Combinatorial geometry takes the lead
这是一篇关于2022年菲尔兹奖获得者June Huh的作品的热门文章。
2022-07-08 math.AG math.CO math.HO
The combinatorial geometry of stresses in frameworks
本文给出并证明了任意图在平面上存在通有张量的充要几何条件。这些条件用不动点和通过不动点的非固定直线的位形空间的“交-并”关系表示。
2015-12-08 math.CO math.MG
Combinatorial complexity in o-minimal geometry
在本文中，我们证明了紧界的组合和拓扑复杂性的定义在$n$可定义的集合属于一些固定的可定义的集合族的O-最小结构。这概括了组合部分的情况下，已知的半代数和半Pfidian集类似的界限，并作为一个结果大大增加了适用性的结果组合和拓扑复杂性的安排研究离散和计算几何。作为示例应用，我们扩展了Alon等人的Ramsey型定理，最初证明了半代数集的固定描述复杂性，这更一般的设置。
2009-05-01 math.CO math.LO
The combinatorial geometry of particle physics
本文综述散射振幅与组合几何的深刻联系，梳理从多胞体、拟阵到正构象簇和振幅多面体的结构，阐述正几何如何由几何区域典范确定散射过程的解析函数，并介绍拟阵振幅的最新进展。
2025-09-29 hep-th math.AG math.CO
Polyhedral geometry, supercranks, and combinatorial witnesses of congruences for partitions into three parts
在本文中，我们使用多面体几何的一个分支，Ehrhart理论，以扩大我们的组合理解的同余分拆函数。Ehrhart理论允许我们给出一个新的划分分解，这反过来又允许我们定义称为{ \it supercranks}的统计量，这些统计量组合地证明了$p(n,3)$被任何素数$m \equiv -1 \pmod 6$整除的每个实例，其中$p(n,3)$是将$n$划分为三个部分的数量。格点的重排使我们能够演示与明确的双射如何划分这些集的分区成$m$ equinumerous类。还讨论了素数$m' \equiv 1 \pmod 6$的行为。
2015-08-03 math.CO math.NT
Combinatorial, Bakry-Émery, Ollivier's Ricci curvature notions and their motivation from Riemannian geometry
在这篇综述中，我们研究了三种不同的定义在图上的曲率概念，即组合曲率、Bakry-Émery曲率和Ollivier的里奇曲率。对于每一个曲率概念，定义和它的动机从黎曼几何将被解释。此外，我们汇集了一些整体的结果和几何概念，在黎曼几何的曲率（如Bonnet-Myers定理，拉普拉斯算子，Lichnerowicz定理，Cheeger常数），然后比较它们的离散类似物在一些（如果不是全部）的离散曲率的概念。本文的结构如下：第一章介绍黎曼几何的相关背景。下面的每一章都集中在离散曲率的概念之一。本文是杜伦大学数学科学硕士学位论文。
2018-03-23 math.CO math.DG
Quantitative combinatorial geometry for continuous parameters
我们证明的变化Carathéodory的，Helly的和Tverberg的定理，其中所涉及的集是根据连续函数，如体积或直径测量。在我们的结果中，我们提出了Lovász的彩色Helly定理，Bárány的彩色Carathéodory定理和彩色Tverberg定理的连续定量版本。
2016-03-18 math.CO math.MG
Combinatorial distance geometry in normed spaces
我们调查的问题和结果，从组合几何赋范空间，集中在涉及距离的问题。其中包括单位距离图、最小距离图、直径图以及最小生成树和Steiner最小树的各种性质。特别是，我们讨论translative接吻（或Hadwiger）号码，等边集，和Borsuk问题在赋范空间。本文给出了如何利用Peter Brass的角测度证明平面上凸体的Hadwiger数和阻塞数的各种说法，包括一些新的结果。我们还包括一些新的结果薄锥和它们的应用不同的距离和其他组合问题的赋范空间。
2017-05-03 math.CO math.MG
Quantitative $(p,q)$ theorems in combinatorial geometry
