘤生长的相容相场模型的简化和松弛形式.该模型考虑了趋化性的影响，但忽略了速度的贡献。控制状态方程的未知量是化学势、（归一化的）肿瘤分数和营养细胞外水浓度。控制肿瘤分数的演变的方程由双阱势的变分导数支配，该双阱势可以是奇异的（例如，对数）类型。与最近关于同一系统的论文[10]相反，我们在本文中考虑稀疏效应，这意味着成本泛函包含不可微（但凸）的贡献，如$L^1-$范数。对于这样的问题，我们推导出一阶必要的最优性条件和条件的方向稀疏性，无论是相对于空间和时间，后者的情况下是特别感兴趣的实际医疗应用中的控制变量是由管理细胞毒性药物或营养物质的供应。除了这些结果，我们证明了相应的控制到状态的运营商是两次连续可微适当的巴拿赫空间之间，使用隐函数定理。这一结果补充和加强了文[10]中的一个可微性结果，为以后推导二阶充分最优性条件提供了前提条件。
2020-08-22 math.OC
