Overdetermined problems for fully nonlinear elliptic equations
我们证明了在有界区域$Ω$中的一个完全非线性椭圆方程解的存在性，该区域具有一个超定边界条件，该超定边界条件规定Dirichlet和Neumann常数数据迫使该区域$Ω$是一个球。这是Serrin 1971年经典结果的推广。
2013-06-27 math.AP
Overdetermined problems for fully non linear operators
本文考虑了具有Dirichlet和Neumann条件的有界光滑区域上的完全非线性奇异或退化椭圆算子的超定问题，与Serrin的经典结果一样，我们证明了非平凡常数符号解的存在性意味着该区域是一个球.
2011-05-27 math.AP
Overdetermined problems with sign-changing eigenfunctions in unbounded periodic domains
本文证明欧几里得空间中存在非平凡无界周期径向域，使 Laplace Dirichlet 特征函数可变号且边界 Neumann 值恒定，并推广到双边界分量的相反边界值情形。
2023-07-15 math.AP
Klein-Gordon-Maxwell Systems with Nonconstant Coupling Coefficient
本文研究了有界空间中的Klein-Gordon-Maxwell系统在Neumann边界条件下的电势。我们允许一个非常数的耦合系数。对于足够小的数据，我们找到无限多的静态解。
2019-12-02 math.AP
An overdetermined problem associated to the Finsler Laplacian
我们证明了各向异性拉普拉斯算子的刚性结果。更确切地说，该问题的域是由一个未知的表面支持的狄利克雷条件与纽曼型条件，这是不对称不变的。使用比较参数，我们表明，域实际上是一个武尔夫形状。我们还考虑了更一般的情况下，当未知的表面需要有一个给定的锥面上的边界：在这种情况下，域的问题是由未知的表面和给定的锥面，它支持齐次诺依曼条件的一部分。我们证明了未知曲面位于Wulff形状的边界上。
2020-10-06 math.AP
Non-autonomous overdetermined problems for the normalized p-Laplacian
本文研究有界开集中归一化 p-Laplacian 的非自治超定问题，在边界采用非常数 Neumann 条件，建立 p∈[1,∞] 时解的存在性与不存在性结果。
2024-03-04 math.AP
Existence and continuation of solutions for a nonlinear Neumann problem
本文研究了一类非线性Neumann问题非常数解的存在性、连续性和无穷远分支。我们应用第二作者定义的勒雷-绍德尔度和SO（2）-等变梯度算子的度.
2006-10-12 math.AP
Counterexamples to Symmetry for Partially Overdetermined Elliptic Problems
我们展示了几个反例表明，著名的Serrin的对称性半线性椭圆超定问题的结果可能不成立的部分超定问题，也就是说，当Dirichlet和Neumann边界条件只规定的部分边界。我们的反例启发了前两位作者对这类部分超定组的正对称性结果，并证明了他们的假设。
2009-02-17 math.AP math.OC
Some remarks on patterns for semilinear Neumann problems
Università degli Studi di Milano（米兰大学）
本文研究半线性椭圆方程的解的结构，证明在非线性满足单调性条件时，所有解均为常数，不依赖于领域凸性，且通过构造例子验证假设的尖锐性。
2026-03-25 math.AP
Serrin's overdetermined problem in rough domains
本文证明了 Serrin 超定定理在 Lipschitz 域及更一般的有限周长集（允许裂缝）上成立，通过新方法肯定解决了长期未决的开放问题。
2025-03-29 math.AP
Nontrivial solutions to the relative overdetermined torsion problem in a cylinder
该研究针对半柱体与柱体中的相对超定扭转问题，通过局部分歧论证在非常数函数下方图型区域构造出非平凡解，且该方法对任意一般基底区域均适用。
2024-04-14 math.AP
Overdetermined elliptic problems on model Riemannian manifolds
本文在模型黎曼流形的超定椭圆问题背景下，证明了满足常数Dirichlet和Neumann边界条件的环形扇形域必为球面扇形且解具径向对称性，将经典刚性现象推广至更一般的框架。
2025-05-31 math.AP math.DG
Piecewise smooth stationary Euler flows with support in a neighborhood of a helix
