Structured Recursive Separator Decompositions for Planar Graphs in Linear Time
给定一个n阶平面图G和一个整数参数r<n，G的少洞r-划分是将G分解为O（n/r）个大小不超过r的区域，使得每个区域包含最多常数个不是G的面（也称为洞）的面，并且对于每个区域，这些面上的顶点总数为O（sqrt r）。我们提供了一个线性时间算法计算r-划分与几个孔。事实上，我们的算法计算了一个称为分解树的结构，它表示G的递归分解，其中包括基本上所有r值的r-划分。特别地，给定指数增长序列r =（r_1，r_2，.），我们的算法可以在线性时间内产生具有很少孔的递归R-除法。在计算最短路径、最小切割和最大流的有效算法中，已经使用了具有很少孔的R-划分。我们的线性时间算法改进了最小st-割的最新算法中使用的分解算法（Italiano，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen，STOC 2011），消除了其算法整体运行时间的瓶颈之一（类似于平面和有界亏格图中的最小割）。
2013-05-17 cs.DM cs.DS math.CO
A faster polynomial-space algorithm for Hamiltonian cycle parameterized by treedepth
Humboldt-Universität zu Berlin（柏林洪堡大学）
本文提出一种更高效的多项式空间算法，用于解决基于树深度的Hamiltonian循环问题，通过使用有序对一致匹配而非辅助图中的完美匹配，改进了时间复杂度。
2026-03-25 cs.DS
A Separator for Minor-Free Graphs Beyond the Flow Barrier
University of Massachusetts, Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
本文提出了一种新的分离器，大小为O(h√log h √n)，突破了基于流-割对偶的流障碍，改进了现有分离器的大小。
2026-05-08 cs.DS
Algorithms and data structures for first-order logic with connectivity under vertex failures
我们引入了一种新的数据结构，用于回答无向图中的连通性查询受到批量顶点故障。确切地说，给定任何图G和整数k，我们可以在固定参数的时间内构造一个数据结构，该数据结构稍后可用于回答以下形式的查询：“顶点s和t通过避开顶点$u_1,..., u_k$的路径连接吗？“”在时间$2^{2^{O(k)}}$。在有关数据结构的文献术语中，这给出了顶点故障下连通性的第一个确定性数据结构，其中对于每个固定数量的故障，所有操作都可以在恒定时间内执行。为了了解我们的新技术的力量和局限性，我们证明了最近推出的分离器逻辑，它扩展了一阶逻辑与原子的顶点故障下的连通性的算法Meta定理。我们证明了分离器逻辑的模型检验问题是固定参数易处理的每一类图，排除一个固定的拓扑子。我们还显示了弱逆。这意味着，从参数化复杂性的角度来看，在标准复杂性假设下，分离器逻辑的易处理性边界几乎完全由排除固定拓扑子式的类来界定。我们证明的主干依赖于Cygan等人的分解定理。[SICOMP '19]，它提供了一个给定图的树分解成不可破的包。至关重要的是，不可破坏性允许将分离器逻辑减少到每个袋内的简单一阶逻辑。我们使用动态规划设计我们的模型检查算法的树分解，其中在每个包的过渡相当于运行一个合适的模型检查子过程，简单的一阶逻辑。这种方法足够健壮，可以提供以分隔符逻辑表示的查询的有效枚举。
2021-11-05 cs.DM cs.DS cs.LO
AMP Chain Graphs: Minimal Separators and Structure Learning Algorithms
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