我们展示了离散几何中经典结果的定量版本，其中凸集的大小由一些非负函数决定。我们给出了这种版本的选择定理的Bárány，存在的弱ε-网的凸集和$(p,q)$定理的阿隆和Kleitman。这些方法可以应用于诸如体积、表面积或离散集的点的数目的函数。我们还给出了连续函数的彩色Helly定理的一般定量形式。
2015-10-24 math.CO math.MG
A Set of Questions in Combinatorial and Metric Geometry
本文简要介绍了几个问题：（1）凸公平分割猜想的推广，（2）由同一面多边形集合构成的多面体之间的非平凡不变量，（3）矩形块拼接成更大矩形的两个问题，（4）使给定面积和周长的直径最大化和最小化的凸区域。对于每个问题，我们讨论部分解决方案，并指出我们所知的有待探索的方面。
2015-02-13 math.CO math.MG
Combinatorial Bounds for Codes over Metric Spaces: Ramsey-Sidorenko Thresholds and Subgraph Counts
Kenyon College（肯扬学院）
本文将一般度量空间上的码表示为邻近图独立集，提出适用于任意有限度量空间码的Gilbert-Varshamov界通用框架，引入两类核心图，推导密度阈值与码长上界，发现汉明情形下仅局部子图统计量无法超越该界，需依赖空间大规模结构性质。
2026-07-30 cs.IT math.CO math.IT
Hilbert Functions and the Finite Degree Zariski Closure in Finite Field Combinatorial Geometry
近年来，多项式方法在组合几何中得到了许多令人瞩目的结果。本文利用仿射Hilbert函数得到了有限域几何中的一个估计定理。陈述定理最自然的方式是通过一种有界次数的Zagliki闭包运算：给定一个集合，我们考虑在该集合上某个有界次数为零的所有多项式，然后考虑这些多项式的公共零点。例如，一条直线上d + 1个点的d次闭包将包含整条直线，因为任何在d + 1个点上为零的d次多项式在这条直线上必定为零。我们的结果是一个有限度封闭的大小上的一个给定的集合。最后，我们调整我们使用的希尔伯特函数的方法的多重性。
2014-03-02 math.AG math.CO
A new view of combinatorial maps by Smarandache's notion
从几何的角度出发，引入了映射几何的概念，它是Smarandache几何的一种很好的模型，也是一种新的、更一般的曲面内禀几何。结果证明了映射几何是Smarandache几何，并给出了它们的计数.本文还提出了与Riemann几何和Smarandache几何有关的组合映射的公开问题。
2005-06-13 math.CO math.GM
Trees, graphs and aggregates: a categorical perspective on combinatorial surface topology, geometry, and algebra
以费曼范畴的角度来看，曲面几何的几个关键方面推导出组合结构与图形。这提供了一个直接的路线，从组合的图形字符串拓扑运算，通过拓扑，几何和代数。特别是，列入树到图和解剖图到聚集产生一个简洁的形式主义循环和模块操作，以及他们的多环和表面类型的概括。后者在二维拓扑域论和弦拓扑学中占有突出地位。范畴观点允许我们使用费曼操作的左Kan扩展作为有效的计算工具。计算涉及的结构图，预计将是独立的利益的某些类别的研究。
2022-01-25 math.AG math.AT math.CO
Some old and new problems in combinatorial geometry I: Around Borsuk's problem
Borsuk在1933年提出了一个问题，即$R^d$中直径为1的每一个集合是否都可以被直径更小的$d+1$集合所覆盖。1993年，Kahn和Kalai基于Frankl和Wilson的一个定理给出了一个负解。在本文中，我将提出有关Borsuk的问题。
2015-05-19 cs.CG math.CO math.MG
Algebraic combinatorial geometry: the polynomial method in arithmetic combinatorics, incidence combinatorics, and number theory