Instituto de Ciencias Matemáticas, Consejo Superior de Investigaciones Científicas（西班牙高等科学研究委员会数学科学研究所）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
研究构建三维不可压缩欧拉方程的平稳解，其具有螺旋对称性且支撑在螺旋线邻域。通过与流函数公式相关的非线性超定椭圆边值问题得到分段光滑解，解的涡旋横截面各向异性，关键步骤是分析特定超定椭圆问题。
2026-07-20 math.AP
Bifurcating domains for an overdetermined eigenvalue problem in cylinders
本文研究了半圆柱体内过定特征值问题，通过构造分支域来生成非平凡解。
2025-12-18 math.AP
Minimizers for boundary reactions: renormalized energy, location of singularities, and applications
ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；University of Nottingham（诺丁汉大学）
本文研究边界反应下极小解的存在性，发现当n=2时，与内部反应不同，存在非常数稳定解。通过重整化能量分析奇点位置，发展了新的Ginzburg-Landau理论。
2026-03-30 math.AP
Critical domains for the first nonzero Neumann eigenvalue in Riemannian manifolds
本文研究了黎曼流形$(\mathcal{M},g)$的有界子域$Ω$上Laplace-Beltrami算子的Neumann本征值问题最优化问题.更确切地说，我们分析了局部极值域的第一个非平凡的特征值$μ_2(Ω)$与体积保持域扰动，我们表明，相应的概念的临界出现的形式超定边界问题。我们的结果依赖于延伸的Zanger的形状导数公式，其中包括的情况下，当$μ_2(Ω)$是不是一个简单的特征值。在本文的第二部分中，我们专注于产品流形的形式$\mathcal{M} = \mathbb{R}^k \times \mathcal{N}$，我们分类的子域，一个相关的超定边值问题有一个解决方案。
2018-03-20 math.AP math.DG
A p-Laplacian supercritical Neumann problem
对于$p>2$，我们考虑拟线性方程$-Δ_p u+|u|^{p-2}u=g(u)$在$\mathbb R^N$的单位球$B$中，具有齐次Neumann边界条件.对$g$的假设是非常温和的，并允许非线性在Sobolev嵌入的意义上可能是超临界的。通过变分方法，我们证明了一个非常数的，正的，径向非减解的存在性。在$g(u)=|u|^{q-2}u$的情况下，我们检测这些解的渐近行为为$q\to\infty$。
2016-06-21 math.AP
Structure of the positive radial solutions for the supercritical Neumann problem $\varepsilon^2Δu-u+u^p=0$ in a ball
本文研究了$\mathbb{R}^N$中单位球上的超临界Neumann问题$\varepsilon^2Δu-u+u^p=0$的正径向解的结构，其中$N$是空间维数，$p>p_S:=(N+2)/(N-2)$，$N\ge 3$ .我们证明了存在一个序列$\{\varepsilon_n^*\}_{n=1}^{\infty}$（$\varepsilon_1^*>\varepsilon_2^*>\cdots\rightarrow 0$），使得这个问题有无穷多个奇异解$\{(\varepsilon_n^*,U_n^*)\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{R}\times (C^2(0,1)\cap C^1(0,1])$，并且非常数正则解在$(\varepsilon,U(0))$平面上由无穷多条光滑曲线组成.证明了每条曲线在$\varepsilon_n^*$处爆破，如果是$p_{\rm{S}}<p<p_{\rm{JL}}$，则每条曲线在$\varepsilon_n^*$附近有无穷多个转折点。$p_{\rm{JL}}$代表约瑟夫-伦德格伦指数。特别地，如果$\varepsilon\in\{\varepsilon_n^*\}_{n=1}^{\infty}$，则该问题有无穷多个解。我们还证明了存在$\bar{\varepsilon}>0$使得当$\varepsilon>\b…
2020-01-05 math.AP
Linear stability estimates for Serrin's problem via a modified implicit function theorem