我们解决的问题，找到一个最小的分离器中的Anderson-Madigan-Perlman链图（AMP CG），即，找到一组Z的节点，分离一个给定的不相邻的节点对，使没有真子集Z分离该对。我们分析了这个问题的几个版本，并为每个版本提供多项式时间算法。这些包括从一个有限的节点集合中找到一个最小分隔符，为两个给定的不相交集合找到一个最小分隔符，以及测试一个给定的分隔符是否是最小的。为了解决从数据中学习AMP CG结构的问题，我们证明了PC类算法（Pena，2012）是依赖于顺序的，在这个意义上，输出可以取决于变量给定的顺序。我们提出了几个修改的PC类算法，删除部分或全部的顺序依赖。我们还扩展了（Xie et al.，2006）学习AMP CG，其中包括BN作为一个特殊的情况下，在忠诚的假设。我们证明了我们的扩展使用最小分离器的结果的正确性。在我们的实验中使用标准的基准测试和综合生成的模型和数据证明了我们的基于分解的方法，称为LCD-AMP，与（修改版本）PC类算法相比，具有竞争力的性能。LCD-AMP算法通常优于PC类算法，我们对PC类算法的修改比原始PC类算法学习更类似于底层地面真值图的结构，特别是在高维设置中。特别是，我们的经验表明，这两种算法的结果是更准确和稳定的样本量是相当大的，底层的图形是稀疏的。
2020-08-04 cs.AI cs.DS cs.LG
A Parameterized Complexity Analysis of Bounded Height Depth-first Search Trees
该研究针对有界树深度分解的算法瓶颈，提出了$2^{\u214f(k log k)}\u00b7n$时间的有界高度DFS树求解算法，解决了相关开放问题，并补充了多场景下的复杂度结论。
2025-02-23 cs.CC cs.DS
Space-Efficient Parameterized Algorithms on Graphs of Low Shrubdepth
本文研究了低灌木深度图上的参数化算法，证明了在深度受限的树模型分解下，独立集、最大割和支配集问题可在多项式空间内高效求解，并给出了时间复杂度下界。
2023-07-03 cs.DS
A Structural Linear-Time Algorithm for Computing the Tutte Decomposition
本文提出一种基于完全嵌套2-分离结构刻画的概念简单线性时间算法来计算Tutte分解，并引入稳定性概念推导新的结构结果。
2025-08-08 cs.DM cs.DS math.CO
Linear-Time Algorithms for k-Edge-Connected Components, k-Lean Tree Decompositions, and More
本文提出 $k^{O(k^2)} m$ 时间的确定性算法，用于计算 k-精益树分解，进而解决 k-边连通分量、k-Gomory-Hu 树、k-顶点连通性等问题，对固定 k 达到线性时间。
2024-11-04 cs.DS math.CO
Computing the Chromatic Number Using Graph Decompositions via Matrix Rank
计算最小数$q$使得给定图的顶点可以被正确地$q$着色是组合优化中最古老和最基本的问题之一。使用参数化算法的框架对$q$ -着色问题进行了深入研究，从而对基于图结构的几种参数化的最佳可能算法有了很好的理解。虽然有大量的工作，参数化的基础上分解的图的顶点分隔符，几乎没有什么是已知的参数化的基础上的边缘分隔符。我们填补了这一空白，通过研究$q$ -染色参数化的割宽，和参数化的有界度图的路径宽度。我们的研究揭示了利用小边缘分离器的有趣的新方法。我们提出了两种算法$q$ -着色参数化的cutwidth $cutw$：一个确定性的，运行在时间$O^*(2^{ω\cdot cutw})$，其中$ω$是矩阵乘法常数，和一个随机的运行时$O^*(2^{cutw})$。与早期工作形成鲜明对比的是，运行时间独立于$q$。割宽的依赖是最佳的：我们证明，即使3-着色不能解决在$O^*((2-\varepsilon)^{cutw})$时间假设强指数时间假设（SETH）。我们的算法依赖于一个新的秩约束的矩阵，描述兼容的着色。结合用于评估两个多项式的乘积的简单通信协议，这也产生用于$q$的$O^*((\lfloor d/2\rfloor+1)^{pw})$时间随机化算法-在路径宽度$pw$和最大度$d$的图上着色。这样的运行时是由比约克隆德首先获得的，但仅适用于具有很少正确着色的图。我们还证明，这个结果是最佳的…
2018-06-27 cs.CC cs.DS
Towards an SDP-based Approach to Spectral Methods: A Nearly-Linear-Time Algorithm for Graph Partitioning and Decomposition