算术组合学经常关注的问题是，在一个群或环中，关于算术运算（如加法或乘法）的任意有限集的行为的边界。类似地，组合几何通常关注的问题是约束几何对象（如点、线或圆）的任意有限集合相对于几何运算（如关联或距离）的行为。由于这些问题中存在任意有限集，用于攻击这些问题的方法主要是组合的性质。然而，近年来，这些问题中的许多悬而未决的问题已经通过代数手段（更具体地说，使用代数几何和/或代数拓扑的工具）得到解决，从而产生了一套新兴的技术，现在被称为多项式方法。虽然多项式方法的各种实例已经知道了几十年（如Stepanov方法、组合零点定理或Baker定理），这种方法的一般理论尚处于成熟过程中;特别是多项式方法的局限性还没有被很好地理解，并且仍然有相当大的范围来应用来自代数几何或代数拓扑的更深入的结果以进一步加强该方法。在本调查中，我们提出了这些方法的几个已知的应用程序，重点放在最简单的情况下来说明的技术。我们将尽可能少地假设代数几何的先验知识。
2014-03-29 math.AG math.CO math.NT
A Lower Bound of the Number of Threshold Functions in Terms of Combinatorial Flags on the Boolean Cube
令$ E=\{ (1, b_1, \ldots , b_n)\in R^{n+1} \mid \; b_i= \pm 1 ,\; i=1, \ldots, n \}$，$E^{\times n}_{\ne 0} := \{ W=(w_{i_1}, \ldots , w_{i_n}) \mid w_{i_k}\in E, \, k=1, \ldots, n, \, dim \, span(w_{i_1}, \ldots , w_{i_n}) = n \},$和$q^W_l := |span(w_{i_{n-l+1}}, \ldots , w_{i_n}) \cap E|.$然后对于任何权重$p=(p_1, \ldots, p_{2^n})$，$p_i\in R$，$\sum_{i=1}^{2^n}{p_i} =1$，对于门限函数$P(2,n)$的数量，我们具有以下下界$$P(2, n) \geq 2\sum_{W\in E^{\times n}_{\ne 0}}{\frac{1- p_{i_1} -p_{i_2} - \cdots - p_{i_{q_n^W}}}{q_n^W\cdot q_{n-1}^W\cdots q_1^W}},$$，并且不等式的右侧不依赖于$p$的选择。这里，分子中使用的索引对应于来自$span(w_{i_1}, \ldots , w_{i_n})\cap E…
2018-11-25 math.AT math.CO
A Rank-Count Theory for the Combinatorial Discretizable Distance Geometry Problem
Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）；Unicamp（坎皮纳斯州立大学）
针对组合可离散距离几何问题，研究人员开发代数秩计数理论，证明在镜像分离参数且存在可行参考解时，其可行二进制分支码构成\n\n上的仿射空间，解决了额外约束下的拓扑解计数难题。
2026-07-31 math.CO math.MG
Geometry-Aware MCTS for Extremal Problems in Combinatorial Geometry
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
提出几何感知蒙特卡洛树搜索框架，通过增量更新可行动作空间和利用几何对称性，高效解决组合几何中的极值问题，在多个问题上取得新最佳结果。
2026-06-26 cs.AI cs.CG cs.LG
Combinatorial patchworking: back from tropical geometry
本文将热带几何中的拼贴结果转回格点多面体三角剖分框架，证明其可推广至非凸情形，从而简化并推广实环簇 $T$-子流形拓扑的相关结论。
2024-01-19 math.AG math.CO
Combinatorial Geometry of Erdős--Szekeres Type Problems: SAT/ASP Modeling and Linear Subreduction
本文研究了埃罗什-塞克尔斯问题的经典和新型变体，提出结合SAT/ASP范式与几何实现的计算框架，通过线性子约简方法确定点坐标，从而加速SMT求解过程，并获得若干函数的新精确值。
2026-04-22 math.CO
Some remarks on sinc integrals and their connection with combinatorics, geometry and probability