我们研究Serrin的经典超定问题的扰动下的Neumann边界条件。常Neumann边界条件的问题的解决方案存在的基础域是一个球。问题是，对于常数的扰动，是否仍然存在允许问题解的域。此外，人们可能会问，一个允许扰动问题的解的域是否在平移之前是唯一的，以及它是否靠近球。我们发展了一个新的隐函数定理的一对Banach三元组，适用于非线性问题的损失的衍生物，但在考虑点。结合对线性化算子的详细分析，证明了扰动超定问题存在解的区域的存在性和局部唯一性。此外，建立了区域形状的最优线性稳定性估计。
2021-03-12 math.AP
A note on some overdetermined elliptic problem
我们定义例外流形的概念是一个平坦的黎曼流形的边界，支持一个正调和函数同时满足零Dirichlet条件和常数（非零）Neumann条件的边界。我们研究了二维的情况下：我们提出了各种例子，并给出了一个一般的构造算法，这样的表面，通过使用复分析。我们推导出一个分类的所有这些表面假设一些进一步的自然假设，并证明了伯恩斯坦型定理。
2010-01-07 math-ph math.AP math.DG
Serrin's overdetermined problem for fully nonlinear non-elliptic equations
令$u$表示有界单连通域$Ω\subset R^2$上旋转不变Hessian方程$F(D^2u)=0$的解，其中$\partial Ω$上具有常数Dirichlet和Neumann数据。本文证明了：如果$u$是实解析的且不恒零，则$u$是径向的，$Ω$是圆盘.全非线性算子$F\not\equiv 0$是一般类型的，特别是不假定是椭圆的.我们还表明，结果是尖锐的，在这个意义上，它是不正确的，如果$Ω$不是单连通的，或者如果$u$是$C^{\infty}$，但不是真正的分析。
2019-02-05 math.AP math.DG
Overdetermined problems for gauge balls in the Heisenberg group
本文证明Heisenberg群中规范球是唯一能解出Serrin型超定问题的区域，并针对不同维度建立了唯一性结果。
2023-10-16 math.AP math.DG
Fractional semilinear Neumann problems arising from a fractional Keller--Segel model
考虑光滑有界区域上的分式半线性Neumann问题$Ω\subset\mathbb{R}^n$，$n\geq2$，$$\begin{cases} (-\varepsilonΔ)^{1/2}u+u=u^{p},&\hbox{in}~Ω,\\ \partial_νu=0,&\hbox{on}~\partialΩ,\\ u>0,&\hbox{in}~Ω, \end{cases}$$，其中$\varepsilon>0$和$1<p<(n+1)/(n-1)$ .这是林-倪-高木在80年代后期研究的半线性诺伊曼问题的分数版本。问题的出现，考虑稳定状态的Keller-Segel模型与非局部化学浓度扩散。利用半群语言的扩展方法和变分技巧，我们证明了存在的非常数光滑解的小$\varepsilon$，这是通过最小化一个合适的能量泛函。在大$\varepsilon$的情况下，我们得到了非常数解的不存在性。研究还表明，作为$\varepsilon\to0$，解$u_\varepsilon$在$Ω$上的测量趋于零，而它们在$\overlineΩ$上形成尖峰。我们在这里开发的分数Neumann Laplacian的正则性估计对于分析是必不可少的。后者的结果是独立的利益。
2016-01-27 math.AP math.CA
A $p$-Laplacian Neumann problem with a possibly supercritical nonlinearity
我们寻找非常数，积极的，径向非递减的解决方案的拟线性方程$-Δ_p u+u^{p-1}=f(u)$与$p>2$，在单位球$B$的$\mathbb R^N$，受齐次诺依曼边界条件。非线性$f$的假设是非常温和的，并允许它可能是超临界的意义上的Sobolev嵌入。所使用的主要工具是截断法和山路式论证。在纯功率情况下，即，$f(u)=u^{q-1}$，我们检测的极限轮廓的解决方案的问题作为$q\to\infty$。
2016-10-15 math.AP
Delaunay type domains for an overdetermined elliptic problem in S^n x R and H^n x R
证明了在M^n x R中存在可数族Delaunay型域Ω j，其中M^n是黎曼流形S^n或H^n，n至少为2，它从圆柱B^n x R（其中B^n是M^n中半径为1的测地球）分支出来，对于这类域，具有零Dirichlet边界条件的Laplace-Beltrami算子的第一特征函数在边界处也具有常数Neumann数据.域Ω_j相对于圆柱的R轴是旋转对称的和周期性的，并且当j收敛到0时，域Ω_j收敛到圆柱B^n x R。
2013-05-28 math.AP math.DG
Positive solutions to general semilinear overdetermined boundary problems
