$3$-tuple total domination number of rook's graphs
图$G$的$k$ -元组全控制集（$k$ TDS）是顶点集$S$，其中$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻. $k$ TDS的最小尺寸被称为$k$元组全控制数，并且它被表示为$γ_{\times k,t}(G)$。给出了$γ_{\times 3, t}(K_n \Box K_m)$的一个一般公式的构造性证明.
2018-07-21 math.CO
Tuple domination on graphs with the consecutive-zeros property
$k$ -元组控制问题，对于一个固定的正整数$k$，寻找一个最小的顶点子集，使得图中的每个顶点至少被这个集合中的$k$顶点控制. $k$ -元组控制是NP-困难的，即使是弦图。对于圆弧图类，其复杂性对于$k\geq 2$仍然是开放的。一个$0,1$ -矩阵有连续0的属性（C 0 P）的列，如果有一个置换的行，连续放置0的每一列。由于A. Tucker，其增广邻接矩阵具有列的C 0 P的图是圆弧。在这项工作中，我们研究了图$G$上的$k$ -元组控制问题，其增广邻接矩阵具有列的C 0 P，对于$ 2\leq k\leq |U|+3$，其中$U$是$G$的泛顶点集。从算法的角度来看，这需要线性时间。
2018-12-21 math.CO
k-tuple total restrained domination and k-tuple total restrained domatic in graphs
令$G$是阶为$n$、大小为$m$的图，令$k\geq 1$是整数。$G$中的$k$ -元组全控制集称为$G$的$k$-元组全约束控制集，如果每个顶点$x\in V(G)-S$至少与$V(G)-S$的$k$顶点相邻. $G$中这类集合的最小顶点数是$G$的$k$ -元组全约束控制数$γ_{\times k,t}^{r}(G)$.对$V(G)$的一个划分，使其所有类都是$G$的$k$ -元组全约束支配集的最大类数称为$G$的$k$ -元组全约束支配数.当$G$是完全图、圈、二部图以及路或圈的补图时，本文首先找到了$γ_{\times k,t}^{r}(G)$.当$G$是一个完全多部图时，我们也将找到这个数的界。当$G$是任意图时，我们将知道图$G$的结构，其中$γ_{\times k,t}^{r}(G)=m$，对于某些$m\geq k+1$，并给出$γ_{\times k,t}^{r}(G)$的上、下界.其次，主要给出了图的$k$ -元组全限制控制数的基本性质和界，最后，当$G$是正则图或任意图时，根据$G$和$\bar{G}$的相似数，给出了补棱柱$G\bar{G}$的$k$ -元组全限制控制数的界.当$G$是循环或路径时，我们计算它。
2011-06-28 math.CO
k-Tuple_Total_Domination_in_Inflated_Graphs
具有$n(G)$顶点的图$G$的膨胀图$G_{I}$是通过将$G$的度为$d$的每个顶点替换为与完全图$K_{d}$同构的团而从$G$获得的，并且$G$的每条边$(x_{i},x_{j})$被边$(u,v)$替换，使得$u\in X_{i}$、$v\in X_{j}$和$G$的两个不同边被$G_{I}$的非相邻边替换。对于整数$k\geq 1$，$G$的$k$ -元组全控制数$γ_{\times k,t}(G)$是$G$的$k$ -元组全控制集的最小基数，$G$的$k$-元组全控制集是$G$中的一个顶点集，使得$G$中的每个顶点至少与其中的$k$顶点相邻.本文研究了膨胀图中当$k\geq 2$ .首先证明了图$n(G)k\leq γ_{\times k,t}(G_{I})\leq n(G)(k+1)-1$，然后刻画了图$G$的$k$ -元组全控制数是$n(G)k$或$n(G)k+1$ .然后，我们发现这个数字的界限膨胀图$G_I$，当$G$有一个切割边缘$e$或切割顶点$v$，在$k$ -元组的$G-e$或$v$ -$G-v$组件的膨胀图的总控制数方面，分别。最后，我们计算这个数字的膨胀图，已获得的一些已知的图。
2011-05-12 math.CO
On General Frameworks and Threshold Functions for Multiple Domination
我们考虑两个一般框架的多重控制，这是所谓的<r，s>-控制和参数控制。它们概括并统一了{k}-支配、k-支配、完全k-支配和k-元组支配。本文将经典控制数的已知上界推广到<r，s>-控制数和参数控制数.这些推广意味着新的上界的{k}-控制和总k-控制数。此外，我们还研究了门限函数，它对最小顶点度施加了额外的限制，并为上述数字提出了新的上界。这些界推广了k-元组控制和全k-控制的类似已知结果。
2014-10-07 math.CO
The k-Tuple Domatic Number of a Graph
对每个正整数$k$，如果$V-S$的每个顶点与$k$的最少顶点相邻，且$S$的每个顶点与$S$的最少$k-1$顶点相邻，则图$G=(V,E)$中的顶点集$S$是$G$的$k$ -元组控制集. $G$的$k$ -元组控制集的最小基数是$G$的$k$ -元组控制数.当$k=1$，一个$k$ -元组控制数是充分研究的控制数。我们定义$G$的$k$ -元组支配数为$V$划分成$k$ -元组支配集的最大集合数。回想一下，当$k=1$，一个$k$ -元组拓扑数是研究得很好的拓扑数。在这项工作中，我们得到的基本性质和界限的$k$ -元组domatic数。
2011-06-28 math.CO
Domination for latin square graphs