我们给出了一个替代的，组合/几何评价一类不当sinc积分研究的Borweins。一个概率的解释也注意到，并用于阐明相关的组合身份。
2007-05-07 math.CA math.CO
Quantitative combinatorial geometry for concave functions
我们证明了几个精确的定量版本的Helly和Tverberg的定理，这保证了一个有限族的凸集在$R^d$有一个大的交集。我们的研究结果的特征条件是足够的交集的一个家庭的凸集包含一个“见证集”，这是大的一些凹或对数凹措施。可能的见证集包括椭球、环带和$H$ -凸集。我们的结果也限制了寻找一个单一的zonotope或由一个单一的$H$ -凸集的凸集族的最佳逼近的复杂性。我们得到了我们所有的Helly型定理的丰富多彩的和分数的变体。
2020-05-02 math.CO math.FA math.MG
Methods from Differential Geometry in Polytope Theory
本论文的目的是研究经典的组合对象，如多面体，多面体复形，和子空间的安排，使用的工具，已开发的组合拓扑学，特别是那些工具开发连接（离散）微分几何，几何群论和低维拓扑。
2014-03-11 math.AT math.CO math.DG
Schubert slices in the combinatorial geometry of flag domains
旗域是实半单李群在其复化旗流形上的开轨道。某些群理论定义的紧致复子流形被视为圈，它们的复几何性质和表示论性质具有基本的重要性。已知存在最优舒伯特簇，它们在许多点上与圈横向相交，特别是在同调中确定它们。在这里，我们给出了精确的描述，这些舒伯特品种的某些子集的外尔群，并计算其总数的所有实形式的SL（n，C）。此外，我们给出了明确的描述的交点的标志和他们的数量。
2014-11-02 math.AG math.CO math.RT
Limit shapes of multiplicative measures associated with coagulation-fragmentation processes and random combinatorial structures
我们发现极限形状的一个家庭的乘法措施的集合上的分区，引起的指数母函数的扩展参数，$a_k\sim Ck^{p-1}, k\to\infty, p>0$，其中$C$是一个正的常数。考虑的措施与可逆的凝聚-碎裂过程和某些组合结构，称为组件。从尺度随机分拆的极限形状出发，证明了其涨落的泛函中心极限定理。我们证明，当组件的大小超过门限值，组件的数量的独立性转换成它们的条件独立性。除其他事项外，本文还讨论了，在一般情况下，极限形状，阈值和凝胶化之间的相互作用。
2007-06-19 math.CO math.PR
Using Equivariant Obstruction Theory in Combinatorial Geometry
来自组合几何领域的一组重要问题只能通过使用代数拓扑来解决。从第一个这样的应用Kneser的问题在1978年由洛夫% ász \cite{Lovasz}通过解决的Lovász猜想\cite % {巴布森-科兹洛夫}，\cite{Carsten}，许多方法从代数拓扑已被使用。具体地说，似乎理解同变理论是最重要的。许多问题的解决依赖于一个构造优美的等变映射的存在性。例如，通过讨论适当的等变映射的存在性来解决下列问题，并应用代数拓扑学的各种结果来解决这些问题.所使用的方法范围从著名的定理，如Borsuk Ulam和Dold定理的整数/理想值指标理论。本文从等变阻塞理论的本质出发，给出了分析等变映射存在性问题的一个有效的\emph{general position map%}格式。
2007-05-07 math.AT math.CO
A Conditional Rank-Count Theory for the Combinatorial Discretizable Distance Geometry Problem
Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）；Unicamp（坎皮纳斯州立大学）
研究组合可离散化距离几何问题，当前驱集不连续时对称计数方法不足。通过定位骨架无种子连通分量识别部分反射，用二进制掩码编码，经图操作和秩计算得出结果计数，建立精确计数定理，适用于各欧几里得维度。
2026-07-14 math.CO math.MG
Limit linear series: combinatorial theory