Instituto de Ciencias Matemáticas, Consejo Superior de Investigaciones Científicas（西班牙高等科学研究委员会数学科学研究所）；Departamento de Análisis Matemático y Matemática Aplicada, Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学数学学院分析与数学应用系）；ICREA（加泰罗尼亚高级研究院）；Universitat de Barcelona, Departament de Matemàtiques i Informàtica（巴塞罗那大学数学与计算机科学系）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
针对$\mathbb{R}^n$中有界开集上的一般半线性超定椭圆边值问题，证明了$n\leq 4$时任意给定体积且边界光滑的开集存在正解，方法基于Alt和Caffarelli的变分思想，可推广到高维，且对常数Neumann数据的Poisson方程也适用。
2026-10-01 math.AP
Serrin's Overdetermined Problem and Constant Mean Curvature Surfaces
对于所有的$N \geq 9$，我们发现光滑的整个epigraphs在$\R^N$，即光滑域的形式$Ω: = \{x\in \R^N\ / \ x_N > F (x_1,\ldots, x_{N-1})\}$，这不是半空间，其中的问题的形式$Δu + f(u) = 0 $在$Ω$有一个积极的，有界的解决方案0 Dirichlet边界数据和常数Neumann边界数据$\partial Ω$。这否定地回答了Berestycki、Caffarelli和Nirenberg \cite{bcn2}提出的大维数问题。在1971年，Serrin \cite{serrin}证明了一个有界域，这样一个超定问题是可解的，必须是一个球，在类比著名的结果由亚历山德罗夫说，一个嵌入紧凑的表面与常数中曲率（CMC）在欧几里得空间必须是一个球。在较低的维度，我们成功地提供了域的边界接近一个给定的CMC表面的Serrin的超定问题是可解的大膨胀的例子。
2013-10-16 math.AP math.DG
A reaction-diffusion system with nonconstant diffusion coefficients: exact and numerical solutions
University of Nottingham（诺丁汉大学）；National University of Kyiv-Mohyla Academy（基辅莫希拉国立学院）
本文研究带非常数扩散的Lotka-Volterra反应-扩散系统，构造多参数精确解，证明其满足零Neumann条件及存在两个稳定稳态点，用精确解求解边值问题并验证小扰动下数值解与精确解吻合度高。
2026-08-12 math.AP
An Overdetermined Problem in Potential Theory
我们研究了L. Hausbirth，F. Hélein和F. Pacard，也就是说，表征所有的域在平面上，承认一个“屋顶功能”，即，一个正的调和函数，它同时解决了一个具有零边界数据的狄利克雷问题和一个具有常数边界数据的诺依曼问题。在一些先验假设下，我们证明了只有三个例子是外部的磁盘，半平面，和一个非平凡的例子。我们表明，在四维的非平凡的简单连接的例子没有任何轴对称的模拟包含自己的对称轴。
2013-03-28 math.AP math.CV math.DG
Rigidity results for overdetermined problems of p-Laplace equation with spatially dependent data
Hunan University（湖南大学）
本文针对带空间依赖数据的p-Laplace方程超定问题，发展边界局部移动平面法，证明其可解性迫使区域为球，还给出解的显式公式并推导相关对称性与曲率刻画结论。
2026-10-14 math.AP
A non-overdetermined inverse problem of finding the potential from the spectral function
设$D\subset \R^n$，$n\geq 3,$是具有$C^{\infty}$边界的有界区域，$L=-\nabla^2+q(x)$是由Neumann边界条件定义在$H=L^2(D)$中的自伴算子，$θ(x,y,λ)$是它的谱函数，$θ(x,y,λ):=\ds\sum_{λ_j<λ} ϕ_j(x)ϕ$其中$Lϕ_j=λ_jϕ_j$，$ϕ_{j N}|_S=0,$ $\|ϕ_j\|_{L^2(D)}=1$，$j=1,2,...$ .潜在的$q(x)$是一个实值函数，$q\in C^\infty(D)$。证明了当$L$的所有特征值都是单的时，$q(x)$是由数据$θ(s,s,λ) \forall s\in S$，$\forall λ\in \R_+$唯一确定的.
