Faster Matrix Multiplication via Asymmetric Hashing
本文通过非对称哈希方法部分补偿Coppersmith-Winograd张量分析中的组合损失，改进了快速矩阵乘法的激光方法，将时间复杂度指数ω的上界提升至2.371866，打破了此前2.3725的下界。
2023-11-28 cs.DS
Engineering Compressed Matrix Multiplication with the Fast Walsh-Hadamard Transform
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
该研究通过快速沃尔什-哈达玛变换改进压缩矩阵乘法，实现高速计算并优于现有DGEMM性能。
2026-01-14 cs.DS
On Fast Computation of a Circulant Matrix-Vector Product
本文研究循环矩阵。它表明，一个循环矩阵可以乘以一个向量的时间为O（n log（n））的环的根的单位，而不使用FFT算法。与我们的算法相比，我们实现了一个因子的加速比约为2.25的两个多项式的乘法与整数系数的乘法FFT算法。作为进一步的应用，本文还讨论了大整数乘法.
2021-03-03 cs.DS
Faster polynomial multiplication via multipoint Kronecker substitution
基于Kronecker代换法给出了稠密多项式乘法的几种新算法。对于中等大小的输入多项式，新的算法提高了性能的标准克罗内克替代一个相当大的常数，无论是在理论上和实证测试。
2007-12-25 cs.DS cs.SC
Fully Polynomial-time Algorithms Parameterized by Vertex Integrity Using Fast Matrix Multiplication
本文以顶点完整性为参数，利用快速矩阵乘法为围长、最大匹配、四顶点诱导子图检测和 APSP 设计完全多项式时间算法，并在复杂度上优于既有树深参数化方法。
2024-03-04 cs.DS
Sparsifying Distributed Algorithms with Ramifications in Massively Parallel Computation and Centralized Local Computation
我们介绍了一种方法，稀疏化分布式算法，并展示它如何导致改进，过去已知的障碍，在两个算法设置的大规模图形处理：大规模并行计算（MPC），和本地计算算法（LCA）。- 具有强次线性存储器的MPC：最近，对于MIS、最大匹配、最小顶点覆盖的2-近似和最大匹配的$(1+ε)$ -近似等问题，获得比其经典$O(\log n)$轮并行对应物更快的MPC算法的兴趣越来越大。目前，所有这样的MPC算法需要每台机器的$\tildeΩ(n)$存储器。Czumaj等人[STOC'18]是第一个处理$\tildeΩ(n)$内存的人，在$O((\log\log n)^2)$轮中运行。我们得到$\tilde{O}(\sqrt{\log Δ})$轮MPC算法的所有这四个问题，即使每个机器有内存$n^α$任何常数$α\in (0, 1)$。这里，PDMATHAMT表示最大程度。这些是第一个亚临界时间算法，这些问题，打破了线性记忆障碍。- 查询复杂度低于Parnas-Ron范式的LCA：目前，最知名的MIS LCA具有查询复杂度$Δ^{O(\log Δ)} poly(\log n)$，由Ghaffari [SODA'16]提出。正如Rubinfeld所指出的，获得$poly(Δ\log n)$的查询复杂度仍然是一个中心的开放问题。Ghaffari的界限几乎达到了所有已知MIS LCA所共有的$Δ^{Ω\left(\…
2018-07-17 cs.DC cs.DS
Elastic-Degenerate String Matching via Fast Matrix Multiplication
弹性简并（ED）弦是总长度为$N$的弦的$n$集合的序列，其最近被提出来模拟一组相似序列。ED字符串匹配（EDSM）问题是在ED文本中找到长度为$m$的模式的所有出现。用于EDSM的$O(nm^{1.5}\sqrt{\log m}+N)$时间算法是已知的[Aoyama等人，CPM 2018]。关于这个问题的先前工作中的标准假设是$N$实质上大于$n$和$m$，因此我们希望对前者具有线性依赖性。在这个假设下，自然的开放问题是我们是否可以降低时间复杂度的1.5指数，类似于相关的（但据我们所知，不等价）断字问题[Backurs and Indyk，FOCS 2016]。我们的出发点是EDSM的条件下界。我们使用流行的组合布尔矩阵乘法（BMM）猜想，说明BMM没有真正的亚立方组合算法[Abboud和Williams，FOCS 2014]。通过设计一个适当的减少，我们表明，一个组合算法解决EDSM问题的$O(nm^{1.5-e}+N)$时间，任何$e>0$，驳斥了这一猜想。我们的减少应该被理解为减少指数需要快速矩阵乘法的指示。字符串周期性和快速傅立叶变换是字符串算法中的两个标准工具。我们的主要技术贡献是，我们成功地将这些工具与快速矩阵乘法结合起来，设计了一个非组合的$\tilde{O}(nm^{ω-1}+N)$时间算法EDSM，其中$ω$表示矩阵乘法指数。据我们所知，我们是第一个将这些工具结…