在组合数学中，一个拉丁方是一个填充有n个不同符号的$n\times n$矩阵，每个符号在每行和每列中只出现一次。与每个拉丁方相关联，我们可以定义一个单图，称为拉丁方图。在这篇文章中，我们计算了这类图的控制数和k-元组全控制数的上下界上界。此外，我们还给出了二元组全控制数的计算公式。
2021-03-04 math.CO
Cartesian product graphs and $k$-tuple total domination
图$G$的$k$ -元组全控制集（$k$ TDS）是顶点的集合$S$，其中$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻; $k$ TDS的最小大小记为$γ_{\times k,t}(G)$ .本文给出了笛卡儿积图的一个类Vizing不等式，即当填充数为$γ_{\times k,t}(G) \leq 2kρ(G)$时，图的填充数为$γ_{\times k,t}(G) γ_{\times k,t}(H) \leq 2k γ_{\times k,t}(G \Box H)$.我们还给出了$γ_{\times k,t}(G \Box H)$的（开）包装数的界，并考虑了$γ_{\times k,t}(K_n \Box K_m)$的极值情况，即，Rook图，给出了$γ_{\times 2, t}(K_n \Box K_m)$的一个通式的构造性证明.
2016-10-04 math.CO
On $d$-distance $m$-tuple ($\ell, r$)-domination in graphs
本文研究了$d$ -距离$m$ -元组（$\ell, r$）-控制问题.给定简单无向图$G=(V, E)$和正整数$d, m, \ell$和$r$，子集$V' \subseteq V$被称为$d$ -距离$m$ -元组（$\ell, r$）-支配集，如果它满足以下条件：（i）每个顶点$v \in V$是$d$ -由$V'$中的至少$m$顶点支配的距离，以及（ii）$V$的每个$r$大小子集$U$是$d$ -由$V'$中的至少$\ell$顶点支配的距离。在这里，一个顶点$v$是$d$ -距离由另一个顶点$u$支配意味着$u$和$v$之间的最短路径距离至多是$G$中的$d$。集合$U$是$d$ -由$\ell$顶点的集合支配的距离意味着$d$的并集的大小-$V'$中的$U$的所有顶点的距离邻域至少是$\ell$。$d$ -距离$m$ -元组（$\ell, r$）-支配问题的目标是找到满足上述两个条件的最小尺寸子集$V' \subseteq V$.证明了判定图$G$是否有（i）1-距离$m$ -元组的问题（ii）$d$ -距离$m$ -元组（$\ell, 2$）-对于$d (> 1), m$的每个固定值的支配集，和基数至多为$k$的$\ell$（这里$k$是正整数）是NP-完全的。我们还证明，对于任何$\varepsilon>0$，1-距离$m$元组$(\ell, r)$ -支配问题和$…
2021-04-19 cs.CC cs.DM math.CO
Approximation algorithms and ratios for multiple domination in graphs
Cardiff University（卡迪夫大学）；University of the West of England（西英格兰大学）
本文研究图中支配数及两种多重支配数的近似算法，改进了现有结果，证明了多重支配问题可被近似比为ln(Δ+1)+1，且方法简洁自洽。
2026-04-24 math.CO
From Italian domination in lexicographic product graphs to w-domination in graphs
本文证明了字典序积图$G\circ H$的意大利控制数可以用$G\circ H$的五个不同的控制参数来表示。这些参数可以在以下统一的方法下定义，该方法包括几个众所周知的支配参数的定义并引入新的支配参数。令$N(v)$表示$v\in V(G)$的开邻域，并且令$w=(w_0,w_1, \dots,w_l)$是非负整数的向量，使得$ w_0\ge 1$。我们说一个函数$f: V(G)\longrightarrow \{0,1,\dots ,l\}$是$w$ -支配函数，如果对每个顶点$v$有$f(N(v))=\sum_{u\in N(v)}f(u)\ge w_i$，$f(v)=i$ . $f$的权重定义为$ω(f)=\sum_{v\in V(G)} f(v)$。$G$的$w$ -控制数，记为$γ_{w}(G)$，是$G$上所有$w$ -控制函数中的最小权.如果我们在需要时对$G$的最小度施加限制，则在这种方法下，我们可以定义例如控制数、总控制数、$k$ -控制数、$k$ -元组控制数、$k$-元组总控制数、意大利控制数、总意大利控制数和$\{k\}$ -控制数。具体来说，我们表明，$γ_{I}(G\circ H)=γ_{w}(G)$，其中$w\in \{2\}\times\{0,1,2\}^{l}$和$l\in \{2,3\}$。关于等式是否对$w_0,\dots,w_l$的特定值成立…
2021-05-11 math.CO
Three-arc graphs: characterization and domination
图的弧是有向边，3-弧是顶点的4元组$(v,u,x,y)$，使得$(v,u,x)$和$(u,x,y)$都是长度为2的路。图$G$的3-弧图被定义为具有$G$的弧的顶点使得两个弧$uv, xy$相邻当且仅当$(v,u,x,y)$是$G$的3-弧。本文给出了3-弧图的一个刻划，并利用图$G$的3-弧图的控制数得到了图$G$的3-弧图的控制数的一个精确上界.