本文在度量图上基于超立方体秩函数和斜率结构发展了极限线性系的纯组合理论，完成了秩一情形的完整分类并探讨了与热带代数及组合代数几何的联系。
2024-09-30 math.AG math.CO
On some combinatorial formulae coming from Hessian Topology
组合数学与代数和微分几何之间的相互作用非常强。在研究Hessian拓扑问题时，我们得到了一系列二项式系数的恒等式，这些恒等式对于证明一类双曲多项式的图为元素的空间的拓扑性质是有用的.这些恒等式在组合数学中用不同的方法证明。
2016-11-24 math.CO
Combinatorial theory of permutation-invariant random matrices I: partitions, geometry and renormalization
在这篇文章中，我们定义并研究了一个几何和一个顺序上的划分的一个偶数的对象。其中一个定义涉及分区代数，一种依赖于整数参数N的分区集合上的代数结构。然后，我们模拟随机矩阵理论的组合框架：对于任何参数N，我们引入了一个家庭的线性型的分区代数，使我们能够定义一个概念的弱收敛类似的收敛随机矩阵理论的时刻。通过对划分代数的重整化，我们可以将弱收敛看成是固定空间中的简单收敛。这导致我们的定义的变形分区代数的任何整数参数N和两个变换的定义：累积量变换和排他性的时刻变换。利用定义在划分上的距离的一个改进的三角不等式，证明了赋予线性型变形的变形划分代数当N趋于无穷大时收敛.这一结果使我们能够证明组合性质的测地线和收敛定理的半群的功能分区。最后研究了有限支集的无限分拆上的函数子代数：定义了一种新的加法运算和R-变换的概念。我们引入了一组乘性函数，它成为一个李群的新的加法和乘法运算。对于每一个，我们都研究了它们的李代数.适当的工具开发，以了解收敛序列的矩和累积量的代数波动。这使得我们可以把我们在零级涨落下得到的结果推广到任意阶。
2016-10-31 math.CO math.PR
The geometry of geometries: matroid theory, old and new
拟阵或组合几何理论起源于线性代数和图论，并与许多其他领域有着深刻的联系，包括域论，匹配理论，子模优化，李组合数学和全正性。拟阵捕捉了这些不同设置共享的组合本质。近年来，（古典，多面体，代数和热带）几何领域的根已经成长得更深，结出新的果实。我们调查了最近的一些成功，源于三个几何模型的拟阵：拟阵多面体，伯格曼风扇，余范。
2021-11-16 math.AG math.CO
On Geometry and Combinatorics of Finite Classical Polar Spaces
本文研究有限经典极空间的几何与组合特性，探讨了spread、ovoid及正则系统的存在性与界等问题，并阐述其与正则图、区组设计等组合对象的关联。
2025-01-31 math.CO
Likelihood Geometry
研究了概率单形代数子集上单项函数的临界点。Zebriki闭包上的临界点的数目是嵌入的射影簇的拓扑不变量，称为其最大似然度。我们介绍了这个理论及其统计动机。许多最喜欢的对象从组合代数几何的特点：环面品种，A-判别式，超平面安排，格拉斯曼，和行列式品种。包括几个新的结果，特别是在似然对应和它的二度。这些笔记是为第二作者2013年6月在莱维科泰尔梅举行的CIME-CIRM夏季组合代数几何课程的讲座而写的。
2013-09-18 math.AG math.CO math.ST
Combinatorial geometry of the 2D Toda lattice and Davey Stewartson equation
Trinity College Dublin（都柏林三一学院）
研究二维托达晶格和戴维 - 斯图尔特森方程，借助Kodama和Williams受热带几何启发的算法方法，通过全非负格拉斯曼流形元素生成等高线图，推广其方法并在渐近情况完善前人工作。
2026-07-23 hep-th math-ph math.AG
The discrete yet ubiquitous theorems of Carathéodory, Helly, Sperner, Tucker, and Tverberg
我们讨论了五个离散结果：从组合拓扑学和定理的Carathéodory，Helly和Tverberg的Sperner和塔克引理组合几何。我们探讨了它们之间的联系，并强调了它们在对策论、图论、数学优化、计算几何等应用领域的广泛影响。
2018-10-08 cs.DM math.CO math.OC
Three Combinatorial Perspectives on Minimal Codes