2021-05-04 cs.DS
Faster Stable Numerical Polynomial Multiplication
本文提出一种更简单的稳定数值多项式乘法算法，保持相同时间复杂度和误差界，并可加速近凸min-plus卷积问题求解。
2026-10-02 cs.DS
Fast Feasible and Unfeasible Matrix Multiplication
快速矩阵乘（以下简称MM）是一个高度认可的研究课题。1968年关于复杂性指数MM的上界3的记录到1987年下降到2.38以下，适用于许多计算领域的著名问题，并在计算理论中被广泛引用。进一步降低指数仍然是一个著名的挑战。在计算实践中MM的加速是一个独特的挑战，因为所有已知的算法支持指数低于2.7733，仅针对巨大尺寸的不可行MM改进了直接MM，大大超过了现在和任何可预见的未来感兴趣的尺寸。我们首先调查的主流研究的无限大小的MM的加速，包括在减少MM的指数的进展，评论其对计算的理论和实践的影响，并回顾各种基本概念和技术支持快速MM和自然在1980年推出的研究。然后，我们展示了递归的诅咒如何自然地进入了减少记录指数的游戏。最后，我们涵盖了最先进的高效可行MM，包括一些最有效的已知技术和算法，以及各种问题的数值和符号实现。我们希望，我们的审查将有助于推动和适当地集中在这一非常重要的领域作出进一步努力。
2018-04-11 cs.DS
Fast Context-Free Grammar Parsing Requires Fast Boolean Matrix Multiplication
1975年，Valiant证明布尔矩阵乘法可以用于解析上下文无关文法（CFG），产生了已知的最快（尽管不实用）的CFG解析算法。我们证明了一个对偶结果：任何具有时间复杂度$O(g n^{3 - \epsilson})$的CFG解析器（其中$g$是语法的大小，$n$是输入串的长度）都可以被有效地转换成在时间上乘以$m \times m$布尔矩阵的算法$O(m^{3 - ε/3})$。鉴于实际的，基本上是次立方布尔矩阵乘法算法已经很难找到，因此，我们解释了为什么一直没有什么进展，在开发实用的，基本上是次立方一般的CFG解析器。在证明这一结果，我们还开发了一个形式化的概念解析。
2001-12-15 cs.CL cs.DS
Faster Polynomial Multiplication via Discrete Fourier Transforms
研究了任意域上多项式乘法的复杂性。我们提出了一个统一的方法，概括了所有已知的渐近最快的算法，这个问题。特别是，著名的算法乘法多项式的领域支持DFT的大光滑的订单，Schönhage-Strassen的算法在任意领域的特点不同2，Schönhage的算法在领域的特点2，和康托-Kaltofen的算法在任意代数-都似乎是这种方法的实例。我们还获得了更快的算法多项式乘法在某些领域不支持DFT的大光滑订单。我们证明，Schönhage-Strassen的上限不能进一步提高有理数领域，如果我们只考虑算法的基础上连续应用DFT，所有已知的最快的算法。我们还探讨了如何将最近的整数乘法的Fürer算法转移到正特征的任意域上的多项式乘法问题。这项工作的灵感来自最近的改进密切相关的问题的复杂性整数乘法的傅勒及其随之而来的模块化算术处理由于德，Kurur，萨哈，和Saptharishi。我们探讨的障碍，在转移技术的解决方案的一个问题的解决方案的其他。
2010-10-06 cs.CC cs.DS
Simple, Fast and Practicable Algorithms for Cholesky, LU and QR Decomposition Using Fast Rectangular Matrix Multiplication
Universidad de Cantabria（坎塔布里亚大学）
本文提出了一种基于快速矩形矩阵乘法的Cholesky/LU/QR分解算法，时间复杂度为O(n^{2.529})，并展示了其在实际应用中的优势。
2018-12-05 cs.DS cs.NA math.NA
Faster truncated integer multiplication
本文提出了计算两个 $n$ 位整数乘积的低 $n$ 位或高 $n$ 位的新算法，在底层乘法依赖实数序列循环卷积的假设下，仅需完整 $2n$ 位乘积计算时间的 75%。
2023-08-02 cs.DS cs.SC
Fast Evaluation of Polynomials with Rational Preprocessing
Normal Computing；Alipes ApS
本文提出有理预处理下用约n/2次乘法求值多项式，解决Rabin-Winograd猜想，并给出特征2下的调度及通用哈希改进构造。
2026-09-09 cs.DS
Faster Walsh-Hadamard Transform and Matrix Multiplication over Finite Fields using Lookup Tables
