关于 Burness-Giudici 猜想
On the Burness-Giudici Conjecture
AI总结：
本文证明 Burness-Giudici 猜想对所有基座为 $PSL(2,q)$（$q\geq 5$）的本原置换群成立，为 Lie 型单群情形提供首个无限族结果。
摘要：
设 $G$ 是作用在集合 $Ω$ 上的一个置换群。若 $Ω$ 的一个子集在 $G$ 中的逐点稳定子群是平凡的，则称该子集为 $G$ 的一个基。我们用 $b(G)$ 表示 $G$ 的最小基的大小。每个满足 $b(G)=2$ 的置换群都包含若干正则子轨道。Burness-Giudici 在文献 [4] 中猜想：每个满足 $b(G)=2$ 的本原置换群 $G$ 都具有如下性质：若 $α^g\not\in Γ$，则 $Γ\cap Γ^g\neq \emptyset$，其中 $Γ$ 是 $G$ 相对于 $α$ 的所有正则子轨道的并。文献 [4] 已对许多散在单群和一些交错群给出了该猜想的肯定回答，但它对 Lie 型单群仍未解决。我们应当研究的 Lie 型单群无限族的首个候选对象或许是 $PSL(2,q)$，其中 $q\geq 5$。在本文中，我们证明了该猜想对所有基座为 $PSL(2,q)$ 的本原群均成立，见定理 1.3。
英文摘要：
Let $G$ be a permutation group on a set $Ω$. A subset of $Ω$ is a base for $G$ if its pointwise stabilizer in $G$ is trivial. By $b(G)$ we denote the size of the smallest base of $G$. Every permutation group with $b(G)=2$ contains some regular suborbits. It is conjectured by Burness-Giudici in [4] that every primitive permutation group $G$ with $b(G)=2$ has the property that if $α^g\not\in Γ$ then $Γ\cap Γ^g\neq \emptyset$, where $Γ$ is the union of all regular suborbits of $G$ relative to $α$. An affirmative answer of the conjecture has been shown for many sporadic simple groups and some alternative groups in [4], but it is still open for simple groups of Lie-type. The first candidate of infinite family of simple groups of Lie-type we should work on might be $PSL(2,q)$, where $q\geq 5$. In this manuscript, we show the correctness of the conjecture for all the primitive groups with socle $PSL(2,q)$, see Theorem $1.3$.
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