我们发展了三种组合味方法来研究有限几何中极小码的结构和截块集，每一种方法都有特定的应用。第一种方法使用代数组合学中的技术，通过Alon-Füredi定理和组合零点定理描述线性码中的支持。第二种方法结合了编码理论和统计学的方法来比较最小码中非零权重的均值和方差。最后，第三种方法把极小码看作割块集，并利用有限几何中的扩展理论来研究它们。应用这些方法并将其相互结合，我们得到了一些新的最小码参数的界和约束。在有限射影空间中，得到了小基数截块集的两个新的构造。反过来，这些使我们能够给出明确的结构的最小码具有短的长度为给定的字段和尺寸。
2020-12-02 cs.IT math.CO math.IT
On the geometry of full points of abstract unitals
抽象酉单位的满点的概念是由Kámáros、Siciliano和Sznyi引入的，作为研究抽象酉单位的投射嵌入的工具。本文对有穷级抽象么正中的满点集的组合结构和几何结构作了较详细的描述。
2019-03-14 math.CO
Tropical geometry, the motivic nearby fiber and limit mixed Hodge numbers of hypersurfaces
动机邻近纤维是通过在圆盘上退化一个复杂簇而得到的不变量。它专门针对原始变种的欧拉示性数，但也包含与退化相关的Hodge结构的变化的信息，其被编码为极限混合Hodge结构。然而，这个不变量在实际中很难计算。利用热带几何的技巧，我们提出了一个新的附近纤维的motivic公式。此外，由于有一系列可用的软件实现热带几何的主要算法，我们的公式可以在实践中计算。我们专门的情况下，家庭的schön复杂的超曲面的环面，我们提供明确的公式描述行动的单值的单幂部分的分等级件（相对于德利涅重量过滤）的上同调与紧支持。这些家庭的组合描述的多面体细分相关联的牛顿多面体。我们开发了新的混合霍奇理论启发的组合不变量，这样的细分，其中的“精制极限混合$h^*$ -多项式”。这些不变量是有关斯坦利的组合研究细分：在同伴的组合文件，其结果适用于这里，我们将不变量在斯坦利的理论，他们成为多变量扩展他的不变量。我们的结果推广了Danilov和Khovanski{ \u}以及Batyrev和Borisov关于超曲面的Hodge数的工作.我们还提出了类似的公式描述的单值的单幂部分的作用在一个家庭的投影复曲面簇的Schön超曲面的交集上同调群。
2014-12-02 math.AG math.CO
Graph Multivector Persistence: A Unified Framework for Dynamic Systems
African Institute For Mathematical Science (AIMS)（非洲数学科学研究院）
本文提出一种基于组合多向量动力学的图多向量持久性不变量，用于分析动态系统的多尺度结构特性。
2026-02-28 math.AT math.CO math.DS
Geometry of Set Functions in Game Theory: Combinatorial and Computational Aspects
本论文从组合与计算角度研究博弈论集合函数的几何性质，定义基本多面体并推广Bondareva-Shapley定理，结合组合学理论，提出核心稳定性检验算法与新必要条件，推动合作博弈论跨领域发展。
2023-10-03 cs.GT econ.TH math.CO
Computing maximum likelihood thresholds using graph rigidity
本文利用组合刚性理论精确计算了若干图族在高斯图形模型中的最大似然阈值，包括小规模图、稀疏图、近完全图和有界度数图。
2022-10-20 math.CO math.MG math.ST
Combinatorics and geometry of Littlewood-Richardson cones
我们提出了几个直接双射之间的不同组合解释的Littlewood-Richardson系数。双射是由显式线性映射定义的，它有其他的应用。
2004-07-09 math.CO math.RT
Stanley-Reisner rings and torus actions
本文综述了作者和Victor Buchstaber目前正在研究的一类关于环面作用拓扑、交换同调代数和组合几何边界的问题。本文建立在大坂市立大学和巴塞罗那自治大学的变换群课程上。我们首先讨论了多面体和单纯复形的组合几何的几个著名的结果和问题，然后逐步走向调查的组合结构与空间作用的环面。同时，我们建立了所需的交换代数工具，包括单纯复形的Cohen-Macaulay/Gorenstein环和Stanley-Reisner面环.