我们使用查找表来设计更快的算法，在有限域上的重要代数问题。这些只使用算术运算和查找表运算的快速算法可能有助于解释确定这些重要问题的复杂性的困难。我们在有限域上的结果如下。可以使用$O(N \log N / \log \log N)$位操作来计算长度为$N$的向量的沃尔什-哈达玛变换。这推广到定义为固定矩阵的克罗内克幂的任何变换。相比之下，快速沃尔什-阿达玛变换（类似于快速傅立叶变换）使用$O(N \log N)$算术运算，这被认为是最佳的常数因子。使用$O(N^ω)$运算将两个$N \times N$矩阵相乘的任何代数算法都可以转换为使用$O(N^ω/ (\log N)^{ω/2 - 1})$位运算的算法。例如，Strassen的算法可以转换成使用$O(N^{2.81} / (\log N)^{0.4})$位操作的算法。它仍然是一个开放的问题，具有实际意义，以确定最小的常数$c$，使Strassen的算法可以实现使用$c \cdot N^{2.81} + o(N^{2.81})$算术运算;使用查找表允许保存一个超常数因子位操作。
2022-11-09 cs.DS
Error correction in fast matrix multiplication and inverse
我们提出了新的算法来检测和纠正错误的产品中的两个矩阵，或逆矩阵，在任意字段。我们的算法不需要任何额外的信息或编码以外的原始输入和错误的输出。当错误的数量足够小时，它们的运行时间在这些矩阵中的非零条目的数量上是软线性的，并且它们还包含快速矩阵乘法，以便当错误的数量很大时，成本可以很好地缩放。这些算法建立在Gasieniec等人（2017）关于校正矩阵乘积的最新结果，以及验证算法，稀疏低秩线性代数和稀疏多项式插值的现有工作基础上。
2018-02-07 cs.DS cs.SC
The I/O complexity of hybrid algorithms for square matrix multiplication
本文导出了一类计算$n \times n$方阵乘积的混合算法的I/O复杂度的渐近紧下界，该混合算法结合了具有计算复杂度$Θ{n^{\log_2 7}}$的“\emph{Strassen-like}”快速矩阵乘法方法和具有计算复杂度$Ω\left(n^3\right)$的“\emph{standard} "矩阵乘法算法.我们提出了一个新的和紧密的$Ω\left(\left(\frac{n}{\max\{\sqrt{M},n_0\}}\right)^{\log_2 7}\left(\max\{1,\frac{n_0}{M}\}\right)^3M\right)$下界的I/O复杂性的一类"\emph{uniform, non-stationary}“混合算法时，执行在一个两级存储层次结构与$M$字的快速存储器，其中$n_0$表示的阈值大小的子问题，使用标准算法计算的代数复杂性$Ω\left(n^3\right)$。下限实际上是为更一般的“\emph{non-uniform, non-stationary}”混合算法类推导的，这种混合算法允许递归调用具有不同的结构，即使它们涉及相同大小和相同递归级别的矩阵乘法，尽管定量表达式变得更加复杂。我们的研究结果是第一个I/O下界为这些类的混合算法。所有提出的下界适用，即使重新计算的部分结果是允许的，是渐近紧。证明技术结合分析的格里戈里耶夫流的矩阵乘…
2019-04-29 cs.DS
An Improved Upper Bound on Maximal Clique Listing via Rectangular Fast Matrix Multiplication
最大团列表问题的第一个输出敏感算法是由Tsukiyama等人在1977年给出的。作为落入逆向搜萦范例的任何算法，它执行对具有要列出的对象（即，最大团）作为其节点的有向树（RS树）的DFS访问。在递归实现中，RS树对应于算法的递归树。时间延迟由生成节点的下一个子节点的成本给出，Tsukiyama表明它是$O(mn)$。2004年，Makino和Uno通过计算\emph{square}快速矩阵乘法在一个Single Shot中生成一个节点的所有子节点，将时间延迟锐化为$O(n^ω)$。在本文中，我们进一步提高了渐近探索相同的RS-树的分组后代的计算更进一步。我们的想法是依靠矩形快速矩阵乘法，以计算所有的孩子$n^2$节点在一个镜头。根据快速矩阵乘法的当前上界，由此时间延迟从$O(n^{2.3728639})$改善到$O(n^{2.093362})$。
2015-08-24 cs.DM cs.DS
GPU-Accelerated Search for Fast Matrix Multiplication over $\mathbb{F}_2$
Northeastern University（东北大学）
提出GPU加速搜索矩阵乘法翻转图算法，每秒超十亿步，证明$\mathbb{F}_2$上翻转图强连通，找到$7\times7$矩阵乘法245次乘法的新纪录。
2026-10-28 cs.DS cs.SC
Fast Integer Multiplication using Modular Arithmetic
本文给出了一个用于两个$N$位整数相乘的$O(N\cdot \log N\cdot 2^{O(\log^*N)})$算法，它改进了Schönhage-Strassen的$O(N\cdot \log N\cdot \log\log N)$算法.这两种算法都使用模运算。最近，傅勒给出了一个$O(N\cdot \log N\cdot 2^{O(\log^*N)})$算法，但使用算术复数，而不是模块化的算术。在本文中，我们使用多元多项式乘法以及从Fürer算法的想法，以实现这种改进的模块化设置。我们的算法也可以被看作是一个$p$ -adic版本的Fürer的算法。因此，我们表明，这两个看似不同的方法，整数乘法，模和复杂的算术，是相似的。