2001-03-28 math-ph math.AP math.MP
Nonsymmetric sign-changing solutions for the partially overdetermined eigenvalue problem on a hollow cylinder
Dalian University of Technology（大连理工大学）；Jiangsu University（江苏大学）
研究了无界域上过定特征值问题，构造了非平凡无界域家族，揭示了高特征值问题的复杂性，并为Berenstein猜想提供了反例。
2026-08-16 math.AP
On the crack inverse problem for pressure waves in half-space
在建立了上平面Neumann条件为零的半空间中的压力波方程后，我们引入了一个相关的反问题。该反问题包括识别裂纹和未知的强迫项，该裂纹从超定的边界数据上的一个相对开集的顶面。这个逆问题不是唯一可解的，除非做一些额外的假设。然而，我们表明，我们可以区分两个裂纹$Γ_1$和$Γ_2$的假设下，$\RR^3 \setminus \overline{Γ_1\cup Γ_2}$连接。如果不是这种情况，我们提供反例来证明非唯一性，即使$Γ_1$和$Γ_2$是光滑的和“几乎”平坦的。最后，我们表明，在$\RR^3 \setminus \overline{Γ_1\cup Γ_2}$不一定连接的情况下，排除一离散集的频率后，$Γ_1$和$Γ_2$可以再次从超定边界数据区分。
2023-03-09 math.AP
Semilinear overdetermined problems, a divergence formula, and geometric inequalities
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）；Universidade Federal do Oeste da Bahia（巴伊亚联邦大学）；Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia（联邦教育、科学和技术学院）
本文研究满足Serrin型问题的黎曼流形边界面积界，推导相关散度公式，证明Minkowski型、面积-电荷不等式，推广Boucher-Gibbons-Horowitz经典结果。
2026-09-04 math.AP math.DG
Qualitative analysis of stationary Keller-Segel chemotaxis models with logistic growth
本文研究了一维区域上具有Logistic细胞生长的稳态Keller-Segel趋化性模型。我们发现，非常数的解决方案出现在图灵的不稳定性的意义上的趋化率$χ$超过一个阈值数。以趋化率为分歧参数，对系统进行分歧分析，得到分歧值和小振幅非常数正解的显式表达式.此外，我们表明，解决方案保持严格正的连续的每个分支。当化学品的生成和降解速率被假定为线性函数时，这些稳态解的稳定性得到了很好的研究。最后，我们研究了单调定态的渐近行为。我们构建有趣的模式，如边界尖峰时的趋化率是足够大的和/或细胞的运动性是小的解决方案。
2016-04-17 math.AP
Radial weak solutions for the Perona-Malik equation as a differential inclusion
Perona-Malik方程是一个不适定的正倒向抛物型方程，在图像处理中有重要的应用。本文研究了Perona-Malik型方程，证明了对于任意光滑的非常数径向对称初值，齐次Neumann边值问题在所有维空间中存在无穷多个径向弱解.我们的方法是将$n$ -维方程转化为一维方程，将一维问题转化为微分包含问题，并应用Baire范畴方法产生无穷多个解。
2013-09-30 math.AP
A general integral identity with applications to a reverse Serrin problem
该研究提出新的通用微分与积分恒等式，推广了此前Serrin问题相关公式，并首次引入反向Serrin问题，证明其定量对称性结果，还得到对应Poisson方程解的刚性结果。
2024-05-15 math.AP
Convex integration and infinitely many weak solutions to the Perona-Malik equation in all dimensions