2003-03-13 math.AC math.AT math.CO
Polyhedral geometry for lecture hall partitions
演讲厅隔墙是一种基本的组合结构，在过去的二十年里得到了广泛的研究。这些对象产生了新的结果，以及reinterpretation和概括的经典结果，这是感兴趣的组合数论，枚举组合学和凸几何。在Savage \cite{Savage-LHP-Survey}最近的一项调查中，很好地呈现了各种各样的结果。然而，自从出版本调查，有许多新的发展有关的多面体几何和Ehrhart理论所产生的演讲厅分区。随后，在这篇调查文章中，我们专门专注于多面体几何结果的理论演讲厅分区，努力展示这些新的发展。特别是，我们强调演讲厅锥，演讲厅单纯形，演讲厅秩序多面体的结果。最后，我们在这方面的开放的问题和profetures的广泛的列表。
2018-08-18 math.AC math.CO
Billey's formula in combinatorics, geometry, and topology
在这篇简要的论文中，我们描述了一个强大的组合公式及其在几何，拓扑和代数中的含义。这个公式最早出现在安徒生、詹岑和索尔格尔的一本书的附录中。萨拉·比利在五年后独立发现了它，它在她评估与舒伯特多项式密切相关的某些多项式的工作中发挥了重要作用。比利公式涉及舒伯特微积分的许多部分：舒伯特簇的几何，环面对旗簇的作用，关于置换的组合数据，旗簇和舒伯特簇的上同调，以及根系的组合学（置换的广义反演）。在组合上，Billey公式描述了外尔群的元素对的不变量。从表面上看，这个公式是由一个固定词的子词构建的词根组合。正如我们将看到的，它还有更深层次的几何和拓扑意义：（1）它告诉我们每个舒伯特簇中每个置换标志处的切空间。(2)它告诉我们舒伯特簇中的奇点。(3)它告诉我们Kostant多项式的值。Billey公式也反映了GKM理论的一个方面，它是一种仅从关于簇中的环面不动点的信息来描述簇的环面等变上同调的方法。本文还将描述一些应用的比利公式，包括具体的组合描述比利公式在特殊情况下，以及如何引导比利公式来描述等变上同调的旗簇的子簇GKM理论不适用。
2013-09-01 math.AG math.AT math.CO
From Trees to All Loops: The Combinatorial Geometry of Two-Site Cosmological Wavefunctions
University of Wisconsin–Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Northwestern University（西北大学）
本文通过布尔格结构重新表述了双位点宇宙学波函数系数的移位树分解，并利用有限差分算子和最大链展开给出了全圈公式的几何解释。
2026-10-14 gr-qc hep-th math.CO
Rank Bounds for Design Matrices with Applications to Combinatorial Geometry and Locally Correctable Codes
（q，k，t）-设计矩阵是一个m × n矩阵，其零/非零模式满足以下类似设计的条件：每行最多有q个非零，每列至少有k个非零，每两列的支撑最多相交于t行。我们证明了特征为零（或充分大的有限特征）的域上的任何（q，k，t）-设计矩阵的秩至少为n -（qtn/2k）^2。（1）复数域上2-查询局部可纠正码的不可能性结果：2-查询局部可纠正码（LCC）是一种纠错码，其中每个码字的坐标都可以通过读取至多两个其他码位来恢复。这样的代码有许多应用和结构（具有指数编码长度）是已知的小特征的有限域。我们表明，这样的线性2-查询LCC的无限家庭不存在的复数。(2)推广的结果在组合几何：我们证明了一个定量模拟的Sylvester-Gallai定理：让$v_1,...,v_m$是一组点在$\C^d$，使每一个$i \in [m]$至少存在$δm$值的$j \in [m]$，这样的线通过$v_i,v_j$包含第三个点的集合。证明了$\{v_1,...,v_m \}$的维数至多为$O(1/δ^2)$ .我们的结果推广到高维情形（用平面代替直线等）。以及点被着色的情况（如Motzkin-Rabin定理）。
2011-03-10 cs.CC cs.CG math.CO
The geometry of flip graphs and mapping class groups
空间的拓扑分解成三角形的表面有一个自然的图形结构，其中两个三角形共享一个边缘，如果它们是相关的所谓翻转。这个空间是一种组合Teichmüller空间，并且与基本的映射类群是拟等距的。我们从两个主要方向研究这个空间。我们首先证明了包含同一条多弧的三角剖分所对应的地层在整个空间内是强凸的，并利用这个结果推导了映射类群的性质。然后，我们专注于商的这个空间的映射类群，以获得一种类型的组合模空间。特别是，我们能够识别所产生的空间的直径如何根据底层表面的复杂性而增长。
2014-11-16 math.CO math.GR math.GT
Chamber geometry and specification numbers of Boolean threshold functions
Department of Mathematics, London School of Economics（伦敦经济学院数学系）
本文通过中心超平面排列的室几何解释布尔阈值函数的规范数，证明平均规范数为Θ(n)，并解决了Gutekunst等人提出的问题。
2026-06-28 cs.DM cs.LG math.CO