2008-09-19 cs.DS cs.SC
Fast matrix multiplication techniques based on the Adleman-Lipton model
在分布式存储器电子计算机上，快速并行矩阵乘法算法的实现和关联已经产生了惊人的结果和见解。在这篇论文中，我们使用分子生物学的工具来证明Strassen的快速矩阵乘法算法与DNA的理论编码的基础上的$n$ -模集的剩余数系统，从而证明计算数学与DNA的可行性。其结果是，一般可扩展的实现该模型的DNA计算范式，并可以推广到DNA计算机上的应用程序的\emph{all}快速矩阵乘法算法。我们还讨论了这种可扩展的实现的实际能力和问题。用DNA进行矩阵计算的快速方法很重要，因为它们也允许用DNA有效地实现其他算法（即求逆、计算行列式和图论）。
2011-12-19 cs.DS cs.ET q-bio.QM
OpenTensor: Reproducing Faster Matrix Multiplication Discovering Algorithms
School of Data Science, Fudan University（复旦大学数据科学学院）
OpenTensor复现了AlphaTensor框架，通过清理算法流程、澄清技术细节并改进训练过程，成功利用深度强化学习发现了高效的矩阵乘法算法。
2024-05-31 cs.AI cs.DS cs.LG
Fast Matrix Multiplication Without Tears: A Constraint Programming Approach
University of Toronto（多伦多大学）
本文提出约束规划方法求解快速矩阵乘法的约束满足问题，通过对称性破除、有效不等式、稀疏分解及求解器性能波动，发现算法或证明不可行，并在 CP Optimizer 上快速找到至 $3\ imes3$ 矩阵的算法。
2023-07-17 cs.AI cs.DS math.CO
Powers of Tensors and Fast Matrix Multiplication
本文给出了一种分析三线性形式（一种特殊的代数结构，也称为张量）的幂的方法，并得到了矩阵乘法的渐近复杂性的上界。与现有方法相比，该方法基于凸优化，具有多项式时间复杂度。作为应用，我们用这种方法研究了Coppermith和Winograd [Journal of符号计算，1990]给出的结构的幂，得到了方阵乘法指数的上界$ω<2.3728639$，它改进了已知的上界.
2014-01-30 cs.CC cs.DS cs.SC
Faster Online Matrix-Vector Multiplication
我们考虑由Henzinger等人[STOC'15]研究的在线布尔矩阵-向量乘法（OMV）问题：给定$n \times n$布尔矩阵$M$，我们每次接收一个$n$布尔向量$v_1,\ldots,v_n$，并且对于所有$i$，在看到向量$v_{i+1}$之前，需要输出$M v_i$（在布尔半环上）。以前已知的算法，这个问题是组合，运行在$O(n^3/\log^2 n)$时间。Henzinger等人猜想，对于所有的$\varepsilon > 0$，不存在OMV的$O(n^{3-\varepsilon})$时间算法;他们的OMV猜想被证明对许多基本的动力学问题具有强的困难性。我们给出了一个更快的方法来计算OMV，运行在$n^3/2^{Ω(\sqrt{\log n})}$随机时间。事实上，在看到$2^{ω(\sqrt{\log n})}$向量之后，我们已经实现了矩阵向量乘法的$n^2/2^{Ω(\sqrt{\log n})}$分摊时间。我们的方法给出了一种方法，以减少矩阵向量乘法解决一个版本的正交向量问题，这反过来又减少到“小”代数矩阵矩阵乘法。应用包括更快的独立集检测，部分匹配检索和2-CNF评估。我们还展示了如何修改我们的方法给出了一个细胞探测数据结构OMV最坏的情况下$O(n^{7/4}/\sqrt{w})$时间每个查询向量，其中$w$是字的大小。这一结果排除了使用纯信息论论证OMV…
2016-05-06 cs.CC cs.DS
Symmetries of matrix multiplication algorithms. I
在这项工作中，矩阵的快速乘法算法被认为是。任何算法都有一定的自同构群。这些自同构群被发现的一些著名的算法，包括算法的Hopcroft，Laderman和潘。对于Hopcroft算法和Laderman算法，自同构群分别同构于$S_3\times Z_2$和$S_4$.算法的对称性研究对于寻找快速算法可能是一个富有成效的想法，通过与众所周知的代码，格和图的优化问题进行类比。{ \em Keywords}：Strassen算法，对称性，快速矩阵乘法。
2015-08-05 cs.CC cs.DS math.GR
Faster Rectangular Matrix Multiplication by Combination Loss Analysis
本文利用组合损失分析方法，结合Coppersmith-Winograd张量四次幂分析，改进了矩形矩阵乘法的指数上界。
2023-12-27 cs.CC cs.DS cs.SC
How Fast Can We Multiply Large Integers on an Actual Computer?