本文证明了图像处理中Perona-Malik方程的初Neumann边值问题在光滑有界凸区域上，对所有光滑的非常数初值，具有无穷多个Lipschitz弱解.除了一维问题外，这样的存在性结果还不为人所知。我们的方法是由Perona-Malik方程转化为一个非齐次部分微分包含与线性约束和不可控的梯度分量。在枢轴密度假设下，利用适当的Baire范畴方法，得到了一个普遍存在的结果.最后，我们通过凸积分来实现这个密度假设，该凸积分是基于某些矩阵集的层凸包的显式公式的近似。
2015-03-02 math.AP
Nonexistence of Courant-type nodal domain bounds for eigenfunctions of the Dirichlet-to-Neumann operator
本文证明在任意维数 n≥3 的带边紧流形上可构造度量，使 Dirichlet-to-Neumann 算子前 K 个非常数特征函数拥有任意多节域，从而否定其 Courant 型节域界猜想。
2024-04-10 math.AP math.DG math.SP
Torsion energy with boundary mean zero condition
针对带边界均值为零条件的扭转能量形状泛函极小化问题，证明球在光滑扰动下是局部极小元但Lipschitz扰动下不是，还得到高维Serrin超定系统刚性在Dirichlet扰动下不稳定的结论。
2023-11-07 math.AP
Continuous dependence for p-Laplace equations with varying operators
研究球内Neumann问题中p-Laplace方程径向非减解对参数p的连续依赖性，并得到p∈(1,2)且q超过显式阈值时非常数解的存在性。
2024-05-22 math.AP
Global rigidity of two-dimensional bubbles
Institut für Analysis und Numerik, Universität Münster（明斯特大学分析与数值研究所）
研究二维具有表面张力的静止空涡结构，证明小Weber数下单位圆的全局刚性，揭示了凸性约束变分问题的唯一解条件。
2026-09-01 math.AP
Periodic solutions for critical fractional problems
讨论了以下非局部临界问题\begin{equation*} \left\{\begin{array}{ll} [(-Δ_{x}+m^{2})^{s}-m^{2s}]u=W(x)|u|^{2^{*}_{s}-2}u+ f(x, u) &\mbox{in} (-π,π)^{N} \\ u(x+2πe_{i})=u(x) &\mbox{for all} x \in \mathbb{R}^{N}, \quad i=1, \dots, N, \end{array} \right. \end{equation*}的$2π$ -周期解的存在性，其中$s\in (0,1)$，$N \geq 4s$，$m\geq 0$，$2^{*}_{s}=\frac{2N}{N-2s}$是分数阶临界Sobolev指数，$W(x)$是正连续函数，$f(x, u)$是具有次临界增长的超线性$2π$ -周期（在$x$中）连续函数.当$m>0$时，通过应用链接定理，在将上述非局部问题转化为半圆柱$(-π,π)^{N}\times (0, \infty)$中的退化椭圆问题之后，通过周期设置中的适当变型的扩展方法，利用非线性Neumann边界条件，获得了非常数周期解的存在性。我们还考虑情况$m=0$通过使用一个仔细的程序的限制。据我们所知，所有这些结果都是新的。
2018-02-17 math.AP
Stable solutions to reaction-diffusion elliptic problems
ICREA；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
研究反应扩散椭圆问题中稳定解的正则性和存在性，解决Brezis提出的问题，并探讨分数阶拉普拉斯算子等的相关进展。
2026-03-03 math.AP
Higher regularity in nonlocal free boundary problems