在本文中，我们考虑以下图划分问题：输入是无向图$G=(V,E),$、平衡参数$b \in (0,1/2]$和目标电导值$γ\in (0,1).$。输出是切割，如果非空，对于某些功能$f(G, γ),$，在最多$O(f),$时具有电导，并且与最多$γ.$时的所有电导切割平衡或良好相关，Spielman和Teng给出了$\tilde{O}(|E|/γ^{2})$ -时间算法的$f= \sqrt{γ\log^{3}|V|}$，并使用它来分解成一个集合的近扩张图。我们提出了一个新的谱算法，该算法在时间上运行$\tilde{O}(|E|/γ)$为$f=\sqrtγ.$我们的结果产生了第一个近线性时间算法的经典平衡分离器问题，实现了渐近最优逼近保证谱方法。我们的方法具有概念简单的优点，并依赖于原始对偶半定规划SDP方法。我们首先考虑一个自然的SDP松弛的平衡分离器问题。虽然很容易从这个SDP中获得一个事实的证明，即该图没有电导小于$γ,$的平衡切割，但令人惊讶的是，我们可以获得更强相关条件的证明。这是通过一个新的分离预言我们的SDP和呼吁阿罗拉和凯尔的框架来约束运行时间。我们的结果包含可能独立感兴趣的技术成分。
2010-10-20 cs.DS
$c$-Packedness versus $λ$-Low-Density in Geometric Graphs: Theory and Practice
University of Konstanz（康斯坦茨大学）；ENSEIRB, Bordeaux（波尔多ENSEIRB）
本文研究几何图中 $c$-packedness 与 $\lambda$-low-density 参数，提出可扩展计算方法，证明 $c\in O(\lambda\sqrt n)$，并改进平衡分隔符算法，实现 $O(c)$ 查询时间的精确距离预言，实验验证于大型道路网络。
2026-09-24 cs.CG cs.DS
Bisimplicial separators
本文研究极小分隔子可由 $k$ 个团覆盖的图类 $\mathcal{G}_k$，证明其诱导子式封闭性、禁阻结构与结构性质，并给出相关优化和识别问题的复杂度结果及算法。
2023-12-17 cs.CC cs.DM cs.DS
An efficient recursive decomposition algorithm for undirected graphs
本文提出了一种高效递归分解算法，用于无向图的原子分解，通过MCS顺序和凸扩展方法提升分解效率。
2026-02-22 cs.DS math.CO
A Practical Linear Time Algorithm for Optimal Tree Decomposition of Halin Graphs
本文提出实用线性时间算法 H-Td，利用 Halin 图结构性质计算最优宽度树分解，并在 PACE 2017 获胜方法与 libtw 上验证了其优势。
2025-06-03 cs.DS
Vertex Deletion Parameterized by Elimination Distance and Even Less
我们研究了各种经典的顶点删除问题的参数化复杂性，如奇循环横截，顶点平面化，和弦顶点删除混合参数化。现有的FPT算法，这些问题的参数化的解决方案的大小，检测解决方案的大小$k$在时间$f(k) \cdot n^{O(1)}$，或宽度参数化，找到任意大的最优解在时间$f(w) \cdot n^{O(1)}$的一些宽度措施$w$，如树宽。我们统一这些线的研究，提出FPT算法的参数化，可以同时任意远小于解决方案的大小和树宽。我们考虑两类参数化，这是松弛的树的深度或树的宽度。它们涉及图分解，其中属于目标类H的子图（例如，二分或平面）被认为是简单的。首先，我们提出了一个框架，用于计算近似最优分解的杂项类H。也就是说，如果一个最佳分解的成本是$k$，我们展示了如何找到一个分解的成本$k^{O(1)}$的时间$f(k) \cdot n^{O(1)}$。这是适用于任何图类H，相应的顶点删除问题承认一个常数因子的近似算法或FPT算法参数化的解决方案的大小。其次，我们利用构造的分解解决顶点删除问题的思想，从算法使用迭代压缩和有限状态属性。对于上述三个顶点删除问题，以及所有可以被公式化为击中一个有限的连接禁止（a）未成年人或（b）（诱导）子图的问题，我们得到FPT算法的研究参数化。
2022-07-18 cs.DS
Ranked Enumeration of Minimal Triangulations