我们提供了两个复杂性度量，可用于测量计算长整数乘法的算法的运行时间。具有单位成本或对数成本的随机存取机不足以测量像长整数乘法这样的任务的复杂性。图灵机在这里更有用，但未能考虑到短整数的乘法指令，这在物理计算设备上是可用的。一个有趣的结果是，所提出的改进的复杂性措施不排名众所周知的乘法算法的方式与图灵机模型。
2014-02-08 cs.CC cs.DS
Graph Expansion Analysis for Communication Costs of Fast Rectangular Matrix Multiplication
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文通过图扩展分析方法，为快速矩形矩阵乘法算法推导通信成本下界，并证明部分下界最优。
2012-09-11 cs.CC cs.DS cs.NA
Faster integer and polynomial multiplication using cyclotomic coefficient rings
我们提出了一个算法，计算两个n位整数的产品在O（nlog n（4 \sqrt 2）^{log^* n}）位操作。最好的算法是O（n log n ^{log^* n}）。我们还证明了，对于一个固定的素数p，多项式在F_p[X]的次数n可以乘以O（n log n 4^{log^* n}）位操作;以前的最佳界是O（n log n 8^{log^* n}）。
2017-12-11 cs.DS cs.SC math.NT
Fast Matrix Multiplication with Sketching
本文提出基于矩阵抽样技术的近似矩阵乘法算法，通过稀疏化矩阵降低计算成本，证明在样本数足够大时算法精度与现有方法相当。
2014-06-11 cs.DS cs.NA math.NA
More Asymmetry Yields Faster Matrix Multiplication
Columbia University（哥伦比亚大学）；Institute for Interdisciplinary Information Sciences, Tsinghua University（清华大学交叉信息研究院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
该研究通过在激光方法分析中引入更多不对称性，结合数值优化进展，将平方矩阵乘法指数界从ω<2.371552提升至ω<2.371177，同时改进了矩形矩阵乘法的指数界。
2026-08-20 cs.CC cs.DS
Fast matrix multiplication is stable
本文对一类递归矩阵乘法算法进行前向误差分析，证明矩阵乘法指数可通过数值稳定算法实现，并表明群论算法也属于稳定算法。
2006-12-07 cs.CC cs.DS cs.NA
Fast Commutative Matrix Algorithm
我们证明了交换环上的n × 3矩阵和3 × 3矩阵的乘积可以用6 n +3次乘法来计算。对于两个3x 3矩阵，这给了我们一个使用21次乘法的算法。这是相对于使用22次乘法的Makarov算法的改进[13]。本文将结果推广到n × 3和3 × 3矩阵，给出了一个计算交换环上1 × n矩阵与n × m矩阵乘积的算法，当m为奇数时，用n（lm+l+m-1）/2次乘法，当m为偶数时，用（n（lm+l+m-1）+l-1）/2次乘法. Waksman和Islam的奇数n算法需要（n-1）（lm+l+m-1）/2+lm次乘法[10，19]，因此在这两种情况下，我们的算法需要较少的乘法。我们还给出了一个算法，即使n使用n（lm+l+m-1）/2乘法，而不使用除法，因为Waksman和伊斯兰的算法使用了一些除以2 [10，19]。此外，我们提出了一个新颖的矩阵乘法：在本文中，我们表明，一些具有特殊性质的非双线性算法可以用作递归算法。与双线性算法相比，对于小的n × n矩阵，比如n<20，我们得到了一些更好的结果。从这些非双线性算法，我们最终得到近似的非双线性算法。例如，我们得到了一个近似的非双线性算法的5x 5矩阵，只使用89乘法。如果有可能将该算法与双线性算法进行比较，我们将获得比Smirnov算法更好的结果[15]。
2020-07-27 cs.CC cs.DS
Fast Matrix Multiplication via Ternary Meta Flip Graphs
Research Center for TAI Institute for System Programming（系统编程研究所智能分析研究中心）
本文提出通过三元元翻转图算法实现快速矩阵乘法，发现多项新方案并提升二进制域排名。
2025-11-29 cs.DS cs.SC
Approximate all-pairs Hamming distances and 0-1 matrix multiplication
本文给出算术0-1矩阵乘法到汉明空间全对距离的线性时间归约，提出近似全对距离与0-1矩阵乘法的快速随机算法、输出敏感的最小生成树算法，以及更快的(2+ε)近似聚类算法。
2025-04-20 cs.CC cs.DS
Graph Expansion and Communication Costs of Fast Matrix Multiplication