2014-01-02 math.CO
Revisiting $k$-tuple dominating sets with emphasis on small values of $k$
对于任意阶为$n$且度序列为$d_{1}\geq\cdots\geq d_{n}$的图$G$，我们定义双斯莱特数$s\ell_{\times2}(G)$为最小整数$t$使得$t+d_{1}+\cdots+d_{t-e}\geq2n-p$，其中$e$和$p$分别为$G$的端顶点数和倒数第二个顶点数.我们证明了$γ_{\times2}(G)\geq s\ell_{\times2}(G)$，其中$γ_{\times2}(G)$是一个没有孤立点的图$G$的著名的双控制数。我们证明了问题的决定是否平等持有一个给定的图是NP-完全的，即使限制到$4$ -部图。我们还证明了计算$γ_{\times2}(G)$的问题是NP难的，即使是直径为2的相似图。本文给出了关于这两个参数的一些结果，改进和推广了关于图的双重控制的一些结果。本文给出了图的$k$ -元组拓扑数的一个上界，并刻画了达到这个上界的所有图。最后，我们的特点是家庭的所有全图，导致一个开放的问题的解决方案中给出的Cockayne和Hedetniemi（$1977$）。
2021-10-30 math.CO
Upper bounds for alpha-domination parameters
本文给出了α-控制数的一个新的上界。这一结果推广了著名的Caro-Roditty界图的控制数。同样的概率结构是用来推广另一个著名的上界的经典控制图。我们还证明了类似的上界的α率控制数，它结合了α控制和k元组控制的概念。
2008-05-05 cs.DM math.CO
Domination and packing in graphs
本文研究图的支配数与打包数之间的关系，针对次三次图的猜想，证明了二分三次图、极大外平面图和双凸图的上界，其中双凸图的上界是紧的。
2024-02-08 cs.DM math.CO
$k$-Domination invariants on Kneser graphs
本文研究Kneser图$K(n,r)$的$k$-控制数和$k$-元组全控制数，证明其单调性，给出特定参数下的精确值，并研究2-填充数的精确值与充分条件。
2023-12-24 math.CO
Signed Total Roman Domination and Domatic Numbers: Degree Three and Complete Multipartite Graphs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
研究三次图的符号全罗马支配数与其开放包装数、2-元全支配数和符号全支配数的关系，得到紧界和NP完全性结果，并确定完全多部图的精确值。
2026-06-26 math.CO
New Algorithms for Weighted $k$-Domination and Total $k$-Domination Problems in Proper Interval Graphs
给定一个正整数$k$，图$G$中的$k$ -支配集是一个顶点集，使得每个不在集合中的顶点在集合中至少有$k$邻居。全$k$ -支配集，也称为$k$ -元组全支配集，是一个顶点集合，使得图的每个顶点在该集合中至少有$k$邻居。在给定的图中，分别求$k$ -控制集和全$k$ -支配集的最小尺寸的问题称为$k$ -控制集和全$k$-控制集.这些经典控制和全控制问题的推广在弦图类中是NP-困难的，更具体地说，甚至在分裂图类（两个问题）和无向路图类（在全$k$ -控制的情况下）中也是NP-困难的。另一方面，它遵循Kang等人最近的工作。（2017），这两个家庭的问题是可解的时间$\mathcal{O}(|V(G)|^{6k+4})$在类的区间图。我们开发了更快的算法$k$ -支配和总$k$ -支配类的适当的区间图，通过减少到一个最短路径计算在一个派生的有向无环图的$\mathcal{O}(|V(G)|^{2k})$节点和$\mathcal{O}(|V(G)|^{4k})$弧。我们表明，一个合适的实现，这避免了构建所有的弧的有向图，导致运行时间的$\mathcal{O}(|V(G)|^{3k})$。该算法也适用于加权的情况。
2018-07-24 cs.DM cs.DS math.CO