本文研究一般 $2s$ 阶积分-微分算子的非局部自由边界更高正则性，证明非局部单相 Bernoulli 问题中 $C^{2,\alpha}$ 自由边界为 $C^\infty$，并给出障碍问题的新证明及独立的新边界估计工具。
2025-07-28 math.AP
Coupled reciprocal-sum inequalities for Neumann eigenvalues in rank-one symmetric spaces
Fudan University（复旦大学）
该研究针对秩一对称空间，通过耦合广义特征值问题与正投影Jensen不等式，证明了非紧致型及满足特定条件的紧致型空间中Neumann特征值的完整m项互和尖锐不等式，明确了等号成立条件与相关障碍。
2026-10-15 math.AP math.DG
Tokamak plasma boundary reconstruction using toroidal harmonics and an optimal control method
本文提出了一种新的快速和稳定的算法，用于从真空容器周围几个位置的离散磁场测量中重建等离子体边界。这个逆问题的解决需要两个步骤。在第一种方法中，我们将一组测量值转换为靠近测量点的固定轮廓$Γ\_O$上的柯西条件。这是通过将环形调和函数的截断序列最小二乘拟合到测量值来完成的。第二步是求解真空中通量所满足的椭圆型方程的柯西问题，以及利用环形调和函数得到的$Γ\_O$上的超定边界条件。将其转化为外边界为$Γ\_O$、内边界为$Γ\_I$的固定环形区域上的最优控制问题。正则化的Kohn-Vogelius费用函数取决于$Γ\_I$上的通量的值，并测量使用$Γ\_O$上的Dirichlet条件获得的通量所满足的方程的解与使用Neumann条件获得的解之间的差异。这里提出的方法导致了一个软件的开发，称为VacTH-KV，它使等离子体边界重建在任何托卡马克。
2015-11-15 math.AP math.OC
A computer-assisted counterexample to the planar Pompeiu and Schiffer conjectures
University of Cambridge（剑桥大学）；California Institute of Technology（加州理工学院）
该研究构造了一个十重对称共形映射生成的非圆形区域，作为平面Pompeiu问题与Schiffer猜想的计算机辅助反例，通过算子方程的后验收缩证明了其为对应方程的精确零点。
2026-08-04 math-ph math.AP math.MP
A computer-assisted counterexample to the planar Berenstein conjecture
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Reading（雷丁大学）；California Institute of Technology（加州理工学院）
本文借助计算机辅助，将共形固定圆盘等方法适配到Dirichlet端点，构造出26阶二面体对称的非圆盘区域，给出平面Berenstein猜想的反例，否定了无附加限制的该猜想。
2026-08-11 cs.NA math-ph math.AP
Pseudo-backstepping and its application to the control of Korteweg-de Vries equation from the right endpoint on a finite domain
在本文中，我们设计的Dirichlet-Neumann边界反馈控制器的Korteweg-de Vries（KdV）方程，作用在右端点的域。域的长度允许是关键的。构造作用于域右端点的反推控制器比其左端点对应物更具挑战性。反推方法的标准应用失败，因为相应的内核模型变得超定。为了处理这个困难，我们引入了伪反步法，它使用一个伪内核，满足所有，但一个理想的边界条件。此外，伪核的各种范数可以通过其边界条件中的一个参数来控制。我们证明了通过这个伪核构造的边界控制器仍然指数稳定系统的成本低指数衰减率。我们表明，一个单一的狄利克雷控制器是足够的指数稳定与较慢的衰减率。我们还考虑了作用在右Dirichlet边界条件下的二阶反馈律。我们表明，这种方法的作品，如果主方程只包括三阶项，而同样的问题仍然是开放的，如果主方程涉及一阶和/或非线性项（S）。最后，我们给出了数值模拟来说明主要结果。
2019-01-11 math.AP math.OC