算法的通信成本（也称为I/O复杂度）与相应计算图的扩展特性密切相关。我们证明了这对Strassen的和其他快速矩阵乘法算法，并获得第一个下界的通信成本。在顺序情况下，其中处理器具有大小为$M$的快速存储器，其太小而不能存储三个$n$ × $n$矩阵，对于许多矩阵乘法算法，在快速和慢速存储器之间移动的字的数目的下限是$Ω((\frac{n}{\sqrt M})^{ω_0}\cdot M)$，其中$ω_0$是算术计数中的指数（例如，用于Strassen的$ω_0 = \lg 7$和用于常规矩阵乘法的$ω_0 = 3$）。对于$p$并行处理器，每个处理器具有大小为$M$的快速存储器，下限小$p$倍。这些界限是可达到的顺序和并行算法，因此最佳的。这些界限也可以通过线性代数中的许多快速算法来获得（例如，用于LU、QR和求解Sylvester方程的算法）。
2011-09-08 cs.CC cs.DC cs.DS
Multiplication of polynomials over the binary field
本文基于加法 Fourier 变换提出二元域上多项式的快速乘法算法，并给出其比特复杂度界。
2025-05-14 cs.DS math.NT
Solving Sparse Linear Systems Faster than Matrix Multiplication
线性方程组能比矩阵乘法更快求解吗？虽然对于图结构线性系统的特殊情况已经有了显著的进展，但是在一般设置中，求解$n \times n$线性系统$Ax=b$的位复杂度是$\tilde{O}(n^ω)$，其中$ω< 2.372864$是矩阵乘法指数。即使对于具有多$(n)$条件数的稀疏线性系统，改进这一点也是一个开放的问题。在本文中，我们提出了一个算法，解决稀疏矩阵的线性系统渐近快于矩阵乘法的任何$ω> 2$。这种加速适用于具有$o(n^{ω-1}/\log(κ(A)))$非零的任何输入矩阵$A$，其中$κ(A)$是$A$的条件数。对于具有$\tilde{O}(n)$非零值的多$(n)$条件矩阵，以及$ω$的当前值，我们的算法在任何$1/\text{poly}(n)$误差内求解的位复杂度为$O(n^{2.331645})$。我们的算法可以被看作是一个有效的，随机执行块Krylov方法通过递归低位移秩分解。它的灵感来自于[Eberly et al. ISSAC `06 `07]的算法，用于有限域上的逆矩阵。在我们的数值稳定性分析中，我们发展了矩阵反集中技术来限制半随机矩阵的最小特征值和特征值中的最小间隙。
2021-01-07 cs.DS cs.NA math.NA
Fast Multiplication of Matrices with Decay
Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）
提出稀疏近似矩阵乘法（SpAMM）算法，通过降低乘积空间复杂度实现具有衰减性质矩阵的快速近似乘法，在量子化学矩阵中相比截断方法显著减少浮点运算次数。
2010-11-15 cond-mat.mtrl-sci cs.DS cs.MS
Fast Matrix Multiplication: Limitations of the Laser Method
直到几年前，Coppermith和Winograd（1990）提出的已知最快的矩阵乘法算法是在时间上运行的$O(n^{2.3755})$。最近，Stothers，Vassilevska-Williams和Le Gall的活动激增，导致了一个改进的算法在时间上运行$O(n^{2.3729})$。这些算法是通过分析Coppermith和Winograd的一个恒等式的张量幂的不断提高而得到的。我们表明，这种精确的方法不能导致运行时间的算法$O(n^{2.3725})$，并确定了广泛的一类变种，这种方法不能导致运行时间的算法$O(n^{2.3078})$，特别是，这种方法不能证明的猜想，对于每个$ε> 0$，两个$n\times n$矩阵可以乘以时间$O(n^{2+ε})$。我们描述了一个新的框架，扩展了原来的激光方法，这是前面提到的算法的基础方法。我们的框架可以容纳Coppermith和Winograd，Stothers，Vassilevska-Williams和Le Gall的算法。通过对该框架的分析，我们得到了主要结果。该框架也是第一个解释为什么采用Coppersmith-Winograd恒等式的张量幂会导致更快的算法。
2014-11-20 cs.CC cs.DS
Faster Algorithms for Rectangular Matrix Multiplication
设α是最大值，使得n × n^α矩阵与n^α × n矩阵的乘积可以用n^{2+o（1）}次算术运算来计算。本文证明了α>0.30298，改进了Coppermith（Journal of Complexity，1997）的先前记录α>0.29462。更一般地，我们构造了一个新的算法，用于将n x n^k矩阵乘以n^k x n矩阵，对于任何值k \neq 1。该算法的复杂度优于所有已知的矩形矩阵乘法算法。在方矩阵乘法的情况下（即，对于k=1），我们精确地恢复了Coppermith和Winograd（Journal of符号计算，1990）的算法的复杂性。这些新的上界可以用来改善依赖于矩形矩阵乘法的几个已知算法的时间复杂度。例如，我们直接得到了小整数权值有向图上所有对最短路径问题的O（n^{2.5302}）时间算法，改进了Zwick（JACM 2002）的O（n^{2.575}）时间算法，同时也改进了稀疏方阵乘法的时间复杂度.