图的树分解通过将顶点分组到在非循环结构中互连的袋中来促进计算，因此它们在诸如数据库上的查询评估和概率图模型上的推理等大量问题中的重要性。从不同的树分解的相对效益是衡量不同的（有时复杂）成本函数，从一个应用程序到另一个。对于宽度和填充等通用成本函数，在某些情况下可以有效地计算最优树分解，特别是当最小分隔符的数量由多项式限制时（由于Bouchitte和Todinca），我们将此假设称为“poly-MS”。为了涵盖所需的各种成本函数，最近有人提出设计算法，用于枚举许多分解候选项，供应用程序使用专门的甚至是机器学习的成本函数进行选择。我们探索的能力，产生一个大的收集“高品质”的树分解。我们提出的第一个算法排名枚举的适当的（非冗余）树分解，或等效的最小三角，在广泛的一类成本函数，基本上概括了上述通用的。在理论方面，我们建立多项式延迟的保证，如果多MS是假设的，或者如果我们有兴趣在树分解的宽度由一个常数。我们描述了一个实验评估图的各个领域（包括连接查询，贝叶斯网络，树宽基准和随机），并探讨了适用性的多MS假设和我们的算法相对于最先进的性能。
2018-10-07 cs.DS
Minimum Bisection is fixed parameter tractable
在经典的最小二分法问题中，我们给出一个图$G$和一个整数$k$作为输入。任务是确定是否存在将$V(G)$划分为两部分$A$和$B$的划分，使得$||A|-|B|| \leq 1$和至多存在$k$边，其中一个端点在$A$中，另一个端点在$B$中。本文给出了一个具有运行时间的最小二分法$O(2^{O(k^{3})}n^3 \log^3 n)$。这是第一个固定参数易处理的最小对分算法。在我们的算法的核心在于一个新的分解定理，该定理指出，每个图$G$可以被分解成小的分离器的部分，其中每个部分是“高度连接”在以下意义上：任何有界大小的切割只能从分解的每个部分分离有限数量的顶点。我们的技术推广到加权设置，在那里我们寻求最小权重的解决方案，包含最多$k$边缘之间的二分法。
2014-03-18 cs.DS
Narrowing the LOCAL$\unicode{x2013}$CONGEST Gaps in Sparse Networks via Expander Decompositions
本文提出一个通用框架，利用分布式扩展器分解，在排除固定子图的稀疏网络中，为多个组合优化问题实现poly(log n, 1/ε)轮(1±ε)近似，并推广了分布式性质测试。
2025-10-23 cs.DC cs.DS
Finding large sparse induced subgraphs in graphs of small (but not very small) tree-independence number
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）；University of Warsaw（华沙大学）；Warsaw University of Technology & University of Warsaw（华沙理工大学与华沙大学）
本文提出了一种改进算法，能够在树独立数较小但不非常小的图中以准多项式或亚指数时间解决一大类优化问题。
2026-01-22 cs.DS
Drawn Tree Decomposition: New Approach for Graph Drawing Problems
针对图绘制领域标准参数常导致难解、缺乏通用参数化算法设计方法的问题，本研究提出新型绘制树分解及对应参数，可推导XP时间算法，应用于多个核心图绘制问题，还可得到次指数算法并明确了与其他宽度度量的关系。
2023-10-09 cs.CG cs.DS
Adapting the Directed Grid Theorem into an FPT Algorithm
Robertson和Seymour的网格定理[JCTB，1986]是结构图论领域中最重要的工具之一，在无向图的算法设计中有许多应用。有向图中网格定理的一个类似版本由Johnson等人[JCTB，2001]提出，并由Kawarabayashi和Kreutzer [STOC，2015]证明。也就是说，他们证明了存在一个函数$f(k)$，使得每个有向树宽度至少为$f(k)$的有向图都包含一个大小为$k$的圆柱形网格作为蝶形子式，并指出他们的证明可以转化为XP算法，参数为$k$，该算法要么构造一个适当宽度的分解，要么找到所要求的大圆柱形网格作为蝶形子式。在本文中，我们采取的Kawarabayashi和Kreutzer的证明的一些步骤，以改善这个XP算法到FPT算法。为此，我们的主要技术贡献是两个FPT算法的参数$k$。第一个算法要么产生树的分解宽度$3k-2$或发现一个避风港的顺序$k$在有向图$D$，改进了原来的结果树的分解由Johnson等人。第二个算法发现一个良好的链接集的顺序$k$在一个有向图$D$的大有向树宽度。作为工具来证明这些结果，我们展示了如何解决一个广义的版本的问题，找到一组给定的顶点$T$在FPT时间与参数$|T|$，结果，我们认为是自己的兴趣。
2022-05-12 cs.CC cs.DS math.CO