2012-04-09 cs.CC cs.DS cs.SC
Decoding Hidden Markov Models Faster Than Viterbi Via Online Matrix-Vector (max, +)-Multiplication
University of Trento（特伦托大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）；University of Verona（维罗纳大学）
本文提出了一种新的时间齐次隐马尔可夫模型（HMM）的最大后验译码（MAPD）算法，将经典Viterbi算法的最坏情况下的运行时间提高了一个对数因子。在我们的方法中，我们解释的维特比算法作为一个重复计算的矩阵向量$(\max, +)$乘法。在时间齐次的Hynomial上，这种计算是在线的：一个预先知道的矩阵必须与几个向量相乘，每次一个。我们的主要贡献是一个算法解决这个版本的矩阵向量$(\max,+)$乘法在次二次时间，通过执行多项式预处理的矩阵。采用这种快速乘法算法，我们解决了在$O(mn^2/ \log n)$时间的任何时间齐次HMM的大小$n$和观察序列的长度$m$的MAPD问题，与额外的多项式预处理成本可以忽略不计的$m > n$。据我们所知，这是第一个算法的MAPD问题需要次二次时间每次观察，唯一的假设下-通常在实践中验证-转移概率矩阵不随时间变化。
2015-12-11 cs.DS cs.IT cs.LG
Randomized and quantum approximate matrix multiplication
本文统一随机化矩阵乘法为均值估计，改进经典算法并提出更快的单一算法，并利用量子均值估计实现量子加速。
2025-10-09 cs.DS quant-ph
Fast integer multiplication using generalized Fermat primes
近35年来，Sch{<$}nhage-Strassen的算法一直是已知的最快的整数乘法算法，其时间复杂度为O（n $\times$ log n $\times$ log log n）。在2007年，F{ü}rer证明了存在K > 1和一个算法执行此操作的时间复杂度为O（n $\times$ log n $\times$ K log n）。Harvey、van der Hoeven和Lecerf最近的工作表明，这个复杂性估计可以得到改进，以使K = 8，实际上K = 4。使用另一种算法，它依赖于算术模广义费马素数，我们得到了同样的结果K = 4，通过仔细的复杂性分析，在确定性的多带图灵模型。
2018-04-17 cs.CC cs.DM cs.DS
Algorithm to Compute Squares of 1st N Natural Numbers Without Using Multiplication
处理器可能会发现一些基本操作比其他操作更快。虽然一个操作在概念上可能与其他操作一样简单，但两者的处理速度可能会有所不同。一个聪明的程序员总是试图选择更快的指令来完成任务。本文提出了一种不使用乘法（* 运算符）显示第1 ~ N个自然数平方的算法。相反，可以使用加法（+运算符）完成相同的工作。结果也可以用来计算这些平方和。如果我们将计算第一N个自然数平方的常规方法与该方法进行比较，我们可以得出结论，本文所讨论的算法在时间复杂度方面更优化。
2012-12-22 cs.CC cs.DS
A faster matrix multiplication algorithm through structured optimization
Matroid, Inc.（Matroid 公司）
该研究提出一种新的渐近矩阵乘法构造，使矩阵乘法指数ω<2.37115924，改进了此前的界，通过结合共享递归参数族与条件优化解决相关障碍，给出精确上界并提供验证工具。
2026-10-09 cs.CC cs.DS
Fast multiplication by two's complement addition of numbers represented as a set of polynomial radix 2 indexes, stored as an integer list for massively parallel computation
本文提出了一种基于多项式基数2索引集合的快速乘法方法，通过二进制补码加法实现高效并行计算，克服了传统并行乘法的内存共享限制。
2025-11-27 cs.DC cs.DS cs.LG
Blazing a Trail via Matrix Multiplications: A Faster Algorithm for Non-shortest Induced Paths
本文针对图中非最短诱导路径（uv-trail）的判定与构造问题，利用布尔矩阵乘法将此前 O(n^18) 的多项式时间算法大幅改进至 O(n^4.75)。
2022-10-08 cs.DM cs.DS
Faster Algorithms for Structured Matrix Multiplication via Flip Graph Search
Zuse Institute Berlin（柏林齐瑟研究所）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本文通过翻转图搜索方法，提出更高效的结构矩阵乘法算法，改进了多种结构格式的渐近复杂度常数。
2025-11-30 cs.DS cs.SC
Algebrisation in Distributed Graph Algorithms: Fast Matrix Multiplication in the Congested Clique
虽然algebrisation构成了一个强大的技术在集中式算法的设计和分析，迄今为止，几乎没有任何应用的代数技术的背景下，分布式图算法。这项工作是一个案例研究，展示了潜在的代数在分布式环境中。我们将重点关注拥塞集团模型中的分布式图算法;我们将考虑的图问题包括，例如，三角形检测问题和全对最短路径问题（APSP）。在拥塞集团模型中有大量关于组合算法的先前工作：例如，Dolev等人（DISC 2012）给出了一种运行时间为$\tilde O(n^{1/3})$的三角形检测算法，Nanongkai（STOC 2014）给出了一种运行时间为$\tilde O(n^{1/2})$的APSP近似算法。在这项工作中，我们将使用代数技术-特别是基于快速矩阵乘法的算法-解决三角形检测和未加权APSP的时间$O(n^{0.15715})$ ;加权APSP，我们给出了一个$(1+o(1))$近似与此运行时间，以及一个精确的$\tilde O(n^{1/3})$解决方案。
2015-03-18 cs.DC cs.DS
On the bit-complexity of sparse polynomial multiplication
本文给出了稀疏表示下两个多元多项式乘积的快速算法。我们的算法的比特复杂性进行了详细研究，为各种类型的系数，我们得出新的复杂性结果的幂级数乘法在许多变量。我们的算法在Mathemagix软件中实现并免费提供。我们表明，他们的理论成本很好地反映在实践中。
2009-01-26 cs.DS cs.MS
Sparse Matrix Multiplication in the Low-Bandwidth Model
我们研究低带宽模型中的矩阵乘法：有$n$计算机，我们需要计算两个$n \times n$矩阵的乘积。最初，计算机$i$知道每个输入矩阵的行$i$。在一个通信回合中，每台计算机可以发送和接收一个$O(\log n)$位消息。最后，计算机$i$必须输出乘积矩阵的行$i$。我们试图理解这个问题的复杂性，在均匀稀疏的情况下：每个输入矩阵的每一行和每一列最多有$d$非零，在产品矩阵，我们只需要知道在每一行或每一列中的最多$d$元素的值。这正是我们所拥有的设置，例如，当我们在最大度$d$的图中应用矩阵乘法进行三角形检测时。我们专注于支持的设置：矩阵的结构是已知的，只有非零元素的数值是未知的。有一种简单的算法可以在$O(d^2)$轮中解决该问题，但是对于大的$d$，已知存在更好的算法;在适度密集的状态下，该问题可以在$O(dn^{1/3})$通信循环中解决，并且对于非常大的$d$，主要解决方案是使用$O(n^{1.158})$通信循环的快速矩阵乘法算法（用于支持快速矩阵乘法的域和环上的矩阵乘法）。在这项工作中，我们表明，有可能克服二次障碍的所有值的$d$：我们提出了一个算法，解决了这个问题，在$O(d^{1.907})$轮的领域和环支持快速矩阵乘法和$O(d^{1.927})$轮的半环，独立的$n$。
2022-06-01 cs.DC cs.DS
Improved Lower Bounds for Testing Triangle-freeness in Boolean Functions via Fast Matrix Multiplication
了解线性不变性质测试的查询复杂度一直是代数性质测试研究中的一个中心问题。布尔函数的无三角形性是一个简单的性质，其测试复杂度是未知的。三个布尔函数$f_1$、$f_2$和$f_3: \mathbb{F}_2^k \to \{0, 1\}$被称为无三角形，如果不存在$x, y \in \mathbb{F}_2^k$使得$f_1(x) = f_2(y) = f_3(x + y) = 1$。已知该属性是强可测试的（Green 2005），但是所需的查询数量的上限仅由高度为$1 / \epsislon$中的多项式的二进制塔限定，其中$\epsislon$是测试的函数三元组和无三角形之间的距离，即，需要修改以使三重三角形自由的函数值的最小分数。Bhattacharyya和Xie（2010）给出了任何单侧测试者的$(1 / ε)^{2.423}$下限。在这项工作中，我们改进了这个绑定到$(1 / ε)^{6.619}$。有趣的是，我们证明了这一点的组合结构称为\emph{uniquely solvable puzzles}，这是在Coppermith和Winograd著名的矩阵乘法算法的核心。
2013-08-07 cs.CC cs.DS